Potencias y raíces – matemáticas 3º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Calcula cada potencia con cuidado: observa dónde están los paréntesis y el signo de la base.

1. \(2^5\) y \(5^0\)
2. \((-3)^4\) y \(-3^4\)
3. \((-2)^3\) y \((-2)^4\)
4. ¿Por qué \((-3)^4\) y \(-3^4\) dan resultados distintos?

Recuerda que \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) y que \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\).

1. \(2^{-3}\) y \(10^{-4}\)
2. \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\)
3. \((-2)^{-3}\)
4. \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}\)

Aplica \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\) y \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\).

1. \(3^4\cdot3^2\)
2. \(5^7:5^4\)
3. \((2^3)^2\)
4. \(2^5\cdot2^{-2}\)

Simplifica aplicando las propiedades antes de calcular.

1. \(\dfrac{2^3\cdot2^{-5}}{2^{-2}\cdot2^{4}}\)
2. \(\left(3^2\cdot3^{-4}\right)^{-1}\)
3. \(\dfrac{5^6\cdot5^{-4}}{5^3}\)
4. \((x^3)^2\cdot x^{-4}\)

Las potencias de 10 permiten escribir números muy grandes o muy pequeños.

1. Calcula \(10^{3}\cdot10^{-5}\) y escribe el resultado como decimal.
2. Escribe \(0{,}0001\) y \(3\,500\,000\) como potencias de 10 o en notación científica.
3. Calcula \(\dfrac{10^{6}}{10^{9}}\).
4. ¿Cuántos ceros tiene \(10^{-4}\) antes de la primera cifra significativa, contando el cero de las unidades?

Calcula cada raíz o razona por qué no existe en los números reales.

1. \(\sqrt{81}\) y \(\sqrt{0{,}04}\)
2. \(\sqrt[3]{27}\) y \(\sqrt[3]{-8}\)
3. \(\sqrt[4]{16}\) y \(\sqrt[5]{32}\)
4. \(\sqrt{-9}\)

Una raíz es una potencia de exponente fraccionario: \(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\).

1. \(9^{1/2}\) y \(8^{1/3}\)
2. \(16^{3/4}\)
3. \(27^{2/3}\)
4. \(4^{-1/2}\)

Usa \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\) y \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\), y saca factores de la raíz.

1. \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}\)
2. \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\)
3. \(\sqrt{72}\)
4. \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}\) y \(\sqrt[3]{16}\)

Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando). Si no lo parecen, simplifica antes.

1. \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}\)
2. \(\sqrt{18}+\sqrt{8}\)
3. \(\sqrt{75}-\sqrt{12}\)
4. \(2\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\)

En un cultivo de un laboratorio hay 3 bacterias al principio y su número se duplica cada hora.

1. Escribe la fórmula del número de bacterias \(N\) tras \(t\) horas.
2. Calcula \(N\) para \(t=5\) y para \(t=10\).
3. ¿Cuántas horas deben pasar para superar las 1 000 bacterias?
4. ¿Cuántas bacterias había 2 horas antes del inicio si el crecimiento hubiera sido el mismo? Usa un exponente negativo.

María deposita 2 000 € en un banco de Valencia con un interés compuesto del 3 % anual. Cada año el capital se multiplica por \(1{,}03\).

1. Escribe la fórmula del capital \(C\) tras \(t\) años.
2. Calcula el capital tras 2 años y tras 3 años.
3. ¿Cuántos euros ha ganado en 3 años?
4. ¿Qué capital habría con interés simple (3 % de 2 000 € cada año) en 3 años? Compara.

Un folio de 0,1 mm de grosor se dobla por la mitad varias veces. Cada doblez duplica el grosor.

1. Escribe el grosor \(g\) (en mm) después de \(n\) dobleces.
2. Calcula el grosor tras 7 y tras 10 dobleces.
3. Calcula el grosor tras 20 dobleces en metros.
4. Compara ese resultado con la altura de un edificio de 100 m.

Un acuario cúbico de un museo de Valencia tiene una capacidad de 216 litros. Recuerda que 1 litro es 1 dm\(^3\).

1. Calcula la arista del cubo con una raíz cúbica.
2. Calcula el área de una cara y el área total de las caras.
3. Si se llena hasta \(\dfrac{5}{6}\) de su altura, ¿cuántos litros contiene?
4. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de una cara? Exprésala con un radical.

Una ciudad gallega tiene 25 000 habitantes y su población crece un 2 % cada año.

1. Escribe la fórmula \(P(t)=25\,000\cdot1{,}02^t\) y explica por qué se usa el factor 1,02.
2. Calcula la población dentro de 5 años (redondea a las unidades).
3. Calcula la población dentro de 10 años.
4. ¿Cuánto ha crecido la población en esos 10 años?

Un año luz equivale a \(9{,}46\cdot10^{12}\) km. Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sol, está a 4,24 años luz.

1. Calcula la distancia en kilómetros en notación científica.
2. Una nave viaja a \(5\cdot10^4\) km/h. ¿Cuántas horas tardaría?
3. Expresa ese tiempo en años (1 año \(\approx8\,760\) h).
4. ¿Cuántas veces mayor es esta distancia que la que separa la Tierra de la Luna (\(3{,}84\cdot10^5\) km)?

El suelo de una sala de un museo es un rectángulo cuyos lados miden \(2\sqrt{3}\) m y \(3\sqrt{3}\) m.

1. Calcula el área exacta y comprueba que es un número entero.
2. Calcula el perímetro exacto y aproximado con dos decimales.
3. Calcula la diagonal con el teorema de Pitágoras.
4. Si el metro cuadrado de parqué cuesta 40 €, ¿cuánto cuesta el suelo?

Un coche de 18 000 € pierde un 15 % de su valor cada año. Cada año el valor se multiplica por 0,85.

1. Escribe la fórmula del valor \(V\) tras \(t\) años.
2. Calcula el valor tras 3 años.
3. Calcula el valor tras 5 años.
4. ¿Qué porcentaje del valor inicial ha perdido en 5 años?

Un alumno cuenta un rumor a 3 compañeros a las 9:00. Cada hora, cada persona que lo ha oído por última vez lo cuenta a otras 3 personas que no lo sabían.

1. ¿Cuántas personas nuevas se enteran en la hora \(n\)? Escríbelo como potencia.
2. Calcula las personas nuevas en la hora 1, 2, 3, 4 y 5.
3. Calcula cuántas personas conocen el rumor (contando al primero) después de 5 horas.
4. ¿En cuántas horas lo conocen más de 1 000 personas?

En informática, 1 KB \(=2^{10}\) bytes, 1 MB \(=2^{10}\) KB y 1 GB \(=2^{10}\) MB.

1. Expresa 1 MB y 1 GB en bytes como potencias de 2.
2. Calcula 8 GB en bytes como potencia de 2 y con todas las cifras.
3. Una foto ocupa 4 MB. ¿Cuántas fotos caben en 8 GB? Usa las propiedades de las potencias.
4. ¿Cuántas veces es mayor 1 GB que 1 KB?

Resuelve estos retos con las propiedades de las potencias y las raíces.

1. Simplifica \(\dfrac{2^{n+2}-2^{n}}{2^{n}}\).
2. Racionaliza \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{2}\).
3. ¿Cuál es mayor, \(2^{30}\) o \(3^{20}\)? Compáralos escribiendo \(2^{30}=(2^3)^{10}\) y \(3^{20}=(3^2)^{10}\).
4. Resuelve \(2^{x}=\dfrac{1}{32}\) y \(5^{x+1}=125\).