Geometría analítica: la recta (Matemáticas B) – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Calcula las componentes del vector \(\overrightarrow{PQ}\) y su módulo.

1. \(P(1,2)\) y \(Q(4,6)\)
2. \(P(-2,3)\) y \(Q(1,-1)\)
3. \(P(0,0)\) y \(Q(5,12)\)
4. \(P(-2,-3)\) y \(Q(4,5)\)

Resuelve con las coordenadas del punto medio \(M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).

1. Punto medio de \(A(2,-4)\) y \(B(8,6)\).
2. \(M(1,2)\) es el punto medio de \(AB\) con \(A(-3,4)\). Halla \(B\).
3. Simétrico de \(A(2,-4)\) respecto del punto \(M(3,1)\).
4. Baricentro del triángulo \((0,0)\), \((6,0)\), \((3,9)\) (media de las coordenadas de los vértices).

Sean \(\vec u=(2,-1)\) y \(\vec v=(-3,4)\).

1. Calcula \(\vec u+\vec v\) y \(\vec u-\vec v\).
2. Calcula \(2\vec u-\vec v\).
3. Calcula los módulos \(|\vec u|\) y \(|\vec v|\).
4. Halla el vector unitario en la dirección de \(\vec v\).

Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por \(A(1,2)\) con vector director \(\vec d=(3,-2)\).

1. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas.
2. Ecuación continua.
3. Ecuación general \(Ax+By+C=0\).
4. Calcula la pendiente y comprueba que el punto obtenido con \(t=1\) pertenece a la recta.

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados, en forma explícita y general.

1. \(A(-1,3)\) y \(B(2,9)\)
2. \(A(0,4)\) y \(B(6,0)\)
3. \(A(2,5)\) y \(B(2,-1)\)
4. \(A(-3,1)\) y \(B(5,1)\)

La recta \(r\) tiene ecuación general \(2x-3y+6=0\).

1. Escribe su ecuación explícita y su pendiente.
2. Halla un vector director y un vector normal.
3. Calcula los puntos de corte con los ejes.
4. Escribe sus ecuaciones paramétricas con un punto y el vector director.

Estudia si cada pareja de rectas es secante, paralela o coincidente. Si son secantes, halla el punto de corte.

1. \(x+y-3=0\) y \(2x+2y-8=0\)
2. \(x-2y+1=0\) y \(3x-6y+3=0\)
3. \(2x+y-5=0\) y \(x-y+2=0\)
4. \(x+2y-4=0\) y \(2x-y+3=0\) (¿son perpendiculares?)

Usa la fórmula \(d(P,r)=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).

1. \(P(1,2)\) y \(r:\ 3x+4y-5=0\)
2. \(P(0,0)\) y \(r:\ x+y-4=0\)
3. \(P(2,-1)\) y \(r:\ 5x-12y+3=0\)
4. \(P(1,1)\) y \(r:\ x+y-2=0\) (interpreta el resultado)

En el mapa de una ruta por los Picos de Europa, las coordenadas se miden en kilómetros desde un punto de referencia. El refugio A está en \((2,3)\), el refugio B en \((8,11)\) y la cima C en \((11,7)\).

1. Calcula la distancia entre los refugios A y B y el tiempo a \(4\) km/h.
2. Halla las coordenadas del punto medio del tramo AB, donde se instala un puesto de agua.
3. Calcula las distancias AC y BC. ¿Qué refugio está más cerca de la cima?
4. Calcula el perímetro del triángulo ABC.

Una parcela de un pueblo de Segovia tiene forma de triángulo con vértices \(A(0,0)\), \(B(8,0)\) y \(C(3,6)\), con las coordenadas en decámetros (\(1\) dam \(=10\) m).

1. Calcula la longitud de cada lado en metros (redondea a las décimas).
2. Calcula el perímetro y el coste de vallarla a \(12\) € el metro.
3. Calcula el área en m\(^2\) tomando AB como base.
4. Halla la ecuación general de la recta que contiene al lado AC.

Un dron de vigilancia forestal en Galicia sale del origen \((0,0)\) y vuela en línea recta pasando por \(P(6,8)\) (coordenadas en km).

1. Escribe la ecuación general de su trayectoria.
2. ¿Pasa por el punto \((9,12)\)?
3. Una torre de vigilancia está en \(T(10,2)\). Calcula su distancia a la trayectoria.
4. ¿A qué distancia del origen está el dron cuando llega a \(P\)?

