Inecuaciones y sistemas de inecuaciones – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Dividimos entre \(-3\) e invertimos el sentido: \(x>-4\). Intervalo \((-4,+\infty)\). Comprobación: \(x=0\) da \(0<12\), cierto.
   2. \(-2x\ge-4\), luego \(x\le2\). Intervalo \((-\infty,2]\). Restamos 5 y dividimos entre \(-2\), invirtiendo el sentido. Comprobación: \(x=0\) da \(5\ge1\).
   3. \(3x-3<2x+4\), \(x<7\). Intervalo \((-\infty,7)\). Quitamos el paréntesis y agrupamos. Comprobación: \(x=0\) da \(-3<4\).
   4. Multiplicamos por \(6\): \(3(x+1)\ge2(x-2)\), \(3x+3\ge2x-4\), \(x\ge-7\). Intervalo \([-7,+\infty)\). Comprobación: \(x=-7\) da \(-3\ge-3\), cierto.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(2x+3<11\), \(x<4\): \((-\infty,4)\). Restamos 3 y dividimos entre 2. Comprobación: \(x=0\) da \(3<11\).
   2. \(\dfrac{x}{2}-4\ge-1\), \(\dfrac{x}{2}\ge3\), \(x\ge6\): \([6,+\infty)\). Sumamos 4 y multiplicamos por 2. Comprobación: \(x=6\) da \(3-4=-1\).
   3. \(x+3x\le20\), \(x\le5\): \((-\infty,5]\). «Como mucho» se traduce por \(\le\); agrupamos \(x+3x=4x\) y dividimos entre 4.
   4. \(x-5>0\), \(x>5\): \((5,+\infty)\). «Positivo» significa mayor que cero.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(x>2\) y \(x\le5\): \((2,5]\). Resolvemos cada inecuación y nos quedamos con los números que cumplen las dos.
   2. \(3x<-3\) da \(x<-1\); \(-x<4\) da \(x>-4\). Solución \((-4,-1)\). La segunda: restamos 5 y multiplicamos por \(-1\), invirtiendo el sentido.
   3. \(x\ge3\) y \(x<2\): no hay ningún número que cumpla las dos. Conjunto vacío. Las dos soluciones no tienen puntos comunes.
   4. \(\dfrac{x}{2}>-1\) da \(x>-2\); \(-3x\ge-6\) da \(x\le2\). Solución \((-2,2]\). Comprobación con \(x=0\): \(1>0\) y \(4\ge-2\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Raíces \(2\) y \(3\); la parábola abierta hacia arriba es negativa entre ellas: \((2,3)\).
   2. Raíces \(-2\) y \(2\); es \(\ge0\) fuera del intervalo abierto: \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\).
   3. \(\Delta=4-20<0\) y la parábola está siempre por encima del eje: solución todos los reales, \(\mathbb{R}\).
   4. \(x(4-x)\ge0\): raíces \(0\) y \(4\); abierta hacia abajo, es positiva entre ellas: \([0,4]\). Comprobación: \(x=2\) da \(4\ge0\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Numerador cero en \(1\); denominador cero en \(-2\) (no incluido). Signo positivo fuera de \([-2,1]\): \((-\infty,-2)\cup[1,+\infty)\).
   2. Cambia de signo en \(0\) y en \(3\); es negativo entre ambos: \((0,3)\).
   3. \(\dfrac{x+1}{x-2}-1\le0\), \(\dfrac{3}{x-2}\le0\), luego \(x-2<0\) y \(x<2\): \((-\infty,2)\).
   4. Porque \(x-2\) puede ser positivo o negativo y el sentido de la desigualdad cambia según el caso; es más seguro pasar todo a un miembro y estudiar signos.

6. Solución del ejercicio 6

   1. La frontera pasa por \((0,-1)\) y \((1,1)\). Como la desigualdad es estricta (\(>\)), se dibuja discontinua.
   2. \((0,0)\): \(0>-1\), sí. \((1,1)\): \(1>1\) es falso, no. \((2,4)\): \(4>3\), sí.
   3. \(y\le3-x\): región bajo la recta, frontera incluida (línea continua). \((2,2)\): \(4\le3\) es falso, no pertenece.
   4. No: los puntos de la frontera cumplen \(y=2x-1\) y no \(y>2x-1\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Es el triángulo de vértices \((0,0)\), \((4,0)\) y \((0,4)\).
   2. Triángulo rectángulo de catetos \(4\) y \(4\): \(A=\dfrac{4\cdot4}{2}=8\).
   3. \((1,1)\) sí. \((3,2)\) no (\(3+2=5>4\)). \((0,4)\) sí (está en el vértice, la frontera se incluye).
