Ecuaciones y sistemas – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Multiplicamos por \(6\): \(3(x+1)-2x=12\), \(x+3=12\), \(x=9\). El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Comprobación: \(5-3=2\).
   2. \(\Delta=49-24=25\); \(x=\dfrac{7\pm5}{4}\), es decir \(x=3\) o \(x=\dfrac{1}{2}\). Con \(a=2\), \(b=-7\) y \(c=3\). Comprobación con 3: \(18-21+3=0\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por multiplicar los dos miembros por 6 sin olvidar el segundo miembro y 1 punto por \(x=9\), comprobando \(\dfrac{10}{2}-\dfrac{9}{3}=2\). En b) 1 punto por el discriminante 25 y 1 punto por las raíces 3 y \(\dfrac{1}{2}\); con 3: \(18-21+3=0\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. De la segunda \(y=3-x\): \(3x-6+2x=4\), \(5x=10\), \(x=2\), \(y=1\). Comprobación: \(6-2=4\) y \(2+1=3\). Respuesta: \((2,1)\).
   2. La segunda ecuación con la primera multiplicada por \(3\) da \(3x-6y=3\ne5\): incompatible (rectas paralelas). Los coeficientes son proporcionales pero los términos independientes no.

   Criterios de corrección: en a) 1,5 puntos por el método elegido y 1 punto por la solución \((2,1)\), comprobada en \(3\cdot2-2\cdot1=4\). En b) se reparten 1,5 puntos, medio por observar que los coeficientes de la segunda son el triple de los de la primera, medio por ver que \(3\ne5\) y medio por la interpretación de rectas paralelas.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(\Delta=16-4c\); es cero si \(c=4\) y la solución doble es \(x=-2\). Igualamos el discriminante a cero: \(16-4c=0\).
   2. \(x^2+4x-5=0\), \((x+5)(x-1)=0\), \(x=-5\) o \(x=1\). Comprobación con 1: \(1+4-5=0\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por \(\Delta=16-4c\) y 0,5 por \(c=4\) con la raíz doble \(-2\), ya que \((x+2)^2=x^2+4x+4\). En b) la resolución vale 1,5 puntos, 1 por factorizar o aplicar la fórmula y 0,5 por las soluciones \(-5\) y 1; comprobación con \(-5\): \(25-20-5=0\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(x=y+2\): \(y(y+2)=15\), \(y^2+2y-15=0\), \(y=3\) o \(y=-5\). Soluciones \((5,3)\) y \((-3,-5)\). Comprobación: \(5\cdot3=15\) y \((-3)(-5)=15\). Despejamos \(x\) en la primera ecuación y sustituimos en la segunda; cada valor de \(y\) da un valor de \(x\). Respuesta: \((5,3)\) y \((-3,-5)\).

   Criterios de corrección: 1 punto por despejar \(x=y+2\) y llegar a \(y^2+2y-15=0\); 1 punto por las dos soluciones \(y=3\) e \(y=-5\); 1 punto por calcular la \(x\) de cada una y comprobar ambos pares en las dos ecuaciones: \(5-3=2\) y \(-3-(-5)=2\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(g+v=350\) y \(12g+20v=5000\). Una ecuación cuenta las entradas y la otra el dinero.
   2. \(g=350-v\): \(4200-12v+20v=5000\), \(8v=800\), \(v=100\) y \(g=250\).
   3. \(250+100=350\) y \(12\cdot250+20\cdot100=3000+2000=5000\). Correcto.
   4. \(v=90\) y \(g=260\): \(12\cdot260+20\cdot90=3120+1800=4920\) €. Respuesta: se recaudarían 4 920 €, 80 € menos.

   Criterios de corrección: el sistema vale 2 puntos y la resolución otros 2 (250 generales y 100 VIP). La comprobación vale 1 punto. En el último apartado se valora advertir que limitar el aforo VIP a 90 entradas reduce la recaudación en 80 €, porque cada entrada VIP sustituida por una general deja 8 € menos.

Total : 20 puntos