Estadística unidimensional – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. La variable es «número de hijos»: es cuantitativa discreta.
   2. Frecuencias relativas \(h_i=f_i/40\): 0: 0,150, 1: 0,350, 2: 0,300, 3: 0,125, 4: 0,075. Porcentajes: 0: 15,0 %, 1: 35,0 %, 2: 30,0 %, 3: 12,5 %, 4: 7,5 %. Acumuladas \(F_i\): 0: 6, 1: 20, 2: 32, 3: 37, 4: 40.
   3. Como máximo 2 hijos: \(F=32\) familias, es decir, \(\dfrac{32}{40}=80{,}0\,\%\).
   4. Al menos 3 hijos: \(5+3=8\) familias, es decir, \(\dfrac{8}{40}=20\,\%\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\bar x=\dfrac{\sum x_if_i}{n}=\dfrac{0\cdot6+1\cdot14+2\cdot12+3\cdot5+4\cdot3}{40}=\dfrac{65}{40}=1{,}625\) hijos.
   2. \(n=40\): la mediana ocupa las posiciones 20 y 21. Las frecuencias acumuladas son 6, 20, 32, 37, 40. El dato 20 es un 1 y el 21 es un 2, luego la mediana es \(\dfrac{1+2}{2}=1{,}5\).
   3. La moda es el valor con mayor frecuencia: 1 hijo (14 familias).
   4. La media (1,62) es algo mayor que la mediana (1,5) y que la moda (1) porque hay algunas familias con 3 y 4 hijos que tiran de la media hacia arriba. La distribución es ligeramente asimétrica hacia la derecha.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(\sum x_i^2f_i=0\cdot6+1\cdot14+4\cdot12+9\cdot5+16\cdot3=14+48+45+48=155\).
   2. \(\sigma^2=\dfrac{\sum x_i^2f_i}{n}-\bar x^2=\dfrac{155}{40}-1{,}62^2=3{,}875-2{,}6406=1{,}2344\).
   3. \(\sigma=\sqrt{1{,}2344}=1{,}111\) hijos.
   4. \(CV=\dfrac{\sigma}{\bar x}=\dfrac{1{,}111}{1{,}62}=0{,}684\), es decir, el 68,4 %. Una dispersión relativa alta (por encima del 50 %): los datos están bastante dispersos respecto de la media.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Marcas de clase: 5, 15, 25, 35, 45 minutos (punto medio de cada intervalo).
   2. \(\sum m_if_i=990\) y \(\sum m_i^2f_i=29400\). \(\bar x=\dfrac{990}{40}=24{,}75\) min. \(\sigma^2=\dfrac{29400}{40}-24{,}75^2=122{,}44\), así que \(\sigma=11{,}07\) min.
   3. Clase modal: la de mayor frecuencia, \([20,30)\) con 15 clientes. Clase mediana: \(n/2=20\); las frecuencias acumuladas son 4, 13, 28, 36, 40; la primera que supera 20 es \([20,30)\).
   4. \(Me=L+\dfrac{n/2-F_{\text{ant}}}{f}\cdot a=20+\dfrac{20-13}{15}\cdot10=20+4{,}67=24{,}67\) min.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Con 11 datos ordenados, la mediana es el sexto dato: \(Me=9\). La mitad inferior (5 datos: 3, 5, 6, 7, 8) tiene mediana 6 y la superior (10, 12, 13, 15, 20) tiene mediana 13. Entonces \(Q_1=6\) y \(Q_3=13\).
   2. Recorrido: \(20-3=17\). Recorrido intercuartílico: \(RI=Q_3-Q_1=13-6=7\).
   3. Límites: \(6-1{,}5\cdot7=-4{,}5\) y \(13+1{,}5\cdot7=23{,}5\). Todos los datos están dentro: no hay atípicos.
   4. La caja va de 6 a 13 con una línea en 9; los bigotes llegan a 3 y a 20. La caja es algo más larga a la derecha de la mediana (9 a 13) que a la izquierda (6 a 9): ligera asimetría positiva.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(CV_A=\dfrac{8}{50}=0{,}16\), es decir, el 16 %.
   2. \(CV_B=\dfrac{1{,}8}{9}=0{,}20\), es decir, el 20 %.
   3. La edad en A, porque su coeficiente de variación (16 %) es menor: está relativamente menos dispersa que la antigüedad de B (20 %).
