Sistemas de ecuaciones e inecuaciones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. De la segunda, \(x=1+y\). En la primera: \(2(1+y)+3y=12\), \(5y=10\), \(y=2\) y \(x=3\).
   2. Despejamos \(x\) en las dos: \(x=\dfrac{12-3y}{2}\) y \(x=1+y\). Igualando: \(12-3y=2+2y\), \(5y=10\), \(y=2\) y \(x=3\).
   3. Multiplicamos la segunda por 3: \(3x-3y=3\). Sumando con la primera: \(5x=15\), \(x=3\), y entonces \(y=x-1=2\).
   4. \(2\cdot3+3\cdot2=12\) ✓ y \(3-2=1\) ✓. Las dos rectas se cortan en el punto \((3,2)\): sistema compatible determinado.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\dfrac12=\dfrac24=\dfrac5{10}\): las rectas coinciden. Compatible indeterminado (infinitas soluciones).
   2. \(\dfrac12=\dfrac24\neq\dfrac57\): rectas paralelas distintas. Incompatible (sin solución).
   3. \(\dfrac31\neq\dfrac{-1}{1}\): compatible determinado. Sumando: \(4x=8\), \(x=2\), \(y=2\).
   4. Debe cumplirse \(\dfrac12=\dfrac k4=\dfrac36\), luego \(k=2\). Para cualquier otro valor de \(k\) el sistema es compatible determinado.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(E_2-2E_1\): \(-3y-z=-9\), es decir, \(3y+z=9\). \(E_3-E_1\): \(y-2z=-4\).
   2. \(3\cdot(y-2z=-4)\) menos \((3y+z=9)\): \(-7z=-21\). Sistema escalonado: \(x+y+z=6\); \(3y+z=9\); \(-7z=-21\).
   3. \(z=3\); \(3y+3=9\) da \(y=2\); \(x+2+3=6\) da \(x=1\).
   4. \(1+2+3=6\) ✓; \(2-2+3=3\) ✓; \(1+4-3=2\) ✓. Compatible determinado con solución \((1,2,3)\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(E_2-E_1\): \(-2y+z=-1\). \(E_3-2E_1\): \(-2y+z=-1\). Restando estas dos queda \(0=0\): la tercera ecuación es la suma de las dos primeras.
   2. Compatible indeterminado. Con \(z=\lambda\): \(y=\dfrac{1+\lambda}{2}\) y \(x=4-y-\lambda=\dfrac{7-3\lambda}{2}\).
   3. \(\lambda=1\): \((2,1,1)\); \(\lambda=3\): \((-1,2,3)\). Por ejemplo, \((2,1,1)\): \(2+1+1=4\), \(2-1+2=3\), \(4+3=7\) ✓.
   4. \(E_3-2E_1\) da \(-2y+z=0\), que contradice \(-2y+z=-1\): resulta \(0=1\). El sistema es incompatible.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(y=7-x\): \(x(7-x)=12\), \(x^2-7x+12=0\), \(x=3\) o \(x=4\). Soluciones \((3,4)\) y \((4,3)\).
   2. \(x=y+1\): \((y+1)^2+y^2=25\), \(2y^2+2y-24=0\), \(y^2+y-12=0\), \(y=3\) o \(y=-4\). Soluciones \((4,3)\) y \((-3,-4)\).
   3. \(x^2+y^2=25\) es una circunferencia de centro \((0,0)\) y radio 5; \(x-y=1\) es una recta. Se cortan en los puntos \((4,3)\) y \((-3,-4)\).
   4. Dos: la recta puede cortarla en dos puntos, ser tangente (uno) o no tocarla (ninguno).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Si \(x=0\), \(y=6\); si \(y=0\), \(x=3\). La recta pasa por \((0,6)\) y \((3,0)\).
   2. \(2\cdot0+0=0\le6\) es cierto: la solución es el semiplano que contiene al origen, es decir, el que queda por debajo de la recta.
   3. \((1,2)\): \(4\le6\) sí. \((2,3)\): \(7\le6\) no. \((3,0)\): \(6\le6\) sí (está en la frontera). \((-1,7)\): \(5\le6\) sí.
   4. Sí, porque la desigualdad es \(\le\). Con \(2x+y\lt 6\) la recta no se incluiría y se dibujaría discontinua.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(x+y=5\) pasa por \((5,0)\) y \((0,5)\); \(x-y=-1\) pasa por \((0,1)\) y \((-1,0)\). Con el punto \((0,0)\) se comprueba que la región está por debajo de las dos rectas y en el primer cuadrante.
   2. \((0,0)\), \((5,0)\), \((0,1)\) y el corte de \(x+y=5\) con \(x-y=-1\): sumando, \(2x=4\), \(x=2\), \(y=3\). Vértice \((2,3)\).
