Estadística: medidas de localización y dispersión – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

← Volver a los ejercicios

1. Solución del ejercicio 1

   1. Frecuencias absolutas: \(0\): \(2\); \(1\): \(8\); \(2\): \(9\); \(3\): \(3\); \(4\): \(1\); \(5\): \(1\). Relativas: \(\dfrac{2}{24}\approx0{,}083\); \(0{,}333\); \(0{,}375\); \(0{,}125\); \(0{,}042\); \(0{,}042\). Acumuladas: \(2,\ 10,\ 19,\ 22,\ 23,\ 24\).
   2. Moda \(=2\) (frecuencia \(9\)). Mediana: los datos \(12.^\circ\) y \(13.^\circ\) son \(2\) y \(2\), luego \(Me=2\). Media: \(\dfrac{44}{24}=1{,}833\).
   3. \(F(2)=19\), así que \(\dfrac{19}{24}\approx79{,}2\ \%\).
   4. \(\sigma^2=\dfrac{\sum x_i^2f_i}{24}-\bar{x}^2=4{,}667-3{,}361=1{,}306\) y \(\sigma\approx1{,}14\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. Ordenados: \(11,12,13,14,15,15,15,16,17,18,20\). Suma \(=166\), media \(=\dfrac{166}{11}\approx15{,}09\). Mediana (6.º dato) \(=15\). Moda \(=15\).
   2. Con \(12\) datos: suma \(=226\), media \(=\dfrac{226}{12}\approx18{,}83\). Mediana: \(\dfrac{15+15}{2}=15\). Moda \(=15\).
   3. La media sube de \(15{,}09\) a \(18{,}83\), mientras que mediana y moda no cambian. La media usa todos los valores y los datos extremos la desplazan.
   4. La mediana (o la moda), porque no se ve afectada por el dato atípico \(60\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Marcas: \(155,\ 165,\ 175,\ 185\). Acumuladas: \(4,\ 15,\ 24,\ 30\).
   2. \(\sum x_if_i=5120\), \(\bar{x}=170{,}67\) cm. \(\sum x_i^2f_i=876550\) y \(\sigma^2=91{,}22\), \(\sigma\approx9{,}55\) cm.
   3. El intervalo modal es \([160,170)\) (frecuencia \(11\)). El \(15\).\(^\circ\) dato (mitad de \(30\)) cae en el intervalo \([160,170)\), que es también el intervalo mediano.
   4. Menos de \(170\) cm: \(4+11=15\) alumnos, es decir \(50\ \%\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(\bar{x}=\dfrac{4+8+9+11+18}{5}=\dfrac{50}{5}=10\) minutos. Sumamos los cinco datos y dividimos entre 5.
   2. Desviaciones: \(-6,\ -2,\ -1,\ 1,\ 8\). Cuadrados: \(36,\ 4,\ 1,\ 1,\ 64\) (suma \(106\)). Restamos la media a cada dato; la suma de las desviaciones siempre es cero: \(-6-2-1+1+8=0\).
   3. \(\sigma^2=\dfrac{106}{5}=21{,}2\) y \(\sigma=\sqrt{21{,}2}\approx4{,}60\) minutos. La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la desviación típica su raíz cuadrada.
   4. \(\sum x_i^2=16+64+81+121+324=606\); \(\dfrac{606}{5}-10^2=121{,}2-100=21{,}2\). Coincide. Respuesta: las dos fórmulas dan la misma varianza, 21,2.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(CV_A=\dfrac{1{,}1}{6{,}2}\approx17{,}7\ \%\) y \(CV_B=\dfrac{2{,}0}{5{,}4}\approx37\ \%\).
   2. El grupo A, porque su coeficiente de variación es menor.
   3. Media \(5{,}4\cdot1{,}5=8{,}1\) y desviación \(2{,}0\cdot1{,}5=3{,}0\); el coeficiente no cambia: \(\dfrac{3}{8{,}1}\approx37\ \%\).
   4. \(6{,}2\pm1{,}1\) da el intervalo \([5{,}1;\ 7{,}3]\): es donde se concentra la mayoría de las notas del grupo A.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(n=12\). \(Me=\dfrac{9+10}{2}=9{,}5\). Mitad inferior: \(3,5,6,7,8,9\) con \(Q_1=\dfrac{6+7}{2}=6{,}5\). Mitad superior: \(10,12,13,14,15,30\) con \(Q_3=\dfrac{13+14}{2}=13{,}5\).
   2. Rango \(=30-3=27\). \(IQR=13{,}5-6{,}5=7\).
   3. \(6{,}5-1{,}5\cdot7=-4\) y \(13{,}5+1{,}5\cdot7=24\). El dato \(30>24\) es atípico; los demás están dentro.
