Funciones y sus características – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(2x-6\ge0\): \(\mathrm{Dom}\,f=[3,+\infty)\). \(x^2-9=0\) en \(x=\pm3\): \(\mathrm{Dom}\,g=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\). El radicando debe ser mayor o igual que cero, y el denominador distinto de cero.
   2. \(h(x)\le9\): recorrido \((-\infty,9]\). \(\sqrt{x}\ge0\) da \(k(x)\ge-1\): recorrido \([-1,+\infty)\). El máximo de \(h\) es 9, en \(x=0\); el mínimo de \(k\) es \(-1\), en \(x=0\).

   Criterios de corrección: en a) un punto por cada dominio: en \(f\) se resuelve \(2x-6\ge0\) y en \(g\) se excluyen las raíces \(\pm3\) del denominador. En b) un punto por cada recorrido: \(h\) es una parábola con vértice \((0,9)\) abierta hacia abajo, y \(k\) es la raíz trasladada una unidad hacia abajo.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Eje \(Y\): \((0,0)\). Eje \(X\): \(x(x-2)(x+2)=0\), es decir \((-2,0)\), \((0,0)\) y \((2,0)\). Sacamos factor común \(x\) y factorizamos \(x^2-4\) como diferencia de cuadrados.
   2. \(f(-x)=-x^3+4x=-f(x)\): es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen.

   Criterios de corrección: en a) 0,5 puntos por el corte con el eje \(Y\) y 1,5 por los tres cortes con el eje \(X\), que exigen sacar factor común \(x\) y factorizar \(x^2-4\). En b) 1 punto por calcular \(f(-x)\) y 1 punto por concluir que es impar con simetría respecto del origen; por ejemplo, \(f(1)=-3\) y \(f(-1)=3\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(f(0)=-1\); \(f(3)=5\); \(f(5)=7\). Para cada valor elegimos el tramo correspondiente.
   2. Por la izquierda \(2\cdot3-1=5\) y por la derecha \(f(3)=5\). Coinciden: es continua en \(x=3\). Respuesta: \(f\) es continua en \(x=3\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto, con \(f(0)\) calculado en el primer tramo y \(f(3)\) y \(f(5)\) en el segundo. En b) 2 puntos: uno por calcular el valor al que se acerca por la izquierda, \(2\cdot3-1=5\), y otro por compararlo con \(f(3)=3+2=5\) y concluir que no hay salto.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Dominio \([0,24]\) h. Recorrido \([1,7]\) °C. Máximo \(7\) °C a las \(16\) h y mínimo \(1\) °C a las \(8\) h.
   2. Decrece de \(0\) a \(8\) h y de \(16\) a \(20\) h y \(24\) h; crece de \(8\) a \(16\) h. Es decir, crece en \((8,16)\) y decrece en \((0,8)\cup(16,24)\).

   Criterios de corrección: dominio, recorrido, máximo y mínimo valen 0,5 puntos cada uno. Los intervalos valen 1 punto: crece de las 8 a las 16 horas, cuando la temperatura pasa de 1 a 7 °C.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(V(t)=60-5t\) si \(0\le t\le6\); \(V(t)=30\) si \(6\lt t\le8\); \(V(t)=30-5(t-8)\) si \(t>8\). Dominio hasta que se vacía: \([0,14]\).
   2. \(30-5(t-8)=0\), \(t-8=6\), \(t=14\) h.
   3. Recorrido \([0,60]\). Decrece en \((0,6)\) y en \((8,14)\); es constante en \((6,8)\).

   Criterios de corrección: la función por tramos vale 3 puntos (uno por tramo) y se comprueba que los tramos enlazan: \(60-5\cdot6=30\) y \(30-5\cdot0=30\). El vaciado a las 14 h vale 1 punto. Recorrido e intervalos valen 2 puntos, uno por cada respuesta.

Total : 20 puntos