Inecuaciones y sistemas de inecuaciones – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Multiplicamos por \(2\): \(3x-1\le2x+8\), \(x\le9\): \((-\infty,9]\). Comprobación: \(x=9\) da \(13\le13\).
   2. \(2x>-4\) da \(x>-2\); \(-x\ge-4\) da \(x\le4\). Solución \((-2,4]\). Tomamos la intersección de las dos soluciones.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por multiplicar por 2 manteniendo el sentido y 1 punto por \((-\infty,9]\); con \(x=0\): \(-\dfrac{1}{2}\le4\). En b) 0,5 puntos por cada inecuación y 1 punto por la intersección \((-2,4]\), abierta en \(-2\) y cerrada en 4.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Raíces \(-2\) y \(5\): negativo entre ellas, \((-2,5)\). La parábola se abre hacia arriba, así que es negativa entre sus raíces. Comprobación: \(x=0\) da \(-10<0\).
   2. \((x-3)^2>0\) se cumple para todo \(x\ne3\): \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Un cuadrado es positivo salvo cuando vale cero.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por las raíces \(-2\) y 5 y 1 punto por el intervalo abierto \((-2,5)\). En b) 1 punto por reconocer el cuadrado perfecto \((x-3)^2\) y 1 punto por excluir solo el 3, porque en él la expresión vale 0 y la desigualdad es estricta.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Numerador cero en \(-2\) (incluido); denominador cero en \(1\) (excluido). El cociente es negativo entre ambos: solución \([-2,1)\). Comprobación: \(x=0\) da \(\dfrac{2}{-1}=-2\le0\), cierto; \(x=2\) da \(4\), falso.

   Criterios de corrección: 1 punto por los valores críticos \(-2\) y 1, 1 punto por la tabla de signos en los tres intervalos y 1 punto por el resultado \([-2,1)\), incluyendo \(-2\), donde el cociente vale 0, y excluyendo 1, donde el denominador se anula.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Vértices \((0,0)\), \((8,0)\) y \((0,4)\). Área \(=\dfrac{8\cdot4}{2}=16\). Los vértices son los cortes de la recta \(x+2y=8\) con los ejes.
   2. \((2,3)\): \(2+6=8\le8\), sí. \((6,2)\): \(6+4=10>8\), no.

   Criterios de corrección: en a) 0,5 puntos por cada vértice no trivial, \((8,0)\) y \((0,4)\), y 1 punto por el área 16. En b) 0,5 puntos por cada punto: \((2,3)\) está justo sobre la recta frontera y pertenece porque la desigualdad incluye el igual.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(B(10)=-200+600-400=0\); \(B(15)=-450+900-400=50\); \(B(20)=-800+1200-400=0\).
   2. \(-2x^2+60x-400>0\) equivale a \(x^2-30x+200<0\), con raíces \(10\) y \(20\): hay beneficio con \(10\lt x<20\) camisetas.
   3. Máximo en \(x=15\): \(B(15)=50\) €. Como \(a<0\), el vértice es un máximo.
   4. \(B(x)\ge100\) exige \(x^2-30x+250\le0\), cuyo discriminante \(900-1000<0\): nunca ocurre, porque el máximo es \(50\) €.

   Criterios de corrección: los tres valores valen 1 punto, la resolución de \(B(x)\) positivo 3 puntos, el máximo 1 punto y el último apartado 1 punto. En este se valora razonar que es imposible porque el beneficio máximo, 50 €, en 15 camisetas, ya es menor que 100 €.

Total : 20 puntos