   4. Caja de \(6{,}5\) a \(13{,}5\) con la mediana en \(9{,}5\); bigotes de \(3\) a \(15\) y el punto aislado \(30\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Suma \(=77\), media \(=11\). Ordenados: \(8,9,10,11,12,13,14\); mediana \(=11\).
   2. Rango \(=14-8=6\). \(\sigma^2=\dfrac{9+4+1+0+1+4+9}{7}=4\) y \(\sigma=2\).
   3. Media \(14\) y desviación típica \(2\) (no cambia al sumar una constante).
   4. Media \(=1{,}8\cdot11+32=51{,}8\ ^\circ\)F y desviación \(1{,}8\cdot2=3{,}6\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Ordenados: \(12{,}4;\ 12{,}4;\ 12{,}4;\ 12{,}8;\ 12{,}9;\ 13{,}0;\ 13{,}1;\ 13{,}1;\ 13{,}6;\ 14{,}2\). Moda \(=12{,}4\). Mediana \(=\dfrac{12{,}9+13{,}0}{2}=12{,}95\). Media \(=\dfrac{129{,}9}{10}=12{,}99\) s.
   2. \(\sigma^2=0{,}295\) y \(\sigma\approx0{,}54\) s.
   3. El intervalo es \([12{,}45;\ 13{,}53]\). Dentro están 5 atletas.
   4. \(Q_1=12{,}4\) (3.er dato), \(Q_3=13{,}1\) (8.º dato), \(IQR=0{,}7\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. Grupo A (\(n=24\)): \(\bar{x}=5{,}88\) y \(\sigma=1{,}13\). Grupo B (\(n=24\)): \(\bar{x}=6{,}21\) y \(\sigma=2{,}52\).
   2. \(CV_A=19{,}2\ \%\) y \(CV_B=40{,}5\ \%\).
   3. La media más alta es la del grupo B y el más homogéneo es el A, porque tiene menor coeficiente de variación.
   4. La media describe mejor al grupo A, donde las notas se concentran cerca de ella; en el grupo B hay muchos suspensos y muchos sobresalientes y la media no refleja a casi nadie.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(f_i\): \(3,6,6,4,1\). \(h_i\): \(0{,}15;\ 0{,}30;\ 0{,}30;\ 0{,}20;\ 0{,}05\). \(F_i\): \(3,9,15,19,20\).
    2. \(\sum x_if_i=34\) y \(\bar{x}=1{,}7\) goles. \(\sum x_i^2f_i=82\), \(\sigma^2=1{,}21\) y \(\sigma\approx1{,}1\).
    3. Más de \(2\) goles: \(4+1=5\) partidos, \(\dfrac{5}{20}=25\ \%\).
    4. Modas: \(1\) y \(2\) (bimodal). Mediana: datos \(10.^\circ\) y \(11.^\circ\) valen \(2\) y \(2\), luego \(Me=2\). \(Q_1=1\) y \(Q_3=2{,}5\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. Marcas: \(20,30,40,50,60\). Acumuladas: \(18,52,80,94,100\).
    2. \(\bar{x}=\dfrac{3560}{100}=35{,}6\) años. \(\sigma^2=124{,}64\) y \(\sigma\approx11{,}16\) años.
    3. Intervalo modal \([25,35)\) (\(34\) socios). Como \(\dfrac{n}{2}=50\) y la acumulada alcanza \(52\) en \([25,35)\), ese es también el intervalo mediano.
    4. \(18+34=52\) socios: el \(52\ \%\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. Suma \(=127\), media \(=14{,}11\) €. Mediana (5.º dato) \(=12\) €.
    2. Mitad inferior (sin la mediana): \(9,10,11,11\), \(Q_1=10{,}5\). Mitad superior: \(12,13,14,35\), \(Q_3=13{,}5\). \(IQR=3\).
    3. Límite superior \(13{,}5+1{,}5\cdot3=18\). El precio \(35\) supera ese límite: es atípico. Límite inferior \(10{,}5-4{,}5=6\): ninguno por debajo.
    4. Sin el \(35\): suma \(92\), media \(=11{,}5\) € y mediana \(\dfrac{11+12}{2}=11{,}5\) €. La media baja casi \(3\) euros; la mediana apenas cambia.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Ordenados: \(45,46,48,50,52,55,57,58,62,64,70,74\). Mediana \(=\dfrac{55+57}{2}=56\) €.
    2. \(Q_1=\dfrac{48+50}{2}=49\) y \(Q_3=\dfrac{62+64}{2}=63\). \(IQR=14\) €.
    3. Suma \(=681\), media \(=56{,}75\) €. \(\sigma^2\approx79{,}69\) y \(\sigma\approx8{,}93\) €.
    4. Límite \(\bar{x}+\sigma\approx65{,}68\) €: lo superan los meses con \(70\) y \(74\) €, los de más gasto (calefacción y aire acondicionado).

