Expresiones algebraicas y factorización – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Sean \(P(x)=2x^3-3x^2+x-5\) y \(Q(x)=x^2-4x+3\).

1. Calcula \(P(2)\) y \(P(-1)\).
2. Calcula \(P(x)+Q(x)\) y \(P(x)-2Q(x)\).
3. Indica el grado de \(P(x)\cdot Q(x)\), su coeficiente de \(x^5\) y su término independiente.
4. ¿Es \(x=3\) una raíz de \(Q(x)\)? ¿Y de \(P(x)\)?

Desarrolla con las identidades notables.

1. \((3x-2)^2\) y \((x+5)(x-5)\)
2. \((2x+3y)^2\)
3. \((x-1)^3\)
4. \((x+2)^2-(x-2)^2\) (simplifica el resultado)

Factoriza completamente.

1. \(6x^3-9x^2\) y \(10x^2y-15xy^2\)
2. \(x^2-49\) y \(9x^2-4\)
3. \(4x^2+12x+9\) y \(x^2-10x+25\)
4. \(x^4-16\)

Efectúa cada división indicando cociente y resto.

1. \((x^3+2x^2-5x+1):(x-2)\) con la regla de Ruffini
2. \((2x^3-x^2+3x-4):(x^2+1)\)
3. \((x^4-1):(x+1)\)
4. Comprueba el primer resultado con la prueba de la división.

Sea \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\).

1. Calcula el resto de dividir \(P(x)\) entre \(x-1\) y entre \(x+2\) sin dividir.
2. Comprueba que \(x=3\) y \(x=-1\) son raíces.
3. Divide \(P(x)\) entre \(x-3\) con Ruffini.
4. Escribe \(P(x)\) factorizado.

Busca las raíces entre los divisores del término independiente y factoriza.

1. \(x^3-6x^2+11x-6\)
2. \(x^3+2x^2-x-2\)
3. \(2x^3-3x^2-3x+2\)
4. \(x^4-5x^2+4\)

Simplifica e indica los valores de \(x\) para los que no está definida la fracción original.

1. \(\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}\)
2. \(\dfrac{2x^2-8}{x^2-4x+4}\)
3. \(\dfrac{x^3-x}{x^2-2x+1}\)
4. \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-x-6}\)

Efectúa y simplifica.

1. \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}\)
2. \(\dfrac{x+1}{x-2}-\dfrac{x-3}{x+2}\)
3. \(\dfrac{x^2-4}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x+2}\)
4. \(\dfrac{x}{x+2}:\dfrac{x^2}{x^2-4}\)

Un agricultor de Extremadura tiene una finca rectangular de lados \((x+4)\) m y \((x+1)\) m.

1. Escribe el área \(A(x)\) y el perímetro \(P(x)\) como polinomios.
2. Calcula área y perímetro para \(x=6\).
3. ¿Cuánto vale \(x\) si el área es de \(130\) m\(^2\)? (Resuelve la ecuación factorizando.)
4. ¿Cuánta valla hace falta en ese caso?

Con una lámina de cartón de \(40\) cm por \(30\) cm se construye una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado \(x\) en cada esquina y doblando los lados.

1. Escribe las dimensiones de la caja y el volumen \(V(x)\) como polinomio.
2. Completa la tabla de volúmenes para \(x=3,4,5,6,7\).
3. ¿Para cuál de esos valores es máximo el volumen?
4. Para \(x=5\), calcula las dimensiones y la capacidad en litros.

Un cuadro rectangular de \(60\) cm por \(40\) cm lleva un marco de anchura \(x\) cm por todos sus lados.

1. Escribe el área total del cuadro con marco, \((60+2x)(40+2x)\), desarrollada.
2. Escribe el área del marco como polinomio.
3. Calcula el área del marco para \(x=3\) cm.
4. El marco ocupa \(864\) cm\(^2\). Plantea la ecuación y calcula \(x\).

Una pastelería de Sevilla calcula su beneficio mensual (en cientos de euros) al vender \(x\) docenas de pasteles con \(B(x)=-x^2+40x-300\).

1. Factoriza \(B(x)=-(x-10)(x-30)\) y comprueba el resultado.
2. ¿Cuántas docenas hay que vender para no tener pérdidas ni beneficios?
3. Calcula \(B(20)\) e interpreta. ¿Es mayor que \(B(19)\) y que \(B(21)\)?
4. ¿Para qué valores de \(x\) el beneficio es positivo?

