Estadística bidimensional y regresión lineal – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Totales por deporte: fútbol \(14\), baloncesto \(14\), otros \(12\); total \(40\). Totales por sexo: chicos \(20\), chicas \(20\). Sumamos por columnas para obtener los totales de cada deporte.
   2. \(\dfrac{14}{40}=35\ \%\). Dividimos el total de fútbol entre el total de la clase.
   3. \(\dfrac{8}{14}\approx57{,}1\ \%\) son chicas. Ahora el total de referencia son los 14 alumnos de baloncesto.
   4. Chicas: \(\dfrac{4}{20}=20\ \%\). Chicos: \(\dfrac{10}{20}=50\ \%\). El fútbol es mucho más popular entre los chicos de esta clase.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(r\approx0{,}995\): correlación positiva y muy fuerte (nube casi sobre una recta creciente).
   2. \(r\approx-0{,}988\): correlación negativa y muy fuerte (recta decreciente).
   3. \(r\approx0{,}096\): correlación casi nula, nube sin forma.
   4. No: siempre \(-1\le r\le1\). Un valor de \(1{,}3\) indicaría un error de cálculo. Respuesta: \(r=1{,}3\) es imposible.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(\bar{x}=\dfrac{15}{5}=3\) y \(\bar{y}=\dfrac{21}{5}=4{,}2\). Sumamos cada variable y dividimos entre 5.
   2. \(\sum x_i^2=1+4+9+16+25=55\) y \(\sum y_i^2=4+16+25+16+36=97\). Elevamos al cuadrado cada dato y sumamos.
   3. \(\sigma_x^2=\dfrac{55}{5}-3^2=2\) y \(\sigma_y^2=\dfrac{97}{5}-17{,}64=1{,}76\). La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media.
   4. \(\sigma_x=\sqrt{2}\approx1{,}41\) y \(\sigma_y\approx1{,}33\). Hacemos la raíz cuadrada de cada varianza: \(\sqrt{1{,}76}\approx1{,}33\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(\sum x_iy_i=2+8+15+16+30=71\). Multiplicamos cada \(x_i\) por su \(y_i\) y sumamos.
   2. \(\sigma_{xy}=\dfrac{71}{5}-3\cdot4{,}2=14{,}2-12{,}6=1{,}6\). Usamos las medias del ejercicio anterior, \(\bar{x}=3\) e \(\bar{y}=4{,}2\).
   3. Es positiva: cuando \(x\) aumenta, \(y\) tiende a aumentar (correlación positiva).
   4. No: \(\sigma_{xy}=\sigma_{yx}\), la covarianza es simétrica. Respuesta: la covarianza no cambia al intercambiar \(x\) e \(y\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(r=\dfrac{1{,}6}{1{,}414\cdot1{,}327}\approx0{,}853\).
   2. Correlación positiva y fuerte (próxima a \(1\)).
   3. \(r^2\approx0{,}727\): la recta explica aproximadamente el \(72{,}7\ \%\) de la variación de \(y\).
   4. No: \(r\) no cambia al multiplicar una variable por una constante positiva (la covarianza y \(\sigma_y\) se multiplican por \(2\)). Respuesta: \(r\) no cambia.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(b=\dfrac{1{,}6}{2}=0{,}8\). Usamos la covarianza 1,6 y la varianza de \(x\), 2.
   2. \(y-4{,}2=0{,}8(x-3)\), es decir \(y=0{,}8x+1{,}8\). Despejamos \(y\) y simplificamos: \(4{,}2-2{,}4=1{,}8\).
   3. Con \(x=3\): \(0{,}8\cdot3+1{,}8=4{,}2=\bar{y}\). La recta de regresión siempre pasa por el centro de gravedad de la nube.
   4. \(x=3{,}5\): \(y\approx4{,}6\) (interpolación, fiable). \(x=8\): \(y\approx8{,}2\) (extrapolación, poco fiable porque está fuera del rango de datos).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(y=70\cdot5+10=360\) km.