14. Solución del ejercicio 14

    1. Rectángulos de alturas \(5,12,15,10,8\). Intervalo modal: \([2,3)\).
    2. \(\bar{x}=2{,}58\) h y \(\sigma^2=1{,}47\), \(\sigma\approx1{,}21\) h.
    3. Acumuladas: \(5,17,32,42,50\). Como \(\dfrac{n}{2}=25\), el intervalo mediano es \([2,3)\) y \(Me=2+\dfrac{25-17}{15}\cdot1\approx2{,}53\) h.
    4. \(10+8=18\) alumnos, es decir \(36\ \%\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. Marcas: \(2{,}5;\ 7{,}5;\ 12{,}5;\ 17{,}5;\ 22{,}5\). Acumuladas: \(6,\ 20,\ 32,\ 38,\ 40\).
    2. \(\sum x_if_i=420\) y \(\bar{x}=10{,}5\) min. \(\sigma^2=28{,}5\) y \(\sigma\approx5{,}34\) min.
    3. \(\dfrac{n}{2}=20\) se alcanza en \([5,10)\) (acumulada \(20\)): \(Me=5+\dfrac{20-6}{14}\cdot5=10\) min. El intervalo modal es \([5,10)\) (\(14\) usuarios).
    4. Menos de \(10\): \(\dfrac{20}{40}=50\ \%\). Más de \(15\): \(\dfrac{6+2}{40}=20\ \%\).
    5. Media \(\approx10{,}5\) min \(>9\): no cumple. Como los tiempos están asimétricos hacia valores altos, conviene mirar también la mediana (\(10\) min) y el porcentaje de usuarios que esperan más de \(15\) min.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(\bar{x}_1=500\) g y \(\bar{x}_2=500\) g.
    2. \(\sigma_1=1{,}22\) g y \(\sigma_2=8{,}2\) g.
    3. \(CV_1=0{,}24\ \%\) y \(CV_2=1{,}64\ \%\). La máquina 1 es mucho más regular.
    4. Válidos son los pesos en \([495,505]\). Máquina 1: los \(8\). Máquina 2: \(505,495,500,500\), es decir \(4\) de \(8\).
    5. Las dos tienen media cercana a \(500\) g, pero la máquina 2 es muy irregular: debe revisarse, porque la mitad de sus paquetes quedan fuera de la tolerancia.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Suma \(=18\,250\), media \(=2281{,}25\) €. Mediana \(=\dfrac{1300+1350}{2}=1325\) €. Moda \(=1250\) €.
    2. La media supera \(2\,000\) € solo por el sueldo de \(9000\) €. La mediana (\(1325\) €) o la moda representan mejor a la plantilla.
    3. Con todos: \(\sigma\approx2541{,}03\) €. Sin el de \(9000\): media \(=1321{,}43\) € y \(\sigma\approx95{,}83\) €.
    4. Subida de \(100\) €: la media aumenta \(100\) € y la desviación no cambia. Subida del \(5\ \%\): media y desviación se multiplican por \(1{,}05\).

