Estadística: medidas de localización y dispersión – matemáticas 4º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad

La estadística estudia datos recogidos de una población (o de una muestra). Una variable puede ser cualitativa (color, deporte favorito), cuantitativa discreta (número de hermanos) o cuantitativa continua (estatura, tiempo). Los datos se organizan en una tabla con la frecuencia absoluta \(f_i\) (cuántas veces aparece cada valor), la relativa \(h_i=\frac{f_i}{n}\) y la acumulada. Si hay muchos valores distintos o la variable es continua, se agrupan en intervalos y cada uno se representa por su marca de clase, el punto medio: la de \([10,20)\) es 15.

Propiedad: medidas de localización

• Media: \(\bar{x}=\dfrac{\sum x_i f_i}{n}\). Usa todos los datos y es sensible a los valores extremos.
• Mediana \(Me\): el valor central al ordenar los datos (si \(n\) es par, la media de los dos centrales). No le afectan los valores atípicos.
• Moda \(Mo\): el valor (o intervalo) con mayor frecuencia.
• Cuartiles: \(Q_1\), \(Q_2=Me\) y \(Q_3\) dividen los datos ordenados en cuatro partes con el 25 % cada una. Los percentiles dividen en 100 partes.

Propiedad: medidas de dispersión

• Rango: máximo menos mínimo. Rango intercuartílico: \(IQR=Q_3-Q_1\).
• Varianza: \(\sigma^2=\dfrac{\sum f_i(x_i-\bar{x})^2}{n}=\dfrac{\sum f_ix_i^2}{n}-\bar{x}^2\).
• Desviación típica: \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\), en las mismas unidades que los datos.
• Coeficiente de variación: \(CV=\dfrac{\sigma}{\bar{x}}\), sin unidades (suele darse en %). Permite comparar la dispersión de variables con distinta media o unidades.

Propiedad

Los tiempos de espera (en minutos) de 30 pacientes en un centro de salud: \([0,10)\): 4; \([10,20)\): 10; \([20,30)\): 12; \([30,40)\): 4. Un histograma dibuja un rectángulo sobre cada intervalo con altura proporcional a la frecuencia.

Propiedad

Con las marcas de clase 5, 15, 25, 35: \(\bar{x}=\frac{610}{30}\approx20{,}33\) min; \(\sigma^2=\frac{14\,750}{30}-20{,}33^2\approx78{,}2\), \(\sigma\approx8{,}84\). El intervalo modal es \([20,30)\) y el intervalo mediano también, porque \(\frac{n}{2}=15\) se alcanza ahí (acumuladas 4, 14, 26). Con interpolación: \(Me=20+\frac{15-14}{12}\cdot10\approx20{,}83\).

Propiedad

Resume cinco valores: mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\) y máximo. La caja va de \(Q_1\) a \(Q_3\) (contiene el 50 % central de los datos) y la raya interior marca la mediana. Un dato es atípico si queda fuera de \([Q_1-1{,}5\cdot IQR,\ Q_3+1{,}5\cdot IQR]\). Este es el diagrama de caja de los datos del ejemplo 1:

Propiedad: qué medida elegir

• La media usa todos los datos y es la mejor opción si no hay valores extremos.
• La mediana resiste los datos atípicos y es preferible en distribuciones asimétricas, como los sueldos.
• La moda es la única medida que sirve para datos cualitativos (el color favorito, la marca de móvil).
• La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos; el coeficiente de variación permite comparar dispersiones de datos con distinta media o unidades.