   4. Porque las variables tienen distintas unidades y distinto tamaño medio (edad y antigüedad). El CV es adimensional y expresa la dispersión relativa a la media.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(n=30\). \(\sum x_if_i=202\), luego \(\bar x=\dfrac{202}{30}=6{,}733\).
   2. Hay \(n=30\) datos: la mediana está entre los puestos 15 y 16. Las frecuencias acumuladas son 1, 3, 7, 14, 20, 25, 28, 30. Los puestos 15 y 16 caen en la nota 7: \(Me=7\). La moda es 6 (la de mayor frecuencia, 7 alumnos).
   3. \(\sum x_i^2f_i=1450\), \(\sigma^2=\dfrac{1450}{30}-6{,}733^2=2{,}996\) y \(\sigma=1{,}731\).
   4. Suspensos: \(1+2=3\). Aprobados: \(30-3=27\), es decir, el \(90\,\%\). Notable o más: \(6+5+3+2=16\) alumnos, el \(53{,}3\,\%\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Marcas de clase: 1, 3, 5, 7, 9. \(\sum m_if_i=416\). \(\bar x=\dfrac{416}{100}=4{,}16\) min.
   2. \(\sum m_i^2f_i=2260\). \(\sigma^2=\dfrac{2260}{100}-4{,}16^2=5{,}294\) y \(\sigma=2{,}301\) min.
   3. \(n/2=50\). Acumuladas: 18, 52, 80, 92, 100. La clase mediana es \([2,4)\). \(Me=2+\dfrac{50-18}{34}\cdot2=2+1{,}88=3{,}88\) min.
   4. Espera menos de 4 min: \(18+34=52\) viajeros, es decir, el 52 %.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(\bar x=\dfrac{1200+1250+1300+1300+1350+1400+5400}{7}=\dfrac{13200}{7}=1885{,}71\) €. La mediana es el cuarto dato: \(Me=1300\) €.
   2. La moda es 1 300 € (aparece dos veces).
   3. Sin el gerente: \(\dfrac{7800}{6}=1300\) €.
   4. La mediana (o la moda), porque no se deja arrastrar por el salario extremo. La media de 1 885,71 € no representa a ningún trabajador: la mayoría gana menos de 1 400 €.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Con 10 datos, la mediana es la media de los puestos 5 y 6: \(Me=\dfrac{640+700}{2}=670\) €.
    2. Mitad inferior: 450, 520, 560, 600, 640, con mediana 560; mitad superior: 700, 750, 820, 900, 1 100, con mediana 820. Entonces \(Q_1=560\) € y \(Q_3=820\) €.
    3. \(RI=820-560=260\) €. La mitad central de los alquileres está entre 560 y 820 €.
    4. 800 € está entre la mediana (670) y \(Q_3\) (820): pertenece al tercer cuarto, entre el 50 % y el 75 % de los alquileres más baratos.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(y=1{,}03\,x+50\).
    2. \(\bar y=1{,}03\cdot1400+50=1442+50=1492\) €.
    3. La desviación típica se multiplica por \(|a|\) y no cambia con la suma: \(\sigma_y=1{,}03\cdot200=206\) €.
    4. Antes: \(CV=\dfrac{200}{1400}=14{,}29\,\%\). Ahora: \(CV=\dfrac{206}{1492}=13{,}81\,\%\). Disminuye un poco, porque al sumar 50 € a todos la dispersión relativa baja.

12. Solución del ejercicio 12

    1. (1) Cualitativa nominal. (2) Cuantitativa discreta. (3) Cuantitativa continua. (4) Cualitativa ordinal (hay un orden natural).
    2. (1) Diagrama de sectores o de barras. (2) Diagrama de barras. (3) Histograma (o de caja). (4) Diagrama de barras (respetando el orden).
    3. La media requiere valores numéricos con los que operar; el destino es una categoría y la suma de destinos no tiene sentido. Para el destino solo se puede dar la moda.
    4. La frecuencia (absoluta o relativa) o la densidad de frecuencia; con amplitudes iguales, la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia del intervalo.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Marcas: 2,25; 2,75; 3,25; 3,75; 4,25. \(\sum m_if_i=322\) y \(\bar x=3{,}220\) kg. \(\sum m_i^2f_i=1059{,}250\); \(\sigma^2=10{,}5925-3{,}220^2=0{,}2241\) y \(\sigma=0{,}473\) kg.
