Inecuaciones – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(x>3\): \((3,+\infty)\). \(x\le-2\): \((-\infty,-2]\). \(-1\lt x\le4\): \((-1,4]\).
   2. \([2,5)\): \(2\le x<5\). \((-\infty,1)\): \(x<1\). \([0,6]\): \(0\le x\le6\).
   3. Sí pertenece a \((1,4]\) porque el corchete incluye el 4. No pertenece a \((1,4)\) porque el paréntesis lo excluye.
   4. Se dibuja un círculo vacío en \(-1\), un círculo lleno en \(3\) y se colorea el tramo entre ellos. Respuesta: el intervalo incluye el 3 pero no el \(-1\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(3\cdot(-2)=-6\) y \(7\cdot(-2)=-14\). Como \(-6>-14\), la desigualdad cambia de sentido.
   2. \(x>2-5\), es decir, \(x>-3\). Restamos 5 en los dos miembros; la desigualdad no cambia. Solución: \((-3,+\infty)\).
   3. Multiplicamos por \(-1\) y cambiamos el sentido: \(x<-4\). Multiplicar por un número negativo invierte el sentido. Solución: \((-\infty,-4)\).
   4. No: \((-2)^2=4\) y \(1^2=1\), y \(4<1\) es falso. Elevar al cuadrado no conserva siempre la desigualdad. Respuesta: no es cierto en general.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(x>5\); intervalo \((5,+\infty)\). Restamos 4 en los dos miembros; la desigualdad no cambia de sentido. Comprobación: \(x=6\) da \(10>9\).
   2. \(x\le4\); intervalo \((-\infty,4]\). Dividimos entre 3, que es positivo, así que el sentido se mantiene. El extremo 4 se incluye porque la desigualdad no es estricta.
   3. Dividimos entre \(-2\) y cambiamos el sentido: \(x>-4\); intervalo \((-4,+\infty)\). Comprobación con \(x=0\): \(0<8\), que es cierto; con \(x=-5\): \(10<8\), que es falso. Respuesta: \((-4,+\infty)\).
   4. \(x\ge-6\); intervalo \([-6,+\infty)\). Multiplicamos los dos miembros por 3, que es positivo. Comprobación: \(x=-6\) da \(-2\ge-2\), cierto. Respuesta: \([-6,+\infty)\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(2x>12\), \(x>6\). Comprobación: \(x=7\) da \(9>7\) (sí); \(x=5\) da \(5>7\) (no). Solución: \((6,+\infty)\).
   2. \(-3x\ge-9\). Dividimos entre \(-3\) y cambiamos el sentido: \(x\le3\). Comprobación: \(x=0\) da \(5\ge-4\) (sí); \(x=4\) da \(-7\ge-4\) (no). Solución: \((-\infty,3]\).
   3. \(4x-4<2x+6\), \(2x<10\), \(x<5\). Comprobación: \(x=4\) da \(12<14\) (sí); \(x=6\) da \(20<18\) (no). Solución: \((-\infty,5)\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Multiplicamos por 2: \(x+2\le8\), \(x\le6\). Como 2 es positivo, el sentido no cambia. Comprobación: \(x=6\) da \(3+1=4\le4\). Solución: \((-\infty,6]\).
   2. Multiplicamos por 6: \(2(x+1)>3(x-1)\), \(2x+2>3x-3\), \(5>x\), es decir, \(x<5\). Pasamos \(3x\) al primer miembro y los números al segundo: \(-x>-5\), y al multiplicar por \(-1\) cambia el sentido. Comprobación: \(x=2\) da \(1>0{,}5\). Solución: \((-\infty,5)\).
   3. Multiplicamos por 3: \(2x-1\ge3\), \(2x\ge4\), \(x\ge2\). Comprobación: \(x=2\) da \(\dfrac{3}{3}=1\ge1\). Solución: \([2,+\infty)\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(3x>12\), \(x>4\). El menor entero es 5 (el 4 no sirve porque \(x>4\) es estricto).
   2. \(2x<12\), \(x<6\). El mayor entero es 5. Al dividir entre 2 el sentido no cambia.