En un partido de fútbol, un jugador lanza el balón con las manos desde la banda. La altura del balón en metros, \(t\) segundos después del lanzamiento, es \(h(t)=-5t^2+15t\).

1. Factoriza \(h(t)\).
2. ¿Cuándo toca el balón el suelo?
3. Calcula \(h(1)\), \(h(1{,}5)\) y \(h(2)\).
4. ¿Cuál es la altura máxima? (Usa que el máximo está en el punto medio de las raíces.)

Un jardín cuadrado de lado \(x\) metros se rodea de un camino de \(2\) m de anchura.

1. Escribe el lado del cuadrado exterior y el área del camino como polinomio.
2. Calcula el área del camino si \(x=10\) m y el coste de pavimentarlo a \(12\) €/m\(^2\).
3. Si el camino ocupa \(144\) m\(^2\), ¿cuánto mide el lado del jardín?
4. Comprueba el resultado calculando las dos áreas.

Una urbanización de Alicante construye una piscina rectangular de \(10\) m por \(5\) m y la rodea de un andén de baldosas de anchura \(x\) metros. La tabla recoge el área del andén para varias anchuras.

1. Escribe el área total \((10+2x)(5+2x)\) y el área del andén \(A(x)\) como polinomios.
2. Completa la tabla de \(A(x)\) para \(x=0{,}5;\ 1;\ 1{,}5;\ 2\).
3. Factoriza \(A(x)\) sacando factor común.
4. Se dispone de baldosas para cubrir \(60\) m\(^2\). Plantea la ecuación y calcula \(x\) con dos decimales.
5. El andén cuesta \(25\) €/m\(^2\). ¿Cuánto cuesta uno de \(1\) m de anchura?

El volumen de un prisma rectangular, en cm\(^3\), es \(V(x)=x^3+6x^2+11x+6\), donde \(x\) es un número natural. La base tiene área \(B(x)=x^2+3x+2\).

1. Comprueba que \(x=-1\) es raíz de \(V(x)\) y factoriza \(V(x)\) con Ruffini.
2. Halla la altura del prisma dividiendo \(V(x)\) entre \(B(x)\).
3. Escribe las dimensiones para \(x=2\) y comprueba el volumen.
4. ¿Para qué valor de \(x\) el volumen es \(210\) cm\(^3\)?
5. Calcula también \(x\) si el volumen es \(504\) cm\(^3\) y razona si es posible un volumen de \(100\) cm\(^3\).

Un ciclista recorre \(60\) km de ida por una vía verde de Girona a una velocidad \(x\) km/h y vuelve por el mismo camino a \((x+5)\) km/h.

1. Escribe el tiempo total \(T(x)=\dfrac{60}{x}+\dfrac{60}{x+5}\) como una sola fracción.
2. Calcula \(T(15)\) y \(T(20)\).
3. Si el tiempo total ha sido de \(7\) horas, plantea la ecuación y comprueba que \(x=15\) la verifica.
4. ¿Cuál es la velocidad media de todo el viaje en el caso anterior?

Resuelve cada ecuación con el cambio \(z=x^2\).

1. \(x^4-13x^2+36=0\)
2. \(x^4-5x^2-36=0\)
3. \(x^4+x^2+1=0\) (razona si tiene solución real)
4. Un rectángulo tiene área \(12\) cm\(^2\) y diagonal \(5\) cm. Plantea una bicuadrada para su lado menor y resuélvela.

Un depósito de agua de una finca de Albacete se llena con un grifo A en \(x\) horas y con un grifo B en \((x+3)\) horas. Abiertos los dos a la vez, tardan \(2\) horas en llenarlo.

1. ¿Qué fracción del depósito llena cada grifo en una hora?
2. Plantea la ecuación \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{2}\).
3. Resuélvela y descarta la solución que no tiene sentido.
4. ¿Cuánto tarda cada grifo por separado? Comprueba la respuesta.

Resuelve estos retos de factorización.

1. Factoriza \(x^4+4\) sumando y restando \(4x^2\).
2. Halla \(k\) para que \(x-2\) divida a \(x^3+kx^2-4x+4\).
3. Simplifica \(\dfrac{x^3-8}{x^2-4}\).
4. Demuestra que \(n^3-n\) es siempre múltiplo de \(6\) para todo entero \(n\).