   2. \(y=70\cdot7{,}5+10=535\) km.
   3. No: \(15\) h está muy fuera del rango \([2,8]\) de datos y, además, un camionero no puede conducir tantas horas legalmente. La extrapolación no es fiable.
   4. La pendiente indica que, en media, se recorren \(70\) km más por cada hora adicional de conducción (velocidad media).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(\bar{x}=3{,}375\) h y \(\bar{y}=5{,}875\). \(\sigma_x\approx1{,}58\) y \(\sigma_y\approx1{,}9\).
   2. \(\sigma_{xy}\approx2{,}922\) y \(r\approx0{,}976\): correlación positiva muy fuerte.
   3. \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\approx1{,}176\) y la recta es \(y=1{,}176x+1{,}906\).
   4. \(x=3{,}5\): nota \(\approx6{,}02\) (interpolación). \(x=10\): nota \(\approx13{,}67\), que supera el \(10\): la extrapolación no tiene sentido. Respuesta: la recta solo sirve para valores de horas parecidos a los de la muestra.

9. Solución del ejercicio 9

   1. La nube asciende casi en línea recta: correlación positiva fuerte.
   2. \(r\approx0{,}995\). Como \(r\) está muy cerca de 1, la recta describe bien los datos.
   3. \(y=17{,}26x-204{,}64\) (aproximadamente). Calculamos la pendiente \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\) y la ordenada con las medias.
   4. \(x=28\): \(y\approx279\) helados. Pendiente \(\approx17{,}3\): cada grado más vende unos 17 helados más. Respuesta: unos 279 helados.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(r\approx-0{,}998\): correlación negativa casi perfecta; a más edad, menos precio.
    2. \(y=-1{,}289x+19{,}017\).
    3. La pendiente es \(\approx-1{,}29\): pierde unos \(1289\) € de valor por año.
    4. A los \(4\) años: \(\approx13{,}86\) miles de euros. A los \(20\) años: \(-6{,}76\), un precio negativo sin sentido: la extrapolación falla.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(\bar{x}=167{,}5\) cm, \(\bar{y}=62{,}5\) kg y \(r\approx0{,}993\). Las medias se obtienen sumando y dividiendo entre 8.
    2. \(y=0{,}886x-85{,}857\). La pendiente indica unos 0,89 kg más por cada centímetro.
    3. \(x=172\): \(y\approx66{,}5\) kg. Sustituimos \(x=172\) en la recta. Respuesta: unos 66,5 kg.
    4. \(r^2\approx0{,}985\): la estatura explica aproximadamente el \(98{,}5\ \%\) de la variación del peso; el resto se debe a otros factores.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(r\approx-0{,}996\): correlación negativa muy fuerte.
    2. \(y=-0{,}52x+9{,}587\).
    3. La pendiente es \(\approx-0{,}52\): unos \(31\) minutos menos de sueño por hora adicional de pantalla.
    4. No necesariamente. Correlación no implica causalidad: puede haber otros factores, como los horarios o los deberes, o que quien duerme poco use más el móvil.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(r\approx0{,}9999\): casi \(1\), relación lineal casi perfecta. Los puntos están casi exactamente sobre una recta.
    2. \(y=0{,}0615x-0{,}05\). La ordenada en el origen, \(-0{,}05\), es prácticamente cero: con 0 km no se consume nada.
    3. La pendiente \(\approx0{,}0615\) L/km equivale a unos \(6{,}15\) L cada \(100\) km. Multiplicamos la pendiente por 100.
    4. \(x=350\): \(y\approx21{,}47\) litros. Sustituimos \(x=350\) en la recta.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(r\approx-0{,}996\): correlación negativa fuerte. El signo negativo indica que a mayor precio, menos ventas.
    2. \(y=-12{,}63x+120{,}16\).
    3. La pendiente \(\approx-12{,}6\): unos 13 kg menos por cada euro de subida.
    4. \(x=4{,}5\): \(y\approx63{,}3\) kg. Ingresos \(\approx4{,}5\cdot63{,}3\approx285\) €. Los ingresos son el precio por los kilos vendidos.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Totales por medio: coche \(37\), autobús \(30\), bicicleta \(33\); total \(100\).