   3. Deben ser \(x>4\) y \(x<6\): solo \(x=5\). Un entero.
   4. Círculo vacío en 4 y tramo coloreado hacia la derecha. El 4 no pertenece a la solución porque la desigualdad es estricta.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(x>-1\) y \(x\le4\). Solución: \((-1,4]\).
   2. \(x\ge2\) y \(x<3\). Solución: \([2,3)\).
   3. No hay números mayores que 5 y menores que 2 a la vez: no tiene solución.
   4. Los enteros de \((-1,4]\) son 0, 1, 2, 3 y 4. Respuesta: cinco enteros, del 0 al 4.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(2x-3<11\), \(2x<14\), \(x<7\). Respuesta: la cumplen los números menores que 7, el intervalo \((-\infty,7)\).
   2. \(\dfrac{x}{2}+4\ge10\), \(\dfrac{x}{2}\ge6\), \(x\ge12\). Restamos 4 y multiplicamos por 2. Respuesta: la cumplen los números mayores o iguales que 12, \([12,+\infty)\).
   3. «No supera» significa «menor o igual»: \(3x\le24\), \(x\le8\). Dividimos entre 3. Respuesta: la cumplen los números menores o iguales que 8, \((-\infty,8]\).
   4. \(x+5>3x\), \(5>2x\), \(x\lt \dfrac{5}{2}=2{,}5\). Pasamos \(x\) al segundo miembro y dividimos entre 2. Respuesta: la cumplen los números menores que 2,5.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(18+4{,}5x\le60\). El gasto total es la tarta más 4,50 € por invitado, y no puede pasar de 60 €.
   2. \(4{,}5x\le42\), \(x\le\dfrac{42}{4{,}5}\approx9{,}33\). Restamos 18 y dividimos entre 4,5, que es positivo.
   3. Como \(x\) es un número entero, como máximo 9 invitados. No se puede redondear a 10, porque costaría 63 €.
   4. Con 9 invitados gasta \(18+4{,}5\cdot9=58{,}50\) €. Sobran \(60-58{,}50=1{,}50\) €. Respuesta: puede invitar a 9 personas y le sobran 1,50 €.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(25+8x\ge89{,}9\).
    2. \(8x\ge64{,}9\), \(x\ge8{,}11\ldots\)
    3. Como las semanas son enteras, 9 semanas (con 8 semanas solo tiene \(25+64=89\) €, que no alcanza).
    4. A las 9 semanas tiene \(25+72=97\) €. Sobran \(97-89{,}90=7{,}10\) €. Respuesta: espera 9 semanas y le sobran 7,10 €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(3+1{,}2x\le30\). El precio total es la bajada de bandera más 1,20 € por kilómetro, y no puede superar 30 €.
    2. \(1{,}2x\le27\), \(x\le22{,}5\). Restamos 3 y dividimos entre 1,2.
    3. Como máximo 22 km enteros (o 22,5 km si se admiten decimales). Con 23 km pagaría \(3+27{,}6=30{,}60\) €, que supera los 30 €.
    4. \(3+1{,}2\cdot22=29{,}40\) €. Respuesta: recorre como máximo 22 km y paga 29,40 €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(\dfrac{4+5{,}5+3{,}5+x}{4}\ge5\). La media es la suma de las cuatro notas dividida entre 4.
    2. \(13+x\ge20\), \(x\ge7\). Multiplicamos por 4, que es positivo, y restamos 13.
    3. Necesita al menos un 7. Respuesta: Elena necesita al menos un 7 en el último examen.
    4. \(\dfrac{4+5{,}5+3{,}5+7}{4}=\dfrac{20}{4}=5\). Justo el 5 necesario. Con cualquier nota mayor que 7 la media supera el 5.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(75x+120\le450\). El peso total son las cajas más 75 kg por persona, y no puede superar 450 kg.
    2. \(75x\le330\), \(x\le4{,}4\). Restamos 120 y dividimos entre 75.
