Funciones y sus características – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Sí: cada \(x\) tiene un único \(y\) (es \(y=2x+1\)).
   2. No: \(x=1\) tiene dos imágenes distintas, \(2\) y \(4\).
   3. Sí: cada persona tiene una sola fecha de nacimiento.
   4. No: una misma fecha puede corresponder a dos alumnos, es decir, a dos valores distintos.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(f(-1)=1+3+2=6\); \(f(0)=2\); \(f(2)=4-6+2=0\). Sustituimos cada valor en la expresión, cuidando los signos.
   2. \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\), luego \(x=1\) o \(x=2\). Factorizamos buscando dos números que sumen \(-3\) y multipliquen 2.
   3. \(x^2-3x-4=0\), \((x-4)(x+1)=0\): \(x=4\) o \(x=-1\). Pasamos el 6 al primer miembro y factorizamos.
   4. \(f(4)=16-12+2=6\): el punto \((4,6)\) sí pertenece. \(f(3)=9-9+2=2\ne1\): el punto \((3,1)\) no pertenece.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Debe ser \(x-3\ge0\): \(\mathrm{Dom}\,f=[3,+\infty)\). El radicando de una raíz cuadrada no puede ser negativo.
   2. El denominador no puede ser cero: \(x^2-4=0\) en \(x=\pm2\). \(\mathrm{Dom}\,g=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).
   3. Debe ser \(9-x^2\ge0\), es decir \(x^2\le9\): \(\mathrm{Dom}\,h=[-3,3]\). Los valores de \(x\) entre \(-3\) y 3 cumplen la condición.
   4. \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0\) en \(x=-3\) y \(x=2\). \(\mathrm{Dom}\,k=\mathbb{R}\setminus\{-3,2\}\). Factorizamos el denominador y excluimos sus raíces.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(x^2\ge0\), luego \(f(x)\ge1\): recorrido \([1,+\infty)\). El valor mínimo, 1, se alcanza en \(x=0\).
   2. \(-x^2\le0\), luego \(g(x)\le4\): recorrido \((-\infty,4]\). El valor máximo, 4, se alcanza en \(x=0\).
   3. Una recta no horizontal toma todos los valores: recorrido \(\mathbb{R}\). Para cualquier \(y\) basta tomar \(x=\dfrac{y+5}{2}\).
   4. \(\sqrt{x}\ge0\), luego \(k(x)\ge2\): recorrido \([2,+\infty)\). El valor mínimo, 2, se alcanza en \(x=0\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Eje \(Y\): \(f(0)=6\), punto \((0,6)\). Eje \(X\): \(x^2-5x+6=0\), \(x=2\) y \(x=3\): puntos \((2,0)\) y \((3,0)\).
   2. Eje \(Y\): \((0,-6)\). Eje \(X\): \(2x-6=0\), \(x=3\): punto \((3,0)\).
   3. Eje \(Y\): \((0,0)\). Eje \(X\): \(x(x-1)(x+1)=0\): \((-1,0)\), \((0,0)\) y \((1,0)\).
   4. Eje \(Y\): \(k(0)=\dfrac{4}{-2}=-2\), punto \((0,-2)\). Eje \(X\): \(x+4=0\), \(x=-4\): punto \((-4,0)\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Dominio \([-3,5]\). Recorrido \([-1,4]\).
   2. Crece en \((-3,-1)\) y en \((1,3)\). Decrece en \((-1,1)\) y en \((3,5)\).
   3. Máximos relativos en \(x=-1\) (\(f=4\)) y en \(x=3\) (\(f=3\)). Mínimo relativo en \(x=1\) (\(f=1\)). El máximo absoluto es \(4\) y el mínimo absoluto \(-1\) (en \(x=5\)).
   4. En el punto medio del segmento entre \((-1,4)\) y \((1,1)\): \(f(0)=\dfrac{4+1}{2}=2{,}5\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Por la izquierda \(2+1=3\); por la derecha \(5-2=3\) y \(f(2)=3\). Coinciden: es continua en \(x=2\).
   2. Por la izquierda \(1^2=1\); por la derecha \(g(1)=2\). Los valores no coinciden: discontinuidad de salto en \(x=1\).
   3. No está definida en \(x=1\) y los valores crecen sin límite al acercarse: discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical.
   4. \(f(-1)=0\); \(f(0)=1\); \(f(1)=2\); \(f(2)=3\); \(f(3)=2\); \(f(4)=1\). Las dos semirrectas se unen en \((2,3)\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(f(-x)=x^4-2x^2=f(x)\): par (simétrica respecto del eje \(Y\)). Sustituimos \(x\) por \(-x\); las potencias pares no cambian de signo.
