Técnicas de recuento y probabilidad – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Total \(12\). \(P(B)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\) y \(P(\text{no roja})=1-\dfrac{2}{12}=\dfrac{5}{6}\). Aplicamos la regla de Laplace y el suceso contrario.
   2. \(\dfrac{6+2}{12}=\dfrac{2}{3}\). Los sucesos son incompatibles, así que sumamos.
   3. Es un suceso imposible: \(P=0\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por cada probabilidad, \(\dfrac{1}{2}\) para blanca y \(\dfrac{5}{6}\) para no roja, calculada con el complementario. En b) 1 punto por sumar 6 blancas y 2 rojas. En c) 1 punto por explicar que no hay bolas verdes, así que la probabilidad es 0.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(P=\dfrac{30+20-10}{50}=\dfrac{40}{50}=\dfrac{4}{5}\). Restamos los 10 que tienen ambos para no contarlos dos veces.
   2. \(P(\text{perro}\mid\text{gato})=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\) y \(P(\text{gato}\mid\text{perro})=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}\). En cada condicionada el total de referencia es el grupo de la condición.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por la fórmula de la unión y 1 punto por restar los 10 que tienen ambos animales. En b) 1 punto por cada condicionada: \(\dfrac{10}{20}\), sobre los dueños de gato, y \(\dfrac{10}{30}\), sobre los dueños de perro. Se valora explicar por qué no coinciden.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}\). Sin devolución, en la segunda extracción quedan 4 negros entre 7 calcetines.
   2. \(\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}\). Sumamos las dos ramas de colores distintos: negro-blanco y blanco-negro.

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por las probabilidades \(\dfrac{5}{8}\) y \(\dfrac{4}{7}\) y 0,75 por el producto \(\dfrac{5}{14}\). En b) 1,5 puntos por las dos ramas mixtas; comprobación: \(P(BB)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{56}\) y \(\dfrac{20}{56}+\dfrac{30}{56}+\dfrac{6}{56}=1\). Sin devolución, el segundo calcetín se elige entre los 7 que quedan en el cajón.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(C_{8,3}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{6}=56\). El orden no importa: combinaciones.
   2. \(V_{8,3}=8\cdot7\cdot6=336\). Los cargos son distintos, así que el orden importa: variaciones.

   Criterios de corrección: en a) 1,5 puntos por las combinaciones de 8 elementos tomados de 3 en 3, explicando que en un equipo el orden no cuenta. En b) 1,5 puntos por las variaciones, porque presidente, secretario y tesorero son cargos distintos. Comprobación: cada equipo admite \(3!=6\) repartos de cargos y \(56\cdot6=336\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. Línea A \(0{,}7\) (defecto \(0{,}01\)) y línea B \(0{,}3\) (defecto \(0{,}04\)).
   2. \(P(\text{def})=0{,}7\cdot0{,}01+0{,}3\cdot0{,}04=0{,}007+0{,}012=0{,}019\).
   3. \(P(B\mid\text{def})=\dfrac{0{,}012}{0{,}019}\approx0{,}632\).
   4. Aunque B produce solo el \(30\ \%\), origina más del \(63\ \%\) de los defectos, porque su tasa de defectos es cuatro veces mayor.

   Criterios de corrección: árbol 1 punto, probabilidad total 2 puntos, teorema de Bayes 2 puntos e interpretación 1 punto. Comprobación: \(P(A\mid\text{def})=\dfrac{0{,}007}{0{,}019}\approx0{,}368\), y \(0{,}368+0{,}632=1\).

Total : 20 puntos