Estos apuntes de proporcionalidad y educación financiera de 3º ESO están pensados para alumnos de 14-15 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Porcentajes, intereses, proporcionalidad compuesta. Antes de empezar, conviene repasar números racionales y raíces y potencias y raíces, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de proporcionalidad y educación financiera 3º ESO: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: razón y proporción, regla de tres simple, regla de tres compuesta, porcentajes y educación financiera: ahorro, interés y préstamos. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: ¿qué oferta es mejor?
En un supermercado de Granada, un paquete de 6 yogures cuesta 2,40 € y otro de 10 yogures iguales cuesta 3,50 €. ¿Cuál conviene más? Para decidir hay que comparar precios por unidad: \(\dfrac{2{,}40}{6}=0{,}40\) € el yogur en el primero y \(\dfrac{3{,}50}{10}=0{,}35\) € en el segundo, así que el segundo es más barato. Este razonamiento usa la proporcionalidad: la relación entre el número de yogures y el precio es constante. Otras veces el precio sube, se aplica un descuento o un banco paga intereses por guardar dinero; entonces aparecen los porcentajes. En este tema estudiarás la proporcionalidad directa e inversa, las reglas de tres simples y compuestas, los porcentajes y los fundamentos de la educación financiera: ahorro, interés simple, interés compuesto y préstamos. Saber estos conceptos ayuda a tomar decisiones de consumo informadas.
Razón y proporción
Definición: razón
Una razón es el cociente entre dos cantidades, \(\frac{a}{b}\). Una proporción es la igualdad de dos razones: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), y en ella se cumple que \(a\cdot d=b\cdot c\) (producto de extremos igual a producto de medios). Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número la otra queda multiplicada por el mismo número; el cociente \(k=\frac{y}{x}\) es constante y se llama constante de proporcionalidad. Son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número la otra queda dividida por él; ahora es constante el producto \(x\cdot y=k\).
Regla de tres simple
Propiedad: regla de tres simple
- Directa: si 5 kg de manzanas cuestan 7,50 €, 8 kg cuestan \(x=\frac{8\cdot7{,}5}{5}=12\) €.
- Inversa: si 6 obreros tardan 12 días, 9 obreros tardan \(x=\frac{6\cdot12}{9}=8\) días.
Antes de aplicarla hay que preguntarse: «si una magnitud aumenta, ¿la otra aumenta (directa) o disminuye (inversa)?».
Cómo se hace: resolver una regla de tres
- Escribe las magnitudes en una tabla con la incógnita \(x\).
- Decide si la proporcionalidad es directa (si una sube, la otra sube) o inversa (si una sube, la otra baja).
- Directa: producto cruzado, \(x=\frac{b\cdot c}{a}\). Inversa: productos en línea, \(x=\frac{a\cdot b}{c}\).
- Comprueba que el resultado es razonable y escribe las unidades.
Regla de tres compuesta
Observación
Intervienen más de dos magnitudes. Se estudia cada una con la magnitud incógnita y se combinan las razones. Un método fiable consiste en calcular «cuánto trabajo» se hace por unidad: por ejemplo, si el trabajo depende de obreros, días y horas diarias, el producto \(\text{obreros}\cdot\text{días}\cdot\text{horas}\) es proporcional al trabajo realizado. Así, 4 obreros durante 6 días con 8 horas diarias suman \(4\cdot6\cdot8=192\) «horas de obrero» y hacen 96 m\(^2\) de muro, es decir, 2 horas de obrero por metro cuadrado.
Porcentajes
Propiedad: porcentajes
El \(p\,\%\) de una cantidad \(C\) es \(\frac{p}{100}\cdot C\). Para pasar de un porcentaje a un cálculo se usa el índice de variación:
- Aumento del \(p\,\%\): se multiplica por \(1+\frac{p}{100}\). Un aumento del 15 % equivale a multiplicar por 1,15.
- Disminución del \(p\,\%\): se multiplica por \(1-\frac{p}{100}\). Un descuento del 20 % equivale a multiplicar por 0,80.
- Variaciones sucesivas: se multiplican los índices. Un 20 % de descuento seguido de otro 10 % da \(0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\), es decir, un descuento total del 28 %, no del 30 %.
- Para hallar el valor original: se divide entre el índice. Si tras un 30 % de rebaja un objeto cuesta 56 €, el precio original es \(\frac{56}{0{,}7}=80\) €.
Definición: IVA
El IVA es un impuesto sobre el consumo que se añade al precio: con el tipo general del 21 %, un producto de 150 € sin IVA cuesta \(150\cdot1{,}21=181{,}50\) €.
Cómo se hace: calcular aumentos y descuentos
- Aumento del \(p\,\%\): multiplica por \(1+\frac{p}{100}\).
- Descuento del \(p\,\%\): multiplica por \(1-\frac{p}{100}\).
- Para deshacer el cambio, divide entre ese mismo factor.
- Ejemplo: un abrigo de 80 € con un 25 % de descuento cuesta \(80\cdot0{,}75=60\) €.
Educación financiera: ahorro, interés y préstamos
Propiedad: educación financiera: ahorro, interés y préstamos
Cuando se deposita o se pide prestado un capital \(C\) durante \(t\) años a un tipo de interés anual \(r\) (en tanto por uno), existen dos modelos:
- Interés simple: los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial. \(I=C\cdot r\cdot t\) y el capital final es \(C_f=C(1+rt)\).