    2. \(\dfrac{33}{100}=33\ \%\).
    3. \(\dfrac{23}{33}\approx69{,}7\ \%\).
    4. Madrid: \(\dfrac{10}{50}=20\ \%\). Sevilla: \(\dfrac{23}{50}=46\ \%\).
    5. Sí: las distribuciones por ciudad son distintas (en Sevilla la bici pesa mucho más). Si no hubiera relación, los porcentajes serían parecidos en las dos ciudades.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(r\approx0{,}995\) y la recta es \(y=1{,}457x+0{,}4\).
    2. \(r\approx0{,}306\) y la recta es \(y=0{,}429x+3{,}143\).
    3. Un solo punto cambia mucho la recta y el coeficiente: \(r\) y la pendiente son sensibles a los datos atípicos.
    4. Comprobar si es un error de medida o de transcripción, analizarlo por separado y valorar si se justifica excluirlo, pero sin eliminarlo sin razón.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(y-4{,}2=0{,}8(x-3)\), es decir \(y=0{,}8x+1{,}8\). La pendiente es \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}=\dfrac{1{,}6}{2}=0{,}8\).
    2. \(b^*=\dfrac{1{,}6}{1{,}76}\approx0{,}909\), luego \(x-3=0{,}909(y-4{,}2)\). Ahora dividimos la covarianza entre la varianza de \(y\), 1,76.
    3. Ambas contienen el punto \((3;\ 4{,}2)\) porque se escriben con \(x-\bar{x}\) e \(y-\bar{y}\). Al sustituir \(x=3\) e \(y=4{,}2\) los dos miembros valen cero.
    4. \(b\cdot b^*=0{,}8\cdot0{,}909\approx0{,}727=r^2\). Respuesta: se cumple \(r^2=b\cdot b^*\), porque \(0{,}853^2\approx0{,}727\).

18. Solución del ejercicio 18

    1. \((-2)^2=4\), \((-1)^2=1\), \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\).
    2. \(\bar{x}=0\), \(\bar{y}=2\) y \(\sum x_iy_i=-8-1+0+1+8=0\), luego \(\sigma_{xy}=0-0\cdot2=0\) y \(r=0\).
    3. Los puntos forman una parábola en forma de U, una relación fuerte pero no lineal.
    4. \(r\) solo mide la relación lineal: \(r=0\) no significa que no haya relación. Siempre hay que mirar la nube de puntos.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Con móvil: \(160\) (biblioteca \(60\), no \(100\)). Sin móvil: \(40\) (biblioteca \(30\), no \(10\)). Total biblioteca: \(90\); no: \(110\).
    2. \(\dfrac{90}{200}=45\ \%\).
    3. Con móvil: \(\dfrac{60}{160}=37{,}5\ \%\). Sin móvil: \(\dfrac{30}{40}=75\ \%\).
    4. No parecen independientes: usar la biblioteca es mucho más frecuente entre quienes no tienen móvil (\(75\ \%\) frente al \(37{,}5\ \%\)). Sin embargo, esto no prueba que el móvil sea la causa.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}=0\): la recta es horizontal, \(y=\bar{y}\); \(x\) no ayuda a predecir \(y\).
    2. \(r=1\) (todos los puntos alineados con pendiente positiva) y la recta de regresión es exactamente \(y=2x+1\).
    3. \(\sigma_{xy}=r\sigma_x\sigma_y=0{,}9\cdot2\cdot8=14{,}4\) y \(b=\dfrac{14{,}4}{4}=3{,}6\). Recta: \(y-50=3{,}6(x-10)\), es decir \(y=3{,}6x+14\). Para \(x=12\): \(y=57{,}2\).
    4. No. Los incendios grandes causan más daño y requieren más bomberos: la causa común es el tamaño del incendio. Correlación no implica causalidad.