   4. Nueva región: \((0,0)\), \((0,4)\) y el corte de \(y=x\) con \(x+y=4\), que es \((2,2)\). Área \(4\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(1{,}2c+0{,}8b\le20\). El gasto total no puede superar 20 €.
   2. \(9{,}6+0{,}8b\le20\), \(b\le13\): como máximo \(13\) bolígrafos. Sustituimos \(c=8\) y despejamos \(b\).
   3. \(1{,}2c+8\le20\), \(c\le10\): como máximo \(10\) cuadernos. Sustituimos \(b=10\) y despejamos \(c\).
   4. \(14{,}4+4{,}8=19{,}2\le20\): sí. \(18+1{,}6=19{,}6\le20\): sí. Respuesta: las dos compras son posibles.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Taxi: \(2{,}5+1{,}1x\). VTC: \(4+0{,}8x\). Cada servicio tiene una parte fija y otra proporcional a los kilómetros.
   2. \(2{,}5+1{,}1x<4+0{,}8x\), \(0{,}3x<1{,}5\), \(x<5\). El taxi es más barato para menos de \(5\) km. Restamos \(0{,}8x\) y 2,5 en los dos miembros y dividimos entre 0,3.
   3. \(3\) km: \(5{,}80\) y \(6{,}40\). \(5\) km: \(8\) y \(8\). \(10\) km: \(13{,}50\) y \(12\) €.
   4. A \(12\) km: taxi \(15{,}70\) € y VTC \(13{,}60\) €. Conviene el VTC y se ahorran \(2{,}10\) €.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(7{,}5+0{,}35n\le20\). El peso total del camión y las cajas no puede pasar de 20 t.
    2. \(0{,}35n\le12{,}5\), \(n\le35{,}7\). Como \(n\) es entero, como máximo \(35\) cajas. Restamos 7,5 y dividimos entre 0,35.
    3. \(7{,}5+0{,}35\cdot35=19{,}75\) t. Comprobación: 19,75 t es menos que 20 t.
    4. Si los dos vehículos cruzan juntos, \(7{,}5+9{,}2+0{,}35n\le20\), \(0{,}35n\le3{,}3\), \(n\le9{,}43\). Como máximo \(9\) cajas.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(P=2x+2(20-x)=40\). \(A(x)=x(20-x)=20x-x^2\).
    2. \(20x-x^2\ge75\), es decir \(x^2-20x+75\le0\). Pasamos todo a un miembro y multiplicamos por \(-1\).
    3. Raíces \(x=5\) y \(x=15\); la parábola es negativa entre ellas: \(x\in[5,15]\). Comprobación: \(x=10\) da \(100\ge75\).
    4. El máximo está en \(x=10\): patio cuadrado de \(10\times10\) y \(A=100\) m\(^2\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(B(5)=0\); \(B(10)=-100+300-125=75\); \(B(25)=-625+750-125=0\). Sustituimos cada valor en \(B(x)\).
    2. \(-x^2+30x-125>0\) equivale a \(x^2-30x+125<0\), con raíces \(5\) y \(25\): \(5\lt x<25\).
    3. Hay pérdidas con menos de \(5\) lotes o con más de \(25\). Fuera del intervalo \((5,25)\) la parábola es negativa.
    4. Vértice en \(x=15\): \(B(15)=-225+450-125=100\), es decir \(10\,000\) €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(-5t(t-6)=0\) en \(t=6\) s. Pasamos 4 al otro miembro y multiplicamos por \(-1\), invirtiendo el sentido. Comprobación: \(t=3\) da \(45\ge40\).
    2. \(-5t^2+30t\ge40\), \(t^2-6t+8\le0\), \((t-2)(t-4)\le0\), luego \(2\le t\le4\).
    3. Entre \(t=2\) y \(t=4\): \(2\) segundos. Respuesta: pasa 2 segundos por encima de 40 m.
    4. \(t^2-6t+9\le0\) es \((t-3)^2\le0\), que solo se cumple en \(t=3\): ese es el instante de la altura máxima, \(45\) m.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(20\le k\le35\), \(s\le3\) y \(\dfrac{k}{s}\le15\) si reparte los kilómetros por igual.
    2. A: \(k=24\), \(s=3\) (8 km por salida): cumple. B: \(k=40\), \(s=3\) (supera \(35\)): no cumple. C: \(k=30\), \(s=2\) (\(15\) km por salida): cumple. D: \(k=32\), \(s=2\) (\(16\) km por salida): no cumple.
    3. B incumple \(k\le35\); D incumple el máximo de \(15\) km por salida.
    4. Con tres salidas y \(15\) km por salida serían \(45\) km, pero la semana está limitada a \(35\) km: el máximo es \(35\) km.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(300p+60f\le900\), \(p\ge1\), \(f\ge2\). Una inecuación limita las calorías y las otras dos el número mínimo de raciones.
