Estadística bidimensional y regresión lineal – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

En una clase de 4.º ESO de \(40\) alumnos de un instituto de Valladolid se pregunta por el deporte favorito. Los chicos (\(20\)) eligen: fútbol \(10\), baloncesto \(6\), otros \(4\). Las chicas (\(20\)) eligen: fútbol \(4\), baloncesto \(8\), otros \(8\).

1. Construye la tabla de doble entrada con las frecuencias marginales.
2. ¿Qué porcentaje de la clase prefiere el fútbol?
3. Entre los alumnos que prefieren baloncesto, ¿qué porcentaje son chicas?
4. Entre las chicas, ¿qué porcentaje prefiere fútbol? Compara con los chicos.

Para cada conjunto de datos, dibuja la nube de puntos, calcula el coeficiente de correlación y clasifica la correlación (fuerte o débil, positiva o negativa).

1. \(x\): \(1,2,3,4,5\) e \(y\): \(2,4,5,7,9\).
2. \(x\): \(1,2,3,4,5\) e \(y\): \(9,7,6,3,2\).
3. \(x\): \(1,2,3,4,5\) e \(y\): \(4,1,5,2,4\).
4. En un mismo conjunto, ¿puede ser \(r=1{,}3\)? Razona.

Se estudian dos variables con los datos \((1,2),\ (2,4),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,6)\).

1. Calcula \(\bar{x}\) e \(\bar{y}\).
2. Calcula \(\sum x_i^2\) y \(\sum y_i^2\).
3. Calcula las varianzas \(\sigma_x^2\) y \(\sigma_y^2\).
4. Calcula las desviaciones típicas.

Con los mismos datos del ejercicio anterior, \((1,2),\ (2,4),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,6)\):

1. Calcula \(\sum x_iy_i\).
2. Calcula la covarianza \(\sigma_{xy}=\dfrac{\sum x_iy_i}{n}-\bar{x}\bar{y}\).
3. Interpreta el signo.
4. ¿Cambia la covarianza si se intercambian las variables?

Con los datos \((1,2),\ (2,4),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,6)\) ya se conocen \(\sigma_x=\sqrt{2}\), \(\sigma_y\approx1{,}327\) y \(\sigma_{xy}=1{,}6\).

1. Calcula \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\).
2. Clasifica la correlación.
3. Calcula \(r^2\) e interprétalo como porcentaje de la variación explicada.
4. Si todos los valores de \(y\) se multiplican por \(2\), ¿cambia \(r\)?

Con los datos \((1,2),\ (2,4),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,6)\), la recta de regresión de \(y\) sobre \(x\) es \(y-\bar{y}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x-\bar{x})\).

1. Calcula la pendiente \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\).
2. Escribe la recta en la forma \(y=bx+a\).
3. Comprueba que pasa por el punto \((\bar{x},\bar{y})\).
4. Predice \(y\) para \(x=3{,}5\) y para \(x=8\) y comenta la fiabilidad de cada predicción.

La recta de regresión de los kilómetros recorridos \(y\) según las horas de conducción \(x\) en una muestra de camioneros que conducen entre \(2\) y \(8\) horas es \(y=70x+10\) y el coeficiente de correlación es \(r=0{,}98\).

1. Predice los kilómetros para \(x=5\) horas.
2. Predice los kilómetros para \(x=7{,}5\) horas.
3. ¿Es razonable predecir para \(x=15\) horas? Razona.
4. Interpreta el significado de la pendiente \(70\).

Ocho alumnos de 4.º ESO de Santander anotan las horas semanales que estudian matemáticas y la nota de su último examen. Horas: \(1,2,2,3,4,4,5,6\). Notas: \(3,4,5,5,6,7,8,9\).

1. Calcula las medias y las desviaciones típicas de las dos variables.
2. Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.
3. Escribe la recta de regresión de la nota sobre las horas.
4. Predice la nota de un alumno que estudia \(3{,}5\) horas y de otro que estudia \(10\) horas. Comenta.

Una heladería de Cádiz anota la temperatura máxima del día (°C) y los helados vendidos. Temperaturas: \(18,21,24,27,30,33,36\). Helados: \(120,150,210,250,300,380,420\).

1. Dibuja la nube de puntos y estima el tipo de correlación.
2. Calcula \(r\).
3. Obtén la recta de regresión de los helados sobre la temperatura.
4. Predice las ventas con \(28\) °C y explica qué significa la pendiente.

Un concesionario de coches de segunda mano de Zaragoza registra la edad de siete coches del mismo modelo (en años) y su precio (en miles de euros). Edades: \(1,2,3,5,6,8,10\). Precios: \(18;\ 16{,}5;\ 15;\ 12{,}5;\ 11;\ 8{,}5;\ 6{,}5\).

1. Calcula el coeficiente de correlación e interprétalo.
2. Halla la recta de regresión del precio sobre la edad.
3. ¿Cuánto pierde de valor, en media, un coche cada año?
4. Predice el precio a los \(4\) años y a los \(20\) años. ¿Qué ocurre en el segundo caso?

En un grupo de ocho jóvenes de un equipo de balonmano de Pontevedra se miden la estatura (cm) y el peso (kg). Estaturas: \(150,155,160,165,170,175,180,185\). Pesos: \(48,52,55,60,63,70,72,80\).