   3. \((1,1)\): \(2\le5\) y \(0\ge-1\), sí. \((1,3)\): \(4\le5\), pero \(-2\ge-1\) es falso, no pertenece.
   4. \(F(0,0)=0\); \(F(5,0)=10\); \(F(2,3)=13\); \(F(0,1)=3\). El máximo, 13, está en \((2,3)\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(x\): entradas de adulto; \(y\): infantiles. \(x+y=250\) y \(8x+5y=1\,700\).
   2. Multiplicamos la primera por 5: \(5x+5y=1\,250\). Restando: \(3x=450\), \(x=150\) y \(y=100\).
   3. \(150+100=250\) ✓ y \(8\cdot150+5\cdot100=1\,200+500=1\,700\) ✓.
   4. Daría \(3x=400\), \(x=133{,}3\): no es un número entero de entradas, así que esa recaudación sería imposible.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(x\): kg de arábica; \(y\): kg de robusta. \(x+y=60\) y \(12x+7y=60\cdot10=600\).
   2. \(y=60-x\): \(12x+420-7x=600\), \(5x=180\), \(x=36\) kg y \(y=24\) kg.
   3. \(\dfrac{36}{60}=0{,}6\): el 60 %.
   4. \(12x+7(60-x)=660\): \(5x=240\), \(x=48\) kg de arábica y 12 kg de robusta.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(2x+y+z=6{,}30\); \(x+2y+z=6{,}90\); \(3x+y+2z=9{,}60\).
    2. Ordenamos poniendo primero \(x+2y+z=6{,}90\) (\(E_1\)). \(E_2-2E_1\) (con \(E_2\) la del primer cliente): \(-3y-z=-7{,}50\). \(E_3-3E_1\): \(-5y-z=-11{,}10\). Restando estas dos: \(2y=3{,}60\), \(y=1{,}80\). Entonces \(z=7{,}50-5{,}40=2{,}10\) y \(x=6{,}90-3{,}60-2{,}10=1{,}20\). Naranjas 1,20 €/kg, manzanas 1,80 €/kg y plátanos 2,10 €/kg.
    3. \(3\cdot1{,}20+1{,}80+2\cdot2{,}10=3{,}60+1{,}80+4{,}20=9{,}60\) € ✓.
    4. \(1{,}20+1{,}80+2{,}10=5{,}10\) €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(x+y=20\,000\) y \(0{,}03x+0{,}05y=840\).
    2. \(y=20\,000-x\): \(0{,}03x+1\,000-0{,}05x=840\), \(-0{,}02x=-160\), \(x=8\,000\) € en A y \(12\,000\) € en B.
    3. \(\dfrac{840}{20\,000}=0{,}042\): un 4,2 % anual.
    4. \(0{,}05\cdot20\,000=1\,000\) €. Probablemente el fondo B tiene más riesgo, y repartir el dinero reduce el riesgo total.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(y_A=30+25x\); \(y_B=50+25x\); \(y_C=10+30x\).
    2. \(30+25x=50+25x\) lleva a \(30=50\), imposible: es incompatible. Las rectas son paralelas (misma pendiente): B siempre cuesta 20 € más que A.
    3. \(30+25x=10+30x\) da \(x=4\) e \(y=130\). A los 4 meses A y C cuestan lo mismo, 130 €.
    4. 3 meses: A 105 €, B 125 €, C 100 €: conviene C. 12 meses: A 330 €, B 350 €, C 370 €: conviene A.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Perímetro: \(2x+2y=70\), es decir, \(x+y=35\). Área: \(xy=300\).
    2. \(y=35-x\): \(x(35-x)=300\), \(x^2-35x+300=0\), \(x=\dfrac{35\pm5}{2}\): \(x=20\) o \(x=15\).
    3. Las dos soluciones dan el mismo campo: 20 m de largo y 15 m de ancho.
    4. Valla: \(70\cdot15=1\,050\) €. Césped: \(300\cdot22=6\,600\) €. Total: \(7\,650\) €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(2x+y\le90\); \(x\ge20\); \(y\ge x\).
    2. \((25,30)\): \(80\le90\), \(25\ge20\) y \(30\ge25\): sí. \((30,35)\): \(95\gt 90\): no, se pasa del presupuesto.
    3. \(x=20\) con \(y=x\): \((20,20)\). \(x=20\) con \(2x+y=90\): \((20,50)\). \(y=x\) con \(2x+y=90\): \(3x=90\), \((30,30)\).
    4. \(x+y\) en los vértices: 40, 70 y 60. El máximo es 70 productos, con 20 bocadillos y 50 refrescos.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(x\): básicos; \(y\): completos; \(z\): especiales. \(x+y+z=300\); \(9x+12y+18z=3\,960\); \(y=2z\).