    2. Con \(p=2\): \(600+60f\le900\), \(f\le5\) y \(f\ge2\). Combinaciones: \(f=2,3,4,5\). Sustituimos \(p=2\) y despejamos \(f\).
    3. Con \(p=1\): \(300+60f\le900\), \(f\le10\). Sustituimos \(p=1\). Respuesta: 10 raciones de fruta.
    4. \(2\cdot0{,}90+5\cdot0{,}40=1{,}80+2=3{,}80\) €. Multiplicamos cada precio por el número de raciones. Respuesta: 3,80 €.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(g+v\le500\), \(12g+20v\ge7000\), \(g\ge0\), \(v\ge0\).
    2. \((300,150)\): \(450\le500\) y \(3600+3000=6600<7000\), no cumple. \((400,100)\): \(500\le500\) y \(4800+2000=6800<7000\), no cumple. \((200,100)\): \(300\) y \(2400+2000=4400\), no cumple.
    3. Con \(g+v=500\) y \(12g+20v=7000\): \(g=500-v\), \(6000+8v=7000\), \(v=125\), \(g=375\). La segunda recta corta al eje \(v\) en \((0,350)\) y al eje \(g\) en \(\left(\dfrac{1750}{3},0\right)\approx(583{,}3;0)\), fuera del aforo. La región es el triángulo de vértices \((0,350)\), \((0,500)\) y \((375,125)\).
    4. Con \(v=500\) y \(g=0\): \(20\cdot500=10\,000\) €.
    5. Cada entrada VIP deja \(8\) € más que una general y ambas ocupan un asiento, luego para el aforo limitado conviene que todas sean VIP.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(2x+3y\le240\), \(x+y\le100\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
    2. Vértices: \((0,0)\), \((100,0)\), \((0,80)\) y el corte \(2x+3y=240\), \(x+y=100\) que es \((60,40)\).
    3. \((0,0)\): \(0\); \((100,0)\): \(400\); \((0,80)\): \(400\); \((60,40)\): \(240+200=440\) €.
    4. El máximo es \(440\) € con \(60\) coches y \(40\) muñecos.
    5. Sí: \(2\cdot60+3\cdot40=240\) horas y \(60+40=100\) juguetes; se agota todo.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(\dfrac{1260}{x}\le150\) con \(x>0\). El coste por persona es el total dividido entre el número de personas.
    2. \(1260\le150x\), \(x\ge8{,}4\). Con \(x\le12\) y \(x\) entero: \(x\in\{9,10,11,12\}\). Multiplicamos por \(x\), que es positivo, y dividimos entre 150.
    3. \(x=8\): \(157{,}50\) €; \(x=9\): \(140\) €; \(x=10\): \(126\) €; \(x=12\): \(105\) €. Dividimos 1 260 entre cada número de personas.
    4. \(140-105=35\) € por persona. Restamos los dos costes por persona.
    5. \(\dfrac{1260}{x}+45<190\), \(\dfrac{1260}{x}<145\), \(x>8{,}69\): desde \(9\) personas. Comprobación: con 9 personas, \(140+45=185<190\); con 8, \(157{,}5+45=202{,}5\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(x^2<9\) da \((-3,3)\); \(2x\ge-4\) da \(x\ge-2\). Intersección \([-2,3)\). Resolvemos cada inecuación y tomamos la intersección. Comprobación: \(x=0\) cumple las dos.
    2. \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ge0\) da \((-\infty,-2]\cup[3,+\infty)\); con \(x<5\): \((-\infty,-2]\cup[3,5)\). La parábola es positiva fuera de sus raíces; después cortamos con \(x<5\).
    3. \(\dfrac{x-1}{x+3}>0\) da \((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\); con \(x\le4\): \((-\infty,-3)\cup(1,4]\). Un cociente es positivo si numerador y denominador tienen el mismo signo.
    4. \(-3\lt x-2<3\), es decir \(x>-1\) y \(x<5\): \((-1,5)\). El valor absoluto menor que 3 significa estar a menos de 3 unidades de 2.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Debe ser \(\Delta=k^2-4<0\), es decir \(-2\lt k<2\). Si el discriminante es negativo, la parábola no corta al eje y, como se abre hacia arriba, siempre es positiva.
    2. \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0\), luego \(a^2+b^2\ge2ab\), con igualdad cuando \(a=b\).
    3. Lados \(x\) y \(12-x\) con \(0\lt x<12\): \(A=x(12-x)=36-(x-6)^2\le36\). Por tanto \(0\lt A\le36\), con máximo para \(x=6\) (un cuadrado).
    4. \((x-2)^2\le0\) solo se cumple para \(x=2\): la solución es el conjunto \(\{2\}\). Un cuadrado nunca es negativo, solo puede valer cero.