    2. \(\bar x\pm\sigma=3{,}220\pm0{,}473\), es decir, \((2{,}75;\,3{,}69)\). Suponiendo que los bebés se reparten de forma uniforme en cada clase: la mitad de la clase \([2{,}5;3{,}0)\) (\(12\) bebés), la clase \([3{,}0;3{,}5)\) completa (\(46\)) y la parte de \([3{,}5;4{,}0)\) hasta 3,69 (\(\dfrac{0{,}19}{0{,}5}\cdot18\approx6{,}8\)). Total aproximado: \(64{,}8\) bebés, el 65 %.
    3. \(\bar x\pm2\sigma=(2{,}27;\,4{,}17)\): contiene a casi todos: \(\dfrac{0{,}23}{0{,}5}\cdot6+24+46+18+\dfrac{0{,}17}{0{,}5}\cdot6\approx2{,}8+24+46+18+2{,}0=92{,}8\) bebés, es decir, alrededor del 93 %.
    4. Menos de 2,5 kg: los de la primera clase, \(6\,\%\) (6 de 100).

14. Solución del ejercicio 14

    1. Grupo A (\(n=20\)): \(\bar x=\dfrac{128}{20}=6{,}40\); \(\sigma^2=\dfrac{834}{20}-6{,}40^2=0{,}7400\); \(\sigma=0{,}860\). Grupo B (\(n=20\)): \(\bar x=\dfrac{129}{20}=6{,}45\); \(\sigma^2=\dfrac{877}{20}-6{,}45^2=2{,}2475\); \(\sigma=1{,}499\).
    2. \(CV_A=\dfrac{0{,}860}{6{,}40}=13{,}4\,\%\) y \(CV_B=\dfrac{1{,}499}{6{,}45}=23{,}2\,\%\).
    3. Las medias son 6,40 (A) y 6,45 (B): son casi iguales. El grupo A es más homogéneo, porque su CV es menor (13,4 % frente a 23,2 %).
    4. Grupo A: puestos 10 y 11 caen en la nota 6, así que \(Me=6\). Grupo B: puestos 10 y 11 caen en 6 y 7, así que \(Me=6{,}5\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. Marcas: 50, 150, 250, 350, 450. Acumuladas: 6, 20, 37, 46, 50. Relativas: 0,12; 0,28; 0,34; 0,18; 0,08.
    2. \(\sum m_if_i=11600\) y \(\bar x=\dfrac{11600}{50}=232\) kWh. \(\sum m_i^2f_i=3305000\), \(\sigma^2=\dfrac{3305000}{50}-232^2=12276\), \(\sigma=110{,}80\) kWh.
    3. \(n/2=25\): clase \([200,300)\), \(Me=200+\dfrac{25-20}{17}\cdot100=229{,}4\). \(n/4=12{,}5\): clase \([100,200)\), \(Q_1=100+\dfrac{12{,}5-6}{14}\cdot100=146{,}4\). \(3n/4=37{,}5\): clase \([300,400)\), \(Q_3=300+\dfrac{37{,}5-37}{9}\cdot100=305{,}6\) kWh.
    4. \(CV=\dfrac{110{,}80}{232}=47{,}8\,\%\): dispersión elevada, los consumos varían mucho de unos hogares a otros.
    5. Tarifa reducida: hasta \(Q_1\approx146\) kWh. Tarifa especial para el 25 % que más consume: desde \(Q_3\approx306\) kWh.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Burgos: \(\dfrac{202}{12}=16{,}83\) °C. Málaga: \(\dfrac{228}{12}=19\) °C.
    2. Burgos: \(\sigma=6{,}78\) °C. Málaga: \(\sigma=4{,}30\) °C. (Se calcula \(\sigma^2=\overline{x^2}-\bar x^2\): Burgos \(329{,}33-16{,}83^2\); Málaga \(379{,}50-19^2\).)
    3. Burgos: \(27-8=19\) °C. Málaga: \(26-14=12\) °C.
    4. Burgos: \(CV=\dfrac{6{,}78}{16{,}83}=40{,}3\,\%\). Málaga: \(CV=\dfrac{4{,}30}{19}=22{,}6\,\%\). Málaga es más uniforme (menor dispersión absoluta y relativa).