   2. \(g(-x)=-x^3+x=-g(x)\): impar (simétrica respecto del origen). Las potencias impares cambian de signo.
   3. \(h(-x)=x^2-x\), que no es \(h(x)\) ni \(-h(x)\): ni par ni impar. Por ejemplo, \(h(1)=2\) y \(h(-1)=0\).
   4. \(|-x|=|x|\): \(k\) es par. \(\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}\): \(m\) es impar.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(0{,}5\) h: \(2{,}50\) €; \(1\) h: \(2{,}50\) €; \(1{,}5\) h: \(3{,}70\) €; \(2\) h: \(3{,}70\) €; \(4\) h: \(6{,}10\) €; \(8\) h: \(10{,}90\) €; \(12\) h: \(12\) € (máximo).
   2. Dominio \((0,24]\) horas. Recorrido: \(\{2{,}50;\ 3{,}70;\ 4{,}90;\ \dots;\ 12\}\), un conjunto finito de valores.
   3. No es continua: tiene saltos de \(1{,}20\) € cada vez que se pasa de una hora (fracción) a la siguiente.
   4. \(3\) h \(10\) min son \(4\) horas o fracción: \(2{,}50+3\cdot1{,}20=6{,}10\) €.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Independiente: la hora \(t\). Dependiente: la temperatura \(T\). Dominio: \([0,24]\) horas.
    2. Crece de las \(6\) a las \(15\) h y de las \(21\) a las \(24\) h; decrece de las \(0\) a las \(6\) h y de las \(15\) a las \(21\) h.
    3. Máximo absoluto: \(17\) °C a las \(15\) h. Mínimo absoluto: \(4\) °C a las \(6\) h.
    4. Recorrido \([4,17]\) °C. Con \(10\) °C: a las \(9\) h (subiendo) y hacia las \(19\) h (bajando, entre los \(12\) °C de las \(18\) h y los \(7\) °C de las \(21\) h).

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(V(t)=20t\). El volumen aumenta 20 L cada minuto.
    2. Dominio \([0,25]\) min y recorrido \([0,500]\) L. El tiempo va desde 0 hasta que se llena.
    3. \(20t=500\), \(t=25\) min. \(V(12)=240\) L.
    4. \(V(t)=60+20t\); llega a \(500\) L cuando \(20t=440\), \(t=22\) min. Dominio \([0,22]\) y recorrido \([60,500]\). Respuesta: tarda 22 minutos en llenarse.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(P(x)=3+1{,}1x\). El precio tiene una parte fija, 3 €, y otra proporcional a los kilómetros.
    2. \(P(0)=3\); \(P(5)=8{,}50\); \(P(12)=16{,}20\) €. Sustituimos cada valor de \(x\).
    3. \(3+1{,}1x=25\), \(x=20\) km. Igualamos a 25 y despejamos \(x\). Respuesta: 20 km.
    4. Dominio \([0,50]\) km y recorrido \([3,58]\) €. \(P(50)=3+55=58\) €. Respuesta: dominio \([0,50]\) y recorrido \([3,58]\).

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(v(t)=12t\) si \(0\le t\le10\); \(v(t)=120\) si \(10\lt t\le40\); \(v(t)=120-12(t-40)\) si \(40\lt t\le50\). Cada tramo tiene su propia expresión.
    2. \(v(5)=60\) km/h; \(v(20)=120\) km/h; \(v(45)=120-60=60\) km/h. Elegimos el tramo según el valor de \(t\).
    3. Crece en \((0,10)\), es constante en \((10,40)\) y decrece en \((40,50)\).
    4. \(30\) min \(=0{,}5\) h a \(120\) km/h: \(60\) km. La distancia es la velocidad por el tiempo.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(B(0)=-36\); \(B(2)=-4+40-36=0\); \(B(10)=-100+200-36=64\).
    2. \(-x^2+20x-36=0\) da \(x^2-20x+36=0\), \((x-2)(x-18)=0\): \(x=2\) y \(x=18\).
    3. Vértice en \(x=\dfrac{-20}{-2}=10\), \(B(10)=64\): con \(10\) sesiones el beneficio máximo es \(64\) cientos de euros, \(6\,400\) €.
    4. Crece en \((0,10)\) y decrece en \((10,20)\). Con \(B(0)=-36\) y \(B(20)=-400+400-36=-36\), el recorrido es \([-36,64]\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(h(0)=0\); \(h(1)=15\); \(h(2)=20\); \(h(3)=15\); \(h(4)=0\) m. Sustituimos cada valor de \(t\).
