Inecuaciones y sistemas de inecuaciones – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Resuelve cada inecuación y escribe la solución como intervalo.

1. \(-3x<12\)
2. \(5-2x\ge1\)
3. \(3(x-1)<2x+4\)
4. \(\dfrac{x+1}{2}\ge\dfrac{x-2}{3}\)

Traduce cada frase a una inecuación, resuélvela y representa la solución en la recta real.

1. El doble de un número, aumentado en \(3\), es menor que \(11\).
2. La mitad de un número menos \(4\) es mayor o igual que \(-1\).
3. Un número y su triple suman como mucho \(20\).
4. Cinco unidades menos que un número es positivo.

Resuelve cada sistema como intersección de las soluciones.

1. \(\begin{cases}2x-1>3\\ x+4\le9\end{cases}\)
2. \(\begin{cases}3x+2<-1\\ 5-x<9\end{cases}\)
3. \(\begin{cases}x-3\ge0\\ 2x<4\end{cases}\)
4. \(\begin{cases}\dfrac{x}{2}+1>0\\ 4-3x\ge-2\end{cases}\)

Resuelve estudiando el signo de la parábola entre sus raíces.

1. \(x^2-5x+6<0\)
2. \(x^2-4\ge0\)
3. \(x^2+2x+5>0\)
4. \(-x^2+4x\ge0\)

Resuelve con una tabla de signos del numerador y del denominador.

1. \(\dfrac{x-1}{x+2}\ge0\)
2. \(\dfrac{x}{x-3}<0\)
3. \(\dfrac{x+1}{x-2}\le1\)
4. Explica por qué no se puede multiplicar directamente por \(x-2\).

Una inecuación con dos incógnitas determina un semiplano. Considera \(y>2x-1\).

1. Dibuja la recta frontera \(y=2x-1\) y decide si va con línea continua o discontinua.
2. Comprueba si los puntos \((0,0)\), \((1,1)\) y \((2,4)\) pertenecen a la región.
3. Escribe el semiplano de \(x+y\le3\) y comprueba el punto \((2,2)\).
4. ¿Pertenece algún punto de la recta \(y=2x-1\) a la solución?

Considera el sistema \(\begin{cases}x\ge0\\ y\ge0\\ x+y\le4\end{cases}\)

1. Dibuja la región solución y calcula sus vértices.
2. Calcula el área de la región.
3. ¿Pertenecen \((1,1)\), \((3,2)\) y \((0,4)\)?
4. Si añadimos la condición \(y\ge x\), ¿qué vértices tiene la nueva región?

Para empezar el curso, una familia de Logroño dispone de \(20\) € como máximo para comprar cuadernos de \(1{,}20\) € cada uno y bolígrafos de \(0{,}80\) € cada uno.

1. Escribe la inecuación que relaciona el número \(c\) de cuadernos y el número \(b\) de bolígrafos.
2. Si compra \(8\) cuadernos, ¿cuántos bolígrafos puede comprar como máximo?
3. Si compra \(10\) bolígrafos, ¿cuántos cuadernos como máximo?
4. ¿Puede comprar \(12\) cuadernos y \(6\) bolígrafos? ¿Y \(15\) cuadernos y \(2\) bolígrafos?

En una ciudad española, un taxi cobra una bajada de bandera de \(2{,}50\) € más \(1{,}10\) € por kilómetro y un servicio de VTC cobra \(4\) € fijos más \(0{,}80\) € por kilómetro.

1. Escribe el precio de cada servicio para un trayecto de \(x\) km.
2. Plantea y resuelve la inecuación que dice cuándo el taxi es más barato.
3. Calcula ambos precios para \(3\) km, \(5\) km y \(10\) km.
4. ¿Qué servicio conviene para ir desde el aeropuerto al centro, a \(12\) km? ¿Cuánto se ahorra?

Un puente de una carretera de Asturias limita la carga total de los vehículos a \(20\) toneladas. Un camión vacío pesa \(7{,}5\) t y transporta cajas de \(0{,}35\) t.

1. Plantea la inecuación para el número \(n\) de cajas.
2. Resuélvela e interpreta el resultado: ¿cuántas cajas como máximo?
3. ¿Cuántas toneladas pesa el camión con ese número de cajas?
4. Una grúa de \(9{,}2\) t va con el camión. ¿Cuántas cajas puede llevar ahora el camión?

El colegio quiere vallar un patio rectangular de lados \(x\) y \((20-x)\) metros con una valla de \(40\) m. Para el recreo se necesita una superficie de al menos \(75\) m\(^2\).

1. Comprueba que el perímetro es siempre \(40\) m y escribe el área \(A(x)\).
2. Plantea la inecuación \(x(20-x)\ge75\).
3. Resuélvela y expresa \(x\) como intervalo.
4. Calcula el área máxima y las dimensiones del patio en ese caso.

El beneficio mensual (en cientos de euros) de una tienda de deporte de Sevilla al vender \(x\) lotes de camisetas es \(B(x)=-x^2+30x-125\).