1. Calcula las medias y el coeficiente de correlación.
2. Escribe la recta de regresión del peso sobre la estatura.
3. Predice el peso de un joven de \(172\) cm.
4. Calcula \(r^2\) y explica su significado.

Seis estudiantes de un instituto de Alicante anotan las horas diarias que pasan ante la pantalla del móvil y las horas que duermen. Pantalla: \(1,2,3,4,5,6\). Sueño: \(9;\ 8{,}6;\ 8{,}1;\ 7{,}4;\ 7{,}1;\ 6{,}4\).

1. Calcula \(r\) y clasifica la correlación.
2. Halla la recta de regresión del sueño sobre la pantalla.
3. ¿Cuántas horas de sueño se pierden, en media, por cada hora adicional de pantalla?
4. ¿Se puede concluir que la pantalla es la causa de dormir menos? Razona.

Un conductor de reparto de Sevilla anota los kilómetros de cinco trayectos y los litros de gasolina consumidos. Kilómetros: \(100,200,300,400,500\). Litros: \(6{,}2;\ 12{,}1;\ 18{,}5;\ 24{,}4;\ 30{,}8\).

1. Calcula \(r\).
2. Halla la recta de regresión de los litros sobre los kilómetros.
3. Interpreta la pendiente como consumo cada \(100\) km.
4. Predice los litros para un trayecto de \(350\) km.

Un puesto del mercado de un pueblo de Murcia anota, durante seis semanas, el precio del kilo de fresas (euros) y los kilos vendidos. Precios: \(2,3,4,5,6,7\). Ventas: \(95,82,70,55,48,30\).

1. Calcula el coeficiente de correlación.
2. Halla la recta de regresión de las ventas sobre el precio.
3. ¿Cuánto disminuye la demanda por cada euro más?
4. Predice la demanda si el precio es \(4{,}5\) € y calcula los ingresos esperados.

Se encuesta a \(100\) personas de Madrid y Sevilla sobre su medio de transporte habitual. En Madrid (\(50\) personas): coche \(22\), autobús \(18\), bicicleta \(10\). En Sevilla (\(50\) personas): coche \(15\), autobús \(12\), bicicleta \(23\).

1. Construye la tabla de doble entrada con totales.
2. ¿Qué porcentaje del total usa la bicicleta?
3. Entre quienes usan la bicicleta, ¿qué porcentaje es de Sevilla?
4. Compara el porcentaje de usuarios de bicicleta dentro de cada ciudad.
5. ¿Parece que la ciudad y el medio de transporte están relacionados? Razona con las distribuciones condicionadas.

Se tienen los datos \((1,2),(2,3),(3,5),(4,6),(5,8),(6,9)\). Después se añade un séptimo dato anómalo, \((7,1)\).

1. Calcula \(r\) y la recta de regresión sin el dato anómalo.
2. Calcula \(r\) y la recta con los siete datos.
3. Compara y explica qué ha pasado.
4. ¿Qué debe hacer el investigador ante un dato así?

Con los datos \((1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,6)\) se pueden calcular dos rectas de regresión: la de \(y\) sobre \(x\) y la de \(x\) sobre \(y\).

1. Calcula la recta de \(y\) sobre \(x\).
2. Calcula la recta de \(x\) sobre \(y\): \(x-\bar{x}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(y-\bar{y})\).
3. Comprueba que las dos rectas pasan por \((\bar{x},\bar{y})\).
4. Comprueba que \(r^2=b\cdot b^*\) siendo \(b\) y \(b^*\) las dos pendientes (de \(y\) sobre \(x\) y de \(x\) sobre \(y\), respectivamente).

Se tienen los datos \(x\): \(-2,-1,0,1,2\) e \(y=x^2\): \(4,1,0,1,4\).

1. Comprueba que \(y=x^2\) en todos los pares.
2. Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación lineal.
3. Dibuja la nube de puntos y describe su forma.
4. ¿Qué conclusión se saca sobre la utilidad de \(r\)?

En un instituto de Gijón se pregunta a los \(200\) alumnos si tienen móvil propio y si usan la biblioteca. Tienen móvil y usan la biblioteca \(60\); tienen móvil y no la usan \(100\); no tienen móvil y usan la biblioteca \(30\); no tienen móvil y no la usan \(10\).

1. Construye la tabla de doble entrada con totales.
2. ¿Qué porcentaje usa la biblioteca?
3. Entre quienes tienen móvil, ¿qué porcentaje usa la biblioteca? ¿Y entre quienes no lo tienen?
4. ¿Parecen independientes las dos variables? Razona.

Resuelve estos retos.

1. Si \(r=0\), ¿cuál es la pendiente de la recta de regresión de \(y\) sobre \(x\) y cómo es esa recta?
2. Si todos los puntos están en la recta \(y=2x+1\), ¿cuánto vale \(r\) y cuál es la recta de regresión?
3. Se sabe que \(\bar{x}=10\), \(\bar{y}=50\), \(\sigma_x=2\), \(\sigma_y=8\) y \(r=0{,}9\). Escribe la recta de \(y\) sobre \(x\) y predice \(y\) para \(x=12\).
4. Un estudio da \(r=0{,}95\) entre el número de bomberos en un incendio y el daño causado. ¿Significa que los bomberos causan el daño?