    2. La pelota vuelve al suelo cuando \(h=0\): \(5t(4-t)=0\), \(t=4\) s. Dominio \([0,4]\).
    3. Máximo: \(20\) m en \(t=2\) s. Recorrido \([0,20]\).
    4. \(20t-5t^2>15\) equivale a \(t^2-4t+3<0\), \((t-1)(t-3)<0\): \(1\lt t<3\). La gráfica es simétrica respecto de la recta vertical \(t=2\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. Máximo \(4\) m a las \(3\) h; mínimo \(0\) m a las \(9\) h.
    2. Periodo \(12\) h. \(h(15)=h(3)=4\) m y \(h(24)=h(12)=2\) m.
    3. \(2+2\operatorname{sen}(30^\circ t)=3\) da \(\operatorname{sen}(30^\circ t)=0{,}5\), es decir \(30^\circ t=30^\circ\) o \(150^\circ\): \(t=1\) h o \(t=5\) h (y, por la repetición, \(13\) h y \(17\) h). La altura vale \(2\) m cuando el seno es \(0\): a las \(0\), \(6\), \(12\), \(18\) y \(24\) h.
    4. Hace falta \(\operatorname{sen}(30^\circ t)\ge0{,}25\), es decir \(14{,}5^\circ\le30^\circ t\le165{,}5^\circ\), luego \(0{,}48\le t\le5{,}52\) h. Con la repetición, también de las \(12{,}48\) h a las \(17{,}52\) h. Puede entrar de las \(0{,}5\) h a las \(5{,}5\) h y de las \(12{,}5\) h a las \(17{,}5\) h, aproximadamente.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(P(n)=0{,}10n\) si \(0\le n\le50\); \(P(n)=5+0{,}08(n-50)\) si \(50\lt n\le100\); \(P(n)=9+0{,}06(n-100)\) si \(n>100\).
    2. \(P(30)=3\); \(P(50)=5\); \(P(80)=5+2{,}40=7{,}40\); \(P(100)=9\); \(P(150)=12\) €.
    3. En \(n=50\): \(0{,}10\cdot50=5\) y \(5+0=5\). En \(n=100\): \(5+0{,}08\cdot50=9\) y \(9+0=9\). Los valores coinciden: continua.
    4. Con \(10\) €: \(9+0{,}06(n-100)=10\), \(n-100=\dfrac{50}{3}\approx16{,}7\), luego \(116\) copias completas. Con \(150\) copias: \(\dfrac{12}{150}=0{,}08\) € por copia.
    5. Cada copia adicional siempre cuesta más de \(0\) €, aunque cada vez menos; por eso el total nunca disminuye.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(A(x)=10x-x^2\), con \(0\lt x<10\).
    2. \(9;\ 16;\ 21;\ 24;\ 25;\ 24;\ 21;\ 16;\ 9\) m\(^2\).
    3. Máxima en \(x=5\): \(25\) m\(^2\). Es un cuadrado de \(5\times5\).
    4. Recorrido \((0,25]\). Crece en \((0,5)\) y decrece en \((5,10)\). Simétrica respecto de la recta \(x=5\).
    5. \(10x-x^2\ge21\) equivale a \(x^2-10x+21\le0\), \((x-3)(x-7)\le0\): \(3\le x\le7\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. Puntos: \((0,0)\), \((2,40)\), \((2{,}5;\ 40)\), \((4;\ 85)\) y \((5;\ 105)\).
    2. Tramo 1: \(\dfrac{40}{2}=20\) km/h. Tramo 2: \(0\) km/h. Tramo 3: \(\dfrac{45}{1{,}5}=30\) km/h. Tramo 4: \(\dfrac{20}{1}=20\) km/h.
    3. En el segundo tramo la distancia no cambia: el ciclista está parado.
    4. Distancia total \(40+45+20=105\) km en \(5\) h: \(\dfrac{105}{5}=21\) km/h.
    5. En movimiento: \(5-0{,}5=4{,}5\) h. Velocidad media \(\dfrac{105}{4{,}5}\approx23{,}3\) km/h.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Debe ser \(x^2-4x+3\ge0\), \((x-1)(x-3)\ge0\): \(\mathrm{Dom}\,f=(-\infty,1]\cup[3,+\infty)\). La parábola es positiva fuera de sus raíces.
    2. Radicando \(x+2\ge0\) da \(x\ge-2\); además \(x\ne1\). \(\mathrm{Dom}\,g=[-2,1)\cup(1,+\infty)\). El denominador no puede ser cero.
    3. Si \(f\) y \(g\) son impares, \((fg)(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)\): \(fg\) es par.
    4. \(p(5)=p(1)=1\); \(p(10)=p(2)=2\); \(p(-1)=p(3)=3\). Restamos o sumamos el periodo hasta caer en \([0,4)\).