1. Calcula \(B(5)\), \(B(10)\) y \(B(25)\).
2. Resuelve \(B(x)>0\) para saber cuándo hay beneficio.
3. ¿Cuántos lotes dan pérdidas?
4. ¿Con cuántos lotes es máximo el beneficio y cuánto vale?

En unas fiestas de Alicante se lanza un cohete de agua. Su altura en metros a los \(t\) segundos es \(h(t)=-5t^2+30t\).

1. Calcula cuándo vuelve al suelo.
2. Resuelve \(h(t)\ge40\) e interpreta el resultado.
3. ¿Cuánto tiempo pasa por encima de \(40\) m?
4. Resuelve \(h(t)\ge45\) y explica el resultado.

Una corredora de Pontevedra prepara una media maratón. Su entrenador le propone correr cada semana entre \(20\) km y \(35\) km, con tres salidas como máximo y sin pasar de \(15\) km en una salida. La tabla muestra cuatro planes.

1. Escribe las condiciones como inecuaciones para \(k\) kilómetros semanales y \(s\) salidas.
2. ¿Cuáles de los planes de la tabla cumplen todas las condiciones?
3. En el plan que no cumple, indica qué condición se incumple.
4. ¿Cuál es el máximo de kilómetros que puede hacer con \(3\) salidas respetando todo?

En un menú de un comedor escolar de Granada se combinan raciones de pasta (\(300\) kcal cada una) y de fruta (\(60\) kcal cada una). El menú debe tener como máximo \(900\) kcal y al menos una ración de pasta y dos de fruta.

1. Escribe el sistema de inecuaciones con \(p\) raciones de pasta y \(f\) de fruta.
2. Enumera todas las combinaciones enteras posibles con \(p=2\).
3. ¿Cuál es el máximo número de raciones de fruta con \(p=1\)?
4. Si cada ración de pasta cuesta \(0{,}90\) € y la de fruta \(0{,}40\) €, calcula el coste de la combinación \(p=2\), \(f=5\).

En una sala de conciertos de Barcelona caben como máximo \(500\) personas. Las entradas generales cuestan \(12\) € y las VIP \(20\) €. La organización necesita recaudar al menos \(7\,000\) €. Sea \(g\) el número de entradas generales y \(v\) el de VIP.

1. Escribe el sistema de inecuaciones.
2. Comprueba si \((300,150)\), \((400,100)\) y \((200,100)\) son combinaciones válidas.
3. Calcula el punto de corte de las rectas \(g+v=500\) y \(12g+20v=7000\) y los cortes de la segunda recta con los ejes. ¿Qué forma tiene la región?
4. ¿Cuál es la recaudación máxima posible y con qué combinación?
5. Razona por qué en la práctica la recaudación máxima exige llenar la sala de entradas VIP.

Una fábrica de Ibi (Alicante) produce coches de juguete (beneficio \(4\) € por unidad) y muñecos (beneficio \(5\) € por unidad). Cada día se dispone de \(240\) horas de trabajo y se necesitan \(2\) horas por coche y \(3\) por muñeco; además, el material permite producir como máximo \(100\) juguetes al día.

1. Escribe las inecuaciones del problema con \(x\) coches e \(y\) muñecos.
2. Calcula los vértices de la región de producción posible.
3. Completa la tabla con el beneficio \(4x+5y\) en cada vértice.
4. ¿Con qué producción es máximo el beneficio y cuánto vale?
5. Interpreta el resultado: ¿se agotan las horas y el material?

Un grupo de amigos de Valladolid alquila una casa rural para una semana por \(1\,260\) € y reparte el gasto a partes iguales. La casa admite como máximo \(12\) personas y cada uno quiere pagar como máximo \(150\) €.

1. Plantea la inecuación \(\dfrac{1260}{x}\le150\).
2. Resuélvela y combínala con \(x\le12\).
3. Completa la tabla del coste por persona para \(x=8,9,10,12\).
4. ¿Cuánto ahorra cada uno si van \(12\) en lugar de \(9\)?
5. Si cada persona gastara además \(45\) € en comida, ¿desde cuántas personas el gasto total por persona queda por debajo de \(190\) €?

Resuelve y escribe la solución con intervalos.

1. \(\begin{cases}x^2-9<0\\ 2x+1\ge-3\end{cases}\)
2. \(\begin{cases}x^2-x-6\ge0\\ x<5\end{cases}\)
3. \(\begin{cases}\dfrac{x-1}{x+3}>0\\ x\le4\end{cases}\)
4. \(|x-2|<3\) como sistema de dos inecuaciones.

Resuelve estos retos.

1. ¿Para qué valores de \(k\) se cumple \(x^2+kx+1>0\) para todo \(x\)?
2. Demuestra que \(a^2+b^2\ge2ab\) para cualesquiera \(a,b\).
3. Un rectángulo tiene perímetro \(24\) cm. ¿Entre qué valores puede estar su área? ¿Cuándo es máxima?
4. Resuelve \(x^2-4x+4\le0\) y explica la solución.