    3. Como máximo 4 personas (\(75\cdot4+120=420\) kg). Con 5 se pasaría: \(495\) kg.
    4. Sin cajas: \(75x\le450\), \(x\le6\). Caben 6 personas. Respuesta: con las cajas suben 4 personas; sin cajas, 6.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(A(x)=10+0{,}05x\) y \(B(x)=0{,}12x\). La tarifa A tiene una parte fija y otra que crece con los minutos.
    2. \(10+0{,}05x<0{,}12x\). Queremos saber cuándo la tarifa A es más barata que la B.
    3. \(10<0{,}07x\), \(x>\dfrac{10}{0{,}07}\approx142{,}86\). La tarifa A es más barata a partir de 143 minutos. Restamos \(0{,}05x\) en los dos miembros y dividimos entre 0,07, que es positivo.
    4. 100 min: A \(=15\) € y B \(=12\) €, conviene B. 300 min: A \(=25\) € y B \(=36\) €, conviene A. Respuesta: con 100 minutos conviene B y con 300 minutos conviene A.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Largo \(x+8\). Perímetro \(=2x+2(x+8)=4x+16\). El perímetro es la suma de los cuatro lados.
    2. \(4x+16\le60\), \(4x\le44\), \(x\le11\). Restamos 16 y dividimos entre 4.
    3. Ancho máximo 11 m y largo \(11+8=19\) m.
    4. Área \(=11\cdot19=209\) m\(^2\). Respuesta: el mayor corral mide 11 m por 19 m y tiene 209 m\(^2\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. A: \(200+15x\). B: \(25x\). El restaurante A suma el local y 15 € por persona.
    2. \(25x<200+15x\), \(10x<200\), \(x<20\). Restamos \(15x\) en los dos miembros y dividimos entre 10.
    3. B es más barato si van menos de 20 personas; con 20 cuestan lo mismo (500 €) y con más de 20 conviene A.
    4. A: \(200+450=650\) €. B: \(750\) €. Conviene A. Respuesta: para 30 personas el restaurante A es 100 € más barato.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(100\le12x\le150\). El gasto es 12 € por camiseta y debe estar entre 100 € y 150 €.
    2. Dividimos entre 12: \(8{,}33\ldots\le x\le12{,}5\). Dividimos los tres miembros entre 12, que es positivo.
    3. Puede comprar 9, 10, 11 o 12 camisetas. Son los enteros entre 8,33 y 12,5.
    4. Mínimo: \(9\cdot12=108\) €. Máximo: \(12\cdot12=144\) €. Respuesta: gasta entre 108 € y 144 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(12+3t>24\), \(3t>12\), \(t>4\): después de las 12:00. Respuesta: a partir de las 12:00.
    2. \(12+3t<30\), \(3t<18\), \(t<6\): antes de las 14:00. Respuesta: hasta las 14:00.
    3. \(4\lt t<6\). Restamos 12 en los tres miembros y dividimos entre 3.
    4. Entre las 12:00 y las 14:00 (sin incluir los extremos). Respuesta: entre las 12:00 y las 14:00.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(5+8>x\); \(5+x>8\); \(8+x>5\). Escribimos que cada lado es menor que la suma de los otros dos.
    2. \(x<13\); \(x>3\); \(x>-3\). Solución conjunta: \(3\lt x<13\), es decir, \((3,13)\). La tercera desigualdad se cumple siempre que se cumple la segunda, porque una longitud es positiva.
    3. 3 cm: no (extremo excluido). 4 cm: sí. 12 cm: sí. 13 cm: no (extremo excluido).
    4. Los enteros de \((3,13)\) son 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12: hay 9 triángulos. Respuesta: hay 9 triángulos con el tercer lado entero.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(3x+3-2x+8>20\), \(x+11>20\), \(x>9\). Comprobación con \(x=10\): \(33-12=21>20\). Solución: \((9,+\infty)\).
    2. Restamos 1: \(-4<2x\le8\). Dividimos entre 2: \(-2\lt x\le4\). Intervalo \((-2,4]\).
    3. \(ac=-6\) y \(bc=-15\). Como \(-6>-15\), se cumple \(ac>bc\): la desigualdad cambia de sentido.
    4. Restando \(x\): \(1>3\), que es falso. Ningún número lo cumple: la inecuación no tiene solución.