18. Solución del ejercicio 18

    1. Multiplicamos por \(0{,}01\): media \(0{,}5\) m y desviación típica \(0{,}0707\) m (\(7{,}07\cdot0{,}01\)).
    2. La media pasa a \(60\) cm y la desviación típica no cambia (\(7{,}07\) cm).
    3. La media pasa a \(100\) cm, la desviación típica a \(14{,}14\) cm y la varianza se multiplica por \(4\) (\(200\)). El coeficiente de variación no cambia: \(\dfrac{14{,}14}{100}=\dfrac{7{,}07}{50}=14{,}1\ \%\).
    4. Datos nuevos: \(50,55,60,65,70\), media \(60\) y \(\sigma^2=\dfrac{100+25+0+25+100}{5}=50\), \(\sigma\approx7{,}07\). Coincide.

19. Solución del ejercicio 19

    1. A (ordenados \(57{,}8;\ 57{,}9;\ 58{,}0;\ 58{,}2;\ 58{,}3;\ 58{,}5;\ 58{,}6;\ 59{,}1\)): \(Me=58{,}25\), \(Q_1=57{,}95\), \(Q_3=58{,}55\), rango \(1{,}3\). B (ordenados \(57{,}1;\ 57{,}5;\ 58{,}0;\ 58{,}4;\ 58{,}9;\ 59{,}8;\ 60{,}2;\ 61{,}0\)): \(Me=58{,}65\), \(Q_1=57{,}75\), \(Q_3=60\), rango \(3{,}9\).
    2. \(IQR_A=0{,}6\) s e \(IQR_B=2{,}25\) s.
    3. La caja de A es mucho más estrecha: A es más regular. El mejor tiempo es el de B (\(57{,}1\) s).
    4. \(\bar{x}_A=58{,}3\) s con \(\sigma_A=0{,}4\) y \(\bar{x}_B=58{,}86\) s con \(\sigma_B=1{,}28\). La dispersión de B es varias veces mayor.
    5. Si importa la regularidad, el nadador A. Si se busca el mejor tiempo posible, B, a costa de arriesgar tiempos peores.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Suma total \(=5\cdot8=40\); los cuatro conocidos suman \(33\), luego el quinto es \(7\).
    2. Suma \(=4\cdot10=40\). Mediana \(9{,}5\) significa \(\dfrac{b+c}{2}=9{,}5\), es decir \(b+c=19\), y entonces \(a+d=21\). Con \(d-a=11\) resulta \(d=16\) y \(a=5\). Como \(5\lt b\lt c<16\) y \(b+c=19\), sirven \(b=9\) y \(c=10\). Datos: \(5,\ 9,\ 10,\ 16\).
    3. \(\sum(x_i-\bar{x})=\sum x_i-n\bar{x}=n\bar{x}-n\bar{x}=0\).
    4. La media no cambia, porque el nuevo dato no aporta desviación. La varianza disminuye: con \(2,4,6\) (\(\bar{x}=4\), \(\sigma^2=\dfrac{8}{3}\)) y añadiendo \(4\), \(\sigma^2=\dfrac{8}{4}=2\).