Sistemas de ecuaciones – matemáticas 3º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: el misterio de los precios

Marta compra 2 bocadillos y 1 refresco en una cafetería de Zaragoza y paga 7 €. Su amigo Pablo compra 1 bocadillo y 1 refresco y paga 4,50 €. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Con una sola compra no se puede saber, porque hay muchos precios posibles: la compra de Marta se cumple con bocadillo a 3 € y refresco a 1 €, pero también con bocadillo a 2 € y refresco a 3 €. Cuando se conocen las dos compras, solo un par de precios cumple las dos condiciones a la vez. Si se restan las dos cuentas, aparece que el segundo bocadillo cuesta \(7-4{,}5=2{,}50\) € y el refresco, entonces, 2 €. Esa idea, combinar dos ecuaciones con dos incógnitas, es el origen de los sistemas de ecuaciones, que se resuelven por sustitución, igualación o reducción, o gráficamente con dos rectas.

Observación

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones. Ejemplo: \(y=3x-2\) e \(y=x+4\). Igualando: \(3x-2=x+4\), \(2x=6\), \(x=3\) e \(y=7\).

Observación

Se multiplican las ecuaciones por números adecuados para que una incógnita tenga coeficientes opuestos y, al sumar, desaparezca. Ejemplo: \(2x+3y=12\) y \(4x-3y=6\). Sumando miembro a miembro: \(6x=18\), \(x=3\). Entonces \(6+3y=12\) y \(y=2\). Si los coeficientes no son opuestos, se multiplican las ecuaciones. En \(3x+2y=13\) y \(2x-y=4\), se multiplica la segunda por 2: \(4x-2y=8\). Sumando: \(7x=21\), \(x=3\), \(y=2\).

Observación

Los tres métodos dan la misma solución. La sustitución es cómoda cuando una incógnita tiene coeficiente 1; la reducción, cuando los coeficientes son parecidos; y la igualación, cuando las dos ecuaciones ya vienen despejadas.

Observación

A veces el sistema no viene en la forma \(ax+by=c\). Antes de resolver hay que prepararlo: se quitan paréntesis, se eliminan denominadores multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores y se reducen términos semejantes hasta obtener dos ecuaciones lineales ordenadas. Por ejemplo, \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4\) equivale a \(3x+2y=24\), y \(2(x+1)-y=5\) equivale a \(2x-y=3\). Este paso previo evita muchos errores y permite aplicar cualquiera de los tres métodos.

Observación

Comprobar la solución es fundamental: sustituye \(x\) e \(y\) en las ecuaciones originales del enunciado, no en las ya transformadas, para detectar también los errores cometidos al prepararlas. En los problemas, interpreta además el resultado: unos precios, edades o longitudes negativos indican que algo se ha planteado mal. Representar las dos rectas con una tabla de valores es una buena forma de visualizar el sistema y de verificar que el punto de corte coincide con la solución algebraica.

¿Sabías que?

Los matemáticos chinos resolvían sistemas de ecuaciones hace más de 2 000 años, en el libro «Los nueve capítulos sobre el arte matemático». Usaban tablas de números muy parecidas a las matrices actuales. Hoy los sistemas de ecuaciones se utilizan para calcular las rutas de los GPS, las tarifas de las compañías y la distribución de la electricidad.