Patrones y sucesiones – matemáticas 3º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: el truco de Gauss

Cuenta la historia que un maestro alemán, para tener a sus alumnos entretenidos, les mandó sumar todos los números del 1 al 100. Un niño de unos diez años, Carl Friedrich Gauss, dio la respuesta casi enseguida: 5 050. Se había dado cuenta de que \(1+100=101\), \(2+99=101\), \(3+98=101\) y así hasta 50 parejas, que dan \(50\cdot101=5\,050\). Esa idea es la base de la fórmula de la suma de una progresión aritmética. Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla, como \(2,4,6,8,\dots\) o \(3,6,12,24,\dots\). Descubrir el patrón y escribir una fórmula para cualquier término es una de las habilidades centrales de las matemáticas, y sirve para predecir el ahorro de una hucha, el número de asientos de un teatro o el valor de un coche con los años.

Observación

Otras sucesiones conocidas: los cuadrados \(1,4,9,16,\ldots\) con \(a_n=n^2\); los impares \(1,3,5,7,\ldots\) con \(a_n=2n-1\); y la sucesión de Fibonacci \(1,1,2,3,5,8,13,\ldots\), en la que cada término es la suma de los dos anteriores.

Observación

Las progresiones aritméticas aparecen cuando algo crece o decrece en una cantidad fija: un ahorro semanal que sube 2 € cada semana, las filas de un teatro con dos butacas más que la anterior o un entrenamiento en el que se corre medio kilómetro más cada día. Las progresiones geométricas aparecen cuando algo se multiplica por un factor fijo: una población de bacterias que se duplica cada hora, el capital con interés compuesto (cada año se multiplica por \(1+r\)) o el rebote de una pelota que sube cada vez la mitad de la altura anterior.

Observación

La diferencia entre ambos tipos es muy visible a largo plazo. Con una progresión aritmética de diferencia 2, el término 20 es 41 si se empieza en 3. Con una geométrica de razón 2, el término 20 que empieza en 3 supera los 1,5 millones. Por eso se dice que el crecimiento geométrico (o exponencial) es mucho más rápido que el lineal.

Observación

En muchos problemas las sucesiones aparecen en forma de dibujos: una torre de cubos, una fila de cuadrados hechos con cerillas o una escalera de baldosas. El procedimiento es siempre el mismo: se cuentan los elementos de las primeras tres o cuatro figuras, se escribe la sucesión numérica, se halla la regla (diferencias constantes, cocientes constantes o cuadrados) y se comprueba con la figura siguiente. Con la fórmula se puede responder sin dibujar: ¿cuántos palillos hacen falta para 50 triángulos? ¿En qué figura habrá exactamente 100 puntos? Esta última pregunta se resuelve igualando la fórmula a 100 y comprobando que \(n\) sale entero y positivo.

Observación: sucesiones en la vida diaria

Cuando alguien ahorra una cantidad fija cada semana, el dinero acumulado forma una progresión aritmética. Cuando una cuenta de ahorro paga un interés porcentual cada año, el capital forma una progresión geométrica. También son geométricas la desintegración de los materiales radiactivos, el reparto de rumores o la propagación de una noticia en las redes. Reconocer el tipo de sucesión permite elegir la fórmula adecuada y hacer predicciones razonables, por ejemplo cuántos meses hacen falta para reunir el dinero de un viaje de fin de curso o cuántas rondas tiene un torneo.

¿Sabías que?

La sucesión de Fibonacci, \(1,1,2,3,5,8,13,\dots\), lleva el nombre del matemático italiano Leonardo de Pisa, que la presentó en 1202 en un problema sobre la cría de conejos. Aparece en la disposición de las semillas del girasol, en las espirales de las piñas y en las conchas de algunos caracoles. Sus cocientes se acercan al número áureo, \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618\).