17. Solución del ejercicio 17

    1. Datos ordenados: 22, 23, 24, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 95. \(\bar x=\dfrac{320}{10}=32\) clientes. Mediana: media de los puestos 5 y 6 \(=\dfrac{25+26}{2}=25{,}5\).
    2. \(\sum x^2=14680\); \(\sigma^2=1468-32^2=444\); \(\sigma=21{,}07\).
    3. Sin el 95: \(\bar x=\dfrac{225}{9}=25\). Mediana (9 datos): el quinto \(=25\). \(\sigma=1{,}83\).
    4. La media pasa de 32 a 25 (cambia 7 clientes), la mediana de 25,5 a 25 (casi nada) y la desviación típica de 21,1 a 1,8 (se reduce muchísimo). La mediana es la medida más resistente a un valor atípico; la media y la desviación típica son muy sensibles.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Marcas: 15, 25, 35, 45, 55, 65. \(\sum m_if_i=1560\), \(\bar x=\dfrac{1560}{40}=39\) años. \(\sum m_i^2f_i=67000\), \(\sigma^2=\dfrac{67000}{40}-39^2=154\) y \(\sigma=12{,}41\) años.
    2. \(n/2=20\). Acumuladas: 2, 10, 22, 32, 38, 40. Clase mediana \([30,40)\): \(Me=30+\dfrac{20-10}{12}\cdot10=38{,}33\) años. Clase modal: \([30,40)\) (frecuencia 12).
    3. \(Q_1\): \(n/4=10\), que coincide con la acumulada de \([10,20)\) y \([20,30)\): \(Q_1=20+\dfrac{10-2}{8}\cdot10=30\) años. \(Q_3\): \(3n/4=30\) en \([40,50)\): \(Q_3=40+\dfrac{30-22}{10}\cdot10=48\) años. La mitad central está entre 30 y 48 años.
    4. Menos de 30 años: \(2+8=10\) socios, es decir, el 25 %. Con 50 años o más: \(6+2=8\) socios.
    5. El 10 % de 40 son 4 socios. El percentil 90 está en \(0{,}9\cdot40=36\): clase \([50,60)\): \(P_{90}=50+\dfrac{36-32}{6}\cdot10=56{,}7\) años.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Marcas: 65, 75, 85, 95, 105, 115. \(\sum m_if_i=26875\); \(\bar x=\dfrac{26875}{295}=91{,}10\) km/h. \(\sum m_i^2f_i=2485375\); \(\sigma^2=\dfrac{2485375}{295}-91{,}10^2=125{,}48\); \(\sigma=11{,}20\) km/h.
    2. \(n/2=147{,}5\). Acumuladas: 10, 45, 130, 240, 280, 295. La primera clase cuya acumulada supera 147,5 es \([90,100)\), luego es la clase mediana: \(Me=90+\dfrac{147{,}5-130}{110}\cdot10=91{,}59\) km/h.
    3. Superan 90 km/h los de las clases \([90,100)\), \([100,110)\) y \([110,120)\): \(110+40+15=165\) vehículos, el \(\dfrac{165}{295}=55{,}9\,\%\) (suponiendo que el 90 está en el límite de clase).
    4. \(0{,}9\cdot295=265{,}5\): clase \([100,110)\) (acumuladas 240 y 280). \(P_{90}=100+\dfrac{265{,}5-240}{40}\cdot10=106{,}4\) km/h.
    5. \(CV=\dfrac{11{,}20}{91{,}10}=12{,}3\,\%\): es bajo (menos del 15 %), las velocidades son bastante homogéneas, aunque casi 6 de cada 10 conductores supera el límite.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(\bar x=\dfrac{12\cdot6+18\cdot7}{30}=\dfrac{72+126}{30}=6{,}6\).
    2. Suma total \(=5\cdot8=40\), luego el quinto es \(40-(6+6+7+12)=9\). Datos ordenados: 6, 6, 7, 9, 12; mediana 7 y moda 6, como pedía el enunciado.
    3. Suma inicial: \(6\cdot10=60\). Suma final: \(7\cdot11=77\). Nuevo dato: \(77-60=17\).
    4. Nueva media: \(-2\cdot4+5=-3\). Nueva desviación típica: \(|-2|\cdot3=6\) (el signo no importa y la suma no cambia la dispersión).