Potencias y raíces – matemáticas 3º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: la leyenda del tablero de ajedrez

Cuenta una vieja leyenda que el inventor del ajedrez pidió a su rey un premio modesto: un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, y así duplicando hasta la casilla 64. El rey aceptó riendo, pero la cuenta es enorme: en la casilla 10 hay \(2^9=512\) granos, en la 20 hay \(2^{19}=524\,288\) y en la 64 hay \(2^{63}\), un número de 19 cifras. Las potencias sirven para escribir de forma breve las multiplicaciones repetidas y describen procesos que crecen muy deprisa, como las bacterias, el interés del dinero o la propagación de un rumor. Las raíces son la operación inversa de las potencias y permiten, por ejemplo, calcular el lado de un cuadrado conociendo su área. En este tema aprenderás a manejar las potencias con exponente entero, las raíces, los exponentes fraccionarios y los radicales.

Observación

Estas propiedades solo se aplican a productos y cocientes, nunca a sumas: \((a+b)^2\neq a^2+b^2\). Para combinar potencias de bases distintas se intenta descomponer las bases en factores primos. Por ejemplo, \(\frac{4^3\cdot2^5}{8^2}=\frac{(2^2)^3\cdot2^5}{(2^3)^2}=\frac{2^{6}\cdot2^{5}}{2^{6}}=2^5=32\).

Observación

Una raíz se puede escribir como potencia de exponente fraccionario: \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\). Así, \(\sqrt{a}=a^{1/2}\) y las propiedades de las potencias ayudan a trabajar con radicales.

Observación

Ante un ejercicio con potencias, primero comprueba los signos y los paréntesis. Después pasa a exponente positivo las potencias con exponente negativo si te resulta más cómodo. A continuación descompón las bases en factores primos para que todas coincidan, aplica las propiedades y, por último, calcula el valor numérico. Si el resultado es una fracción, simplifícala. Cuando trabajes con números muy grandes o muy pequeños, la notación científica y las propiedades de las potencias de 10 te permiten operar sin calculadora: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Observación

Recuerda también la relación entre potencias y raíces: elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada son operaciones inversas para números positivos. Por eso \(\left(\sqrt{7}\right)^2=7\) y \(\sqrt{7^2}=7\). Esta idea se usa para comprobar resultados: si crees que \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), eleva al cuadrado \(10\sqrt{3}\) y obtendrás \(100\cdot3=300\).

Observación: cómo usar la calculadora

La mayoría de las calculadoras científicas tienen una tecla para elevar a un exponente y otra para raíces de cualquier índice. Antes de pulsar, estima el resultado mentalmente: si calculas \(1{,}03^{10}\), sabes que debe ser un poco mayor que 1; si obtienes 30, algo ha ido mal. Para exponentes negativos, escribe el exponente entre paréntesis y comprueba que el resultado es el inverso de la potencia positiva. Esta costumbre de estimar y comprobar evita muchos errores en los problemas de crecimiento y de notación científica.

¿Sabías que?

El símbolo de la raíz cuadrada, \(\sqrt{\ }\), procede de una \(r\) estilizada de la palabra latina radix, que significa «raíz». Los exponentes negativos y fraccionarios los generalizó el matemático inglés John Wallis en el siglo XVII, y Newton los popularizó. Gracias a ellos podemos escribir con unas pocas cifras tanto el tamaño de un virus como la distancia entre galaxias.