- Interés compuesto: los intereses de cada año se suman al capital y producen nuevos intereses. \(C_f=C(1+r)^t\).
Observación
Con 5 000 € al 4 % durante 3 años, el interés compuesto da \(5000\cdot1{,}04^3=5\,624{,}32\) €, mientras que el simple daría \(5000\cdot(1+0{,}04\cdot3)=5\,600\) €. La diferencia crece con el tiempo.
Observación
La educación financiera también enseña a elaborar un presupuesto: se anotan los ingresos y los gastos fijos (alquiler, suministros) y variables (ocio, ropa) y se decide qué porcentaje se ahorra. Conviene comparar siempre el coste total de un préstamo, no solo la cuota mensual, y desconfiar de ofertas que parecen muy atractivas pero ocultan comisiones.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Una cazadora de 80 € sube un 15 % y luego baja un 15 %.
Precio final: \(80\cdot1{,}15\cdot0{,}85=78{,}20\) €. No vuelve a valer 80 €, porque cada porcentaje se aplica sobre una cantidad distinta.
Ejemplo 2
Repartir 840 € de forma directamente proporcional a 2, 3 y 5. La suma de partes es 10 y cada parte vale \(840:10=84\) €. Resultan 168 €, 252 € y 420 €.
Ejemplo 3
¿Qué tanto por ciento es 18 de 72? \(\frac{18}{72}=0{,}25=25\,\%\).
- Aplicar una regla de tres directa cuando la relación es inversa.
- Sumar porcentajes sucesivos en lugar de multiplicar los índices de variación.
- Calcular un descuento sobre el precio final en lugar de sobre el original.
- Confundir el interés simple con el compuesto.
- Olvidar pasar el porcentaje a decimal (5 % es 0,05).
Más sobre el dinero: ahorro y préstamos
Método: decidir entre dos ofertas
- Reduce las dos ofertas a la misma unidad (precio por unidad, por kilo, por mes).
- Aplica los índices de variación: multiplica por \(1+\dfrac{p}{100}\) para un aumento y por \(1-\dfrac{p}{100}\) para una rebaja.
- Compara los resultados finales, no solo los porcentajes anunciados.
- Si hay pagos aplazados, suma los intereses y comprueba el total pagado.
Ejemplo 4
Dos tiendas venden la misma bicicleta de 300 €. La tienda A hace un 20 % de descuento y la B un 15 % y después un 5 % adicional. ¿Cuál es más barata?
Tienda A: \(300\cdot0{,}80=240\) €. Tienda B: \(300\cdot0{,}85\cdot0{,}95=242{,}25\) €. Es más barata la tienda A, porque dos descuentos sucesivos no se suman.
Interés simple frente a interés compuesto
Propiedad: dos formas de ganar intereses
En el interés simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial: \(C_t=C\cdot(1+r\cdot t)\). En el interés compuesto, los intereses de cada año se suman al capital y producen nuevos intereses: \(C_t=C\cdot(1+r)^t\). A corto plazo las diferencias son pequeñas, pero a largo plazo el compuesto crece mucho más. Por eso conviene empezar a ahorrar pronto y no gastar los intereses.
Ejemplo 5
Compara el capital final de 1 000 € a 10 años con un 4 % de interés simple y compuesto.
Simple: \(1\,000\cdot(1+0{,}04\cdot10)=1\,400\) €. Compuesto: \(1\,000\cdot1{,}04^{10}\approx1\,480{,}24\) €. El compuesto da \(80{,}24\) € más.
- Sumar descuentos sucesivos: un 20 % y un 10 % no equivalen a un 30 %.
- Usar una regla de tres directa cuando las magnitudes son inversamente proporcionales.
- Calcular un porcentaje sobre la cantidad equivocada: el 10 % que se resta después de una subida se calcula sobre el nuevo precio.
- Olvidar que en el interés compuesto el exponente es el número de períodos.
¿Sabías que?
El interés compuesto se llama a veces «la octava maravilla del mundo» porque convierte pequeños ahorros en grandes cantidades con el paso del tiempo. Los bancos centrales y las familias lo usan para calcular hipotecas y planes de pensiones. En España, el IVA general es del 21 %, pero hay productos básicos, como el pan o la leche, con tipos reducidos del 4 % o del 10 %.
¡Atención!
Antes de aplicar una regla de tres, pregúntate siempre: «si una magnitud aumenta, ¿la otra aumenta o disminuye?». Si las dos aumentan a la vez, la proporcionalidad es directa; si una aumenta y la otra disminuye, es inversa. Pero cuidado: no todas las magnitudes relacionadas son proporcionales. La edad y la estatura de una persona crecen a la vez, pero no en la misma proporción. Y en los porcentajes encadenados nunca se suman los porcentajes: se multiplican los índices de variación.
El consejo de Otto
Para calcular el 10 % de una cantidad, mueve la coma una posición a la izquierda; con eso obtienes el 5 % (mitad), el 20 % (doble) o el 15 % (10 % + 5 %) de cabeza.
Cómo usar los apuntes de proporcionalidad y educación financiera de 3º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de proporcionalidad y educación financiera y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de proporcionalidad y educación financiera y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de proporcionalidad y educación financiera de 3º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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