Números racionales y raíces – matemáticas 3º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: el reparto de una pizza

Cuatro amigos de Sevilla piden una pizza grande y la cortan en 8 trozos iguales. Ana se come 3 trozos, Luis 2 y Marta 1. ¿Qué fracción de la pizza se han comido entre los tres? Son \(\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\). Si el cuarto amigo se queda con lo que sobra, le tocan \(\dfrac{1}{4}\), es decir, 2 trozos. Las fracciones sirven para repartir, medir y comparar. Pero hay números que no se pueden escribir como fracción: si un cuadrado tiene lado 1, su diagonal mide \(\sqrt{2}=1{,}41421\ldots\), con infinitas cifras decimales sin ningún período. Los números racionales y los irracionales forman juntos el conjunto de los números reales, que llenan toda la recta numérica. En este tema aprenderás a operar con fracciones, a pasar de decimales a fracciones, a trabajar con raíces y a manejar números muy grandes o muy pequeños con la notación científica.

Observación

Con varias operaciones se respeta la jerarquía: primero paréntesis, después potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y, por último, sumas y restas. Conviene simplificar el resultado hasta obtener una fracción irreducible.

Observación

Propiedades útiles: \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) y \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\). Gracias a ellas se pueden extraer factores: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\). La raíz de una suma no es la suma de raíces: \(\sqrt{9+16}=5\neq 3+4\).

Observación

Muchos problemas de la vida diaria se resuelven con fracciones: repartir una pizza, calcular la parte de una paga que se ha gastado o saber cuánto queda de un depósito. Conviene seguir siempre los mismos pasos. Primero, lee el enunciado y subraya los datos. Segundo, decide si la fracción se aplica sobre el total o sobre lo que queda; no es lo mismo «un tercio de la paga» que «un tercio de lo que sobra». Tercero, calcula con cuidado y simplifica. Cuarto, comprueba que la respuesta tiene sentido: si gastas una fracción menor que uno, lo que queda debe ser menor que el total y mayor que cero.

Observación

Para comparar fracciones se pueden reducir a común denominador o pasarlas a decimales. Para comparar números de signo distinto basta recordar que todo negativo es menor que todo positivo. Entre dos negativos es mayor el que está más cerca de cero. En la recta numérica los números crecen hacia la derecha. Entre dos racionales distintos siempre hay otro racional (por ejemplo, su media), y también hay infinitos irracionales: por eso se dice que los racionales y los irracionales son densos en la recta real.

¿Sabías que?

Según la tradición, los pitagóricos de la antigua Grecia quedaron muy perturbados cuando descubrieron que la diagonal de un cuadrado no puede medirse con ninguna fracción: la existencia de los irracionales rompía su idea de que «todo es número entero o razón de enteros». Hoy se conocen los primeros billones de cifras de \(\pi\), y los números enormes y diminutos de la física, como la masa de un electrón, se manejan con la notación científica.