Sistemas de ecuaciones – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(3x+2(2x-3)=1\), \(7x-6=1\), \(x=1\) e \(y=2-3=-1\). Comprobación: \(3-2=1\). Despejada \(y\), la sustituimos en la segunda ecuación. Respuesta: \((1,-1)\).
   2. Sumamos: \(8x=16\), \(x=2\). Entonces \(6+2y=12\), \(y=3\). Comprobación: \(10-6=4\). Las \(y\) tienen coeficientes opuestos, así que sumamos. Respuesta: \((2,3)\).

   Criterios de corrección: 2 puntos por sistema. En a) 1 punto por sustituir \(y=2x-3\) y 1 por la solución \((1,-1)\). En b) 1 punto por sumar las ecuaciones y 1 por \((2,3)\); comprobación: \(6+6=12\).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. Si \(x+y=4\), entonces \(2x+2y=8\neq9\). Incompatible: rectas paralelas.
   2. La segunda ecuación es el doble de la primera. Compatible indeterminado: rectas coincidentes.
   3. Las ecuaciones son independientes: compatible determinado. Sumando, \(2x=6\), \(x=3\) e \(y=2\).

   Criterios de corrección: un punto por sistema. En a) las rectas \(y=4-x\) e \(y=4{,}5-x\) son paralelas: incompatible. En b) las dos ecuaciones son la misma recta: infinitas soluciones, como \((1,0)\) o \((3,2)\). En c) se exige la solución \((3,2)\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Multiplicando la primera por 6: \(3x+2y=18\). El sistema es \(\begin{cases}3x+2y=18\\ x-y=1\end{cases}\).
   2. De la segunda, \(x=y+1\). Sustituyendo: \(3y+3+2y=18\), \(y=3\) y \(x=4\). Comprobación: \(\dfrac{4}{2}+\dfrac{3}{3}=3\) y \(4-3=1\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por multiplicar la primera ecuación por 6, el mínimo común múltiplo de 2 y 3. En b) 1,5 puntos por la solución \((4,3)\) y 0,5 puntos por comprobarla en las dos ecuaciones originales, no en las transformadas.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Con \(x\) entradas de adulto e \(y\) de niño: \(x+y=13\) y \(8x+5y=89\).
   2. \(y=13-x\): \(8x+5(13-x)=89\), \(3x+65=89\), \(x=8\) e \(y=5\). Se han vendido 8 entradas de adulto y 5 de niño.
   3. \(8+5=13\) entradas y \(64+25=89\) €. Respuesta: 8 entradas de adulto y 5 de niño.

   Criterios de corrección: planteamiento 1,5 puntos (una ecuación cuenta entradas y otra euros), resolución 1,5 puntos y comprobación 1 punto: \(8\cdot8=64\) € de adultos y \(5\cdot5=25\) € de niños.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(\begin{cases}3x+2y=7{,}40\\ 2x+3y=6{,}60\end{cases}\)
   2. Multiplicamos por 3 y por 2: \(9x+6y=22{,}2\) y \(4x+6y=13{,}2\). Restamos: \(5x=9\), \(x=1{,}80\). Entonces \(3y=6{,}6-3{,}6=3\), \(y=1\).
   3. \(5\cdot1{,}8+4\cdot1=9+4=13\) €.
   4. \(3\cdot1{,}8+2\cdot1=7{,}40\) y \(2\cdot1{,}8+3\cdot1=6{,}60\). Respuesta: el cuaderno cuesta 1,80 € y el bolígrafo 1 €.

   Criterios de corrección: sistema 2 puntos, resolución 2 puntos, precio de 5 cuadernos y 4 bolígrafos 1 punto (13 €) y comprobación 1 punto. En la reducción se acepta multiplicar por 2 y por 3 para eliminar \(x\) en lugar de \(y\).

Total : 20 puntos