Una carretera recta de la sierra de Madrid tiene por ecuación \(3x+4y-12=0\) (en km). Hay dos pueblos: \(P(5,6)\) y \(Q(4,0)\).

1. Calcula la distancia de cada pueblo a la carretera.
2. Halla el pie de la perpendicular desde \(P\) a la carretera (punto más cercano).
3. Comprueba que la distancia de \(P\) a ese punto coincide con la del apartado a).
4. Si se construye un ramal recto desde \(P\) hasta la carretera a \(60\) km/h, ¿cuánto tarda en recorrerlo?

Un cable une las cabezas de dos postes de \(8\) m y \(12\) m de altura separados \(20\) m. Se toma el origen en la base del primer poste, con el eje \(X\) en el suelo.

1. Escribe las coordenadas de los extremos y la ecuación del cable en forma explícita.
2. Calcula la altura del cable a \(10\) m del primer poste.
3. Calcula la longitud del cable.
4. Se quiere colgar un farol a \(9{,}5\) m de altura. ¿A qué distancia del primer poste debe estar?

En una bahía de Cantabria, un barco A sale del puerto \((0,0)\) con dirección \((2,1)\) y otro barco B sale de \((10,0)\) con dirección \((-1,1)\) (coordenadas en km).

1. Escribe la ecuación general de cada trayectoria.
2. Halla el punto donde se cruzan.
3. Calcula la distancia que recorre cada barco hasta ese punto.
4. Si A navega a \(15\) km/h y B a \(10\) km/h, ¿llegan a la vez al punto de cruce? ¿Hay riesgo de colisión?

Un triángulo tiene vértices \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) y \(C(2,6)\).

1. Halla los puntos medios de \(BC\) y de \(AC\).
2. Escribe la ecuación general de la mediana desde \(A\) y de la mediana desde \(B\).
3. Calcula el baricentro \(G\) como media de los vértices.
4. Comprueba que \(G\) pertenece a las dos medianas.
5. Calcula el área del triángulo y la distancia de \(G\) al lado \(AB\).

Los puntos \(A(1,1)\), \(B(5,2)\) y \(C(6,5)\) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo \(ABCD\).

1. Calcula el cuarto vértice \(D\) con \(D=A+C-B\).
2. Comprueba que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
3. Comprueba que las diagonales se cortan en su punto medio.
4. Calcula el perímetro y el área (área \(=|x_1y_2-x_2y_1|\) con los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AD}\)).

Dos oficinas de un edificio de Bilbao están en \(A(2,1)\) y \(B(8,5)\) (en metros sobre el plano). Se quiere instalar un router que esté a la misma distancia de las dos, sobre la mediatriz de \(AB\).

1. Calcula el punto medio de \(AB\) y el vector \(\overrightarrow{AB}\).
2. Plantea la condición \(d(P,A)=d(P,B)\) y obtén la ecuación de la mediatriz.
3. Comprueba que el punto medio y el punto \((7,0)\) están en la mediatriz.
4. Calcula la distancia del router a cada oficina si se coloca en \((7,0)\) y en el punto medio.

Sea la recta \(r:\ 2x+3y-6=0\) y el punto \(P(1,1)\).

1. Calcula la pendiente de \(r\).
2. Halla la recta paralela a \(r\) que pasa por \(P\).
3. Halla la recta perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\).
4. Calcula la distancia entre \(r\) y su paralela por \(P\).

Los vértices de un triángulo son \(A(1,1)\), \(B(7,1)\) y \(C(4,5)\).

1. Calcula la longitud de los tres lados y comprueba que es isósceles.
2. Calcula el perímetro.
3. Calcula el área con la distancia de \(C\) a la recta \(AB\).
4. Calcula la ecuación de la recta \(AC\) y la distancia de \(B\) a ella. Comprueba el área otra vez.
5. ¿Coincide la altura desde \(C\) con la mediana desde \(C\)? Razona.

Resuelve estos retos.

1. Halla \(k\) para que \(kx+2y-3=0\) sea paralela a \(3x+4y+1=0\) y para que sea perpendicular.
2. Calcula la distancia entre las rectas paralelas \(3x+4y-5=0\) y \(3x+4y+10=0\).
3. Halla el punto de la recta \(y=x\) más cercano a \(P(0,4)\) y la distancia mínima.
4. Demuestra que el triángulo de vértices \((0,0)\), \((4,0)\) y \((2,2\sqrt{3})\) es equilátero.