    2. Sustituyendo \(y=2z\): \(x+3z=300\) y \(9x+42z=3\,960\). Restando nueve veces la primera: \(15z=1\,260\), \(z=84\). Luego \(y=168\) y \(x=300-252=48\).
    3. \(48+168+84=300\) ✓; \(432+2\,016+1\,512=3\,960\) ✓; \(168=2\cdot84\) ✓.
    4. Coste: \(48\cdot6+168\cdot8+84\cdot11=288+1\,344+924=2\,556\) €. Beneficio: \(3\,960-2\,556=1\,404\) €.
    5. Por unidad: básico 3 €, completo 4 € y especial 7 €: el especial. En total: básico 144 €, completo 672 € y especial 588 €: el completo, porque se vendieron muchos más.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(4x+2y\le80\); \(2x+3y\le72\); \(x\ge0\); \(y\ge0\).
    2. \((10,10)\): \(60\le80\) y \(50\le72\): sí. \((15,12)\): \(84\gt 80\): no hay horas de carpintería suficientes.
    3. \((0,0)\), \((20,0)\), \((0,24)\) y el corte de \(4x+2y=80\) con \(2x+3y=72\): de la primera, \(y=40-2x\); \(2x+120-6x=72\), \(x=12\), \(y=16\). Vértice \((12,16)\).
    4. \(B(0,0)=0\); \(B(20,0)=1\,200\); \(B(12,16)=1\,360\); \(B(0,24)=960\). Lo más rentable: 12 mesas y 16 sillas, 1 360 €.
    5. Carpintería: \(48+32=80\) h; barnizado: \(24+48=72\) h. Se usan todas las horas, no sobra ninguna.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Cuanto más caro, menos quieren comprar los consumidores (demanda decreciente) y más quieren vender los productores (oferta creciente).
    2. \(50-0{,}5q=10+0{,}3q\): \(40=0{,}8q\), \(q=50\) y \(p=25\). Equilibrio en 50 000 cajas a 25 € la caja.
    3. \(25\cdot50\,000=1\,250\,000\) € semanales.
    4. \(50-0{,}5q=14+0{,}3q\): \(36=0{,}8q\), \(q=45\) y \(p=50-22{,}5=27{,}50\) €.
    5. El precio sube \(27{,}50-25=2{,}50\) €: el consumidor paga 2,50 € de los 4 € del impuesto (el 62,5 %) y el productor el resto. El Gobierno recauda \(4\cdot45\,000=180\,000\) € semanales.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(x+y+z=5\,000\); \(30x+45y+70z=190\,000\); \(x-y-z=1\,000\).
    2. Sumando la primera y la tercera: \(2x=6\,000\), \(x=3\,000\). Queda \(y+z=2\,000\) y \(45y+70z=100\,000\). Restando 45 veces la primera: \(25z=10\,000\), \(z=400\) e \(y=1\,600\).
    3. \(3\,000+1\,600+400=5\,000\) ✓; \(90\,000+72\,000+28\,000=190\,000\) ✓. Pista: 47,37 %; grada: 37,89 %; palco: 14,74 %.
    4. \(35\cdot3\,000+72\,000+28\,000=205\,000\) €, es decir, 15 000 € más.
    5. Haría falta saber cómo cambia la demanda al subir el precio: si con 35 € se venden menos entradas de pista, la recaudación podría no aumentar.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(10x+20y+15z=120\) y \(20x+10y+15z=120\).
    2. Restando: \(-10x+10y=0\), \(y=x\). Sustituyendo: \(30x+15z=120\), \(z=8-2x\). Compatible indeterminado: \((x,\ x,\ 8-2x)\).
    3. Hace falta \(x\ge0\) y \(8-2x\ge0\): \(0\le x\le4\). Soluciones enteras: \((0,0,8)\), \((1,1,6)\), \((2,2,4)\), \((3,3,2)\) y \((4,4,0)\).
    4. \(C=x+1{,}5x+1{,}2(8-2x)=9{,}6+0{,}1x\). Es mínimo con \(x=0\): 8 raciones de C, que cuestan 9,60 €.
    5. Todas tienen \(x+y+z=2x+8-2x=8\) raciones: como cada ración aporta en total 30 g de proteínas más hidratos y hacen falta 240 g, siempre son 8 raciones.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Número: \(100c+10d+u\). Inverso: \(100u+10d+c\).
    2. \(c+d+u=12\); \(d=c+u\); \((100c+10d+u)-(100u+10d+c)=198\), que se simplifica a \(99c-99u=198\), es decir, \(c-u=2\).
    3. Sustituyendo \(d=c+u\) en la primera: \(2d=12\), \(d=6\) y \(c+u=6\). Con \(c-u=2\): \(c=4\), \(u=2\). El número es 462.
    4. \(4+6+2=12\) ✓; \(6=4+2\) ✓; \(462-264=198\) ✓.