Proporcionalidad y educación financiera – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}\). Dividimos los dos términos entre su máximo común divisor, 4.
   2. Productos en cruz: \(6\cdot12=72\) y \(9\cdot8=72\). Son iguales: forman proporción.
   3. \(5\cdot24=15\cdot x\), \(120=15x\), \(x=8\). Comprobación: \(\dfrac{5}{8}=0{,}625=\dfrac{15}{24}\).
   4. \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{x}\), \(3x=60\), \(x=20\) cm. Respuesta: 15 cm del plano son 20 cm reales.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\dfrac{6}{2}=3\), \(\dfrac{15}{5}=3\), \(\dfrac{24}{8}=3\): el cociente es constante. Si el cociente es el mismo en todas las parejas, la proporcionalidad es directa.
   2. \(k=3\). La constante es el valor de \(y\) cuando \(x=1\).
   3. \(y=3x\). Para \(x=11\): \(y=33\). Multiplicamos \(x\) por la constante.
   4. \(45=3x\), \(x=15\). Dividimos \(y\) entre la constante. Respuesta: \(x=15\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Producto constante \(=4\cdot12=48\) (obrero·días). El producto de obreros por días es constante, porque con más obreros se tarda menos.
   2. \(6\cdot d=48\), \(d=8\) días. Dividimos el producto entre 6. Respuesta: 8 días.
   3. \(5\cdot d=48\), \(d=9{,}6\) días (casi 10 días). Dividimos entre 5. Respuesta: 9,6 días.
   4. \(o\cdot4=48\), \(o=12\) obreros. Dividimos el producto entre 4. Respuesta: 12 obreros.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(\dfrac{8{,}50}{5}=1{,}70\) € por kilo. Reducimos a la unidad dividiendo el precio entre los kilos.
   2. \(\dfrac{5}{8{,}5}=\dfrac{7}{x}\), \(x=\dfrac{8{,}5\cdot7}{5}=11{,}90\) €. Respuesta: 7 kg cuestan 11,90 €.
   3. \(\dfrac{20{,}40}{1{,}70}=12\) kg. Dividimos el dinero entre el precio de un kilo. Respuesta: 12 kg.
   4. El cociente precio/kilos es constante, 1,70: al comprar el doble de kilos se paga el doble.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Inversamente: con más grifos se tarda menos.
   2. \(3\cdot8=6\cdot t\), \(t=4\) horas. El producto grifos por horas vale 24 en todos los casos.
   3. \(3\cdot8=5\cdot t\), \(t=4{,}8\) h \(=4\) h y \(0{,}8\cdot60=48\) min.
   4. \(3\cdot8=g\cdot2\), \(g=12\) grifos. Respuesta: 12 grifos.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Piezas con más máquinas: directa; con más horas: directa. \(x=1\,200\cdot\dfrac{8}{5}\cdot\dfrac{9}{6}=1\,200\cdot1{,}6\cdot1{,}5=2\,880\) piezas. Respuesta: 2 880 piezas.
   2. \(\dfrac{1\,200}{5\cdot6}=40\) piezas por máquina y hora. Dividimos las piezas entre el producto de máquinas por horas.
   3. En el mismo tiempo, el doble de piezas exige el doble de máquinas: \(5\cdot2=10\) máquinas.
   4. \(40\cdot8\cdot9=2\,880\) piezas. Los dos métodos coinciden.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(240\cdot0{,}15=36\). Para calcular un porcentaje multiplicamos por su expresión decimal, \(0{,}15\). Respuesta: 36.
   2. \(\dfrac{45}{180}=0{,}25=25\ \%\). Dividimos la parte entre el total y multiplicamos por 100. Respuesta: el 25 %.
   3. \(x\cdot0{,}20=30\), \(x=\dfrac{30}{0{,}2}=150\). Conocemos la parte y el porcentaje, así que dividimos la parte entre 0,20. Respuesta: la cantidad es 150.
   4. \(50\cdot1{,}12=56\). Aumentar un 12 % es multiplicar por el índice \(1+0{,}12=1{,}12\). Respuesta: 56.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(80\cdot1{,}1\cdot0{,}9=79{,}20\) €. Multiplicamos por los dos índices seguidos.
   2. \(60\cdot0{,}7=42\) €. Rebajar un 30 % es pagar el 70 %.
   3. \(50\cdot1{,}21=60{,}50\) €. Sumar el IVA es multiplicar por 1,21.
   4. El 10 % de bajada se aplica sobre un precio mayor (88 €) que el 10 % de subida (sobre 80 €). Por eso baja más de lo que había subido: \(1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(I=3\,000\cdot0{,}04\cdot2=240\) €. Aplicamos la fórmula con \(r=0{,}04\) y \(t=2\). Respuesta: 240 €.
   2. \(3\,000+240=3\,240\) €. Sumamos los intereses al capital inicial. Respuesta: 3 240 €.
   3. \(600=3\,000\cdot0{,}04\cdot t=120t\), \(t=5\) años. Cada año produce 120 €, así que dividimos 600 entre 120. Respuesta: 5 años.
   4. Interés anual 120 €, mensual \(\dfrac{120}{12}=10\) €. Dividimos el interés anual entre los 12 meses del año. Respuesta: 10 € al mes.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(C_t=4\,000\cdot1{,}025^{t}\). Cada año el capital se multiplica por \(1+0{,}025\).
    2. \(C_2=4\,000\cdot1{,}050625=4\,202{,}50\) €. Calculamos \(1{,}025^2\) y multiplicamos por 4 000.
    3. \(C_3=4\,000\cdot1{,}076890625\approx4\,307{,}56\) €. Calculamos \(1{,}025^3\).
    4. Interés simple en 3 años: \(4\,000\cdot0{,}025\cdot3=300\) €. El compuesto da \(307{,}56\) €: \(7{,}56\) € más. Respuesta: el compuesto da 7,56 € más.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Factor \(=\dfrac{30}{12}=2{,}5\). Pasamos de 12 a 30 galletas.
    2. Harina: \(200\cdot2{,}5=500\) g. Mantequilla: \(100\cdot2{,}5=250\) g. Multiplicamos cada cantidad por el factor 2,5.
    3. Azúcar: \(80\cdot2{,}5=200\) g. Respuesta: 200 g de azúcar.
    4. \(\dfrac{1\,000}{200}=5\) veces la receta: \(5\cdot12=60\) galletas. Respuesta: 60 galletas.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(\dfrac{6{,}5}{100}\cdot450=29{,}25\) L. El consumo es proporcional a los kilómetros: dividimos entre 100 y multiplicamos por 450. Respuesta: 29,25 litros.
    2. \(29{,}25\cdot1{,}55\approx45{,}34\) €. Multiplicamos los litros por el precio de cada litro. Respuesta: unos 45,34 €.
    3. \(\dfrac{40}{6{,}5}\cdot100\approx615{,}4\) km. Cada 6,5 litros recorre 100 km, así que dividimos 40 entre 6,5 y multiplicamos por 100. Respuesta: unos 615 km.
    4. \(5{,}5\cdot4{,}5=24{,}75\) L; ahorro \(29{,}25-24{,}75=4{,}50\) L. Con el nuevo consumo, 450 km son 4,5 veces 100 km. Respuesta: se ahorrarían 4,50 litros.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(120\cdot0{,}75=90\) €. Rebajar un 25 % es multiplicar por 0,75.
    2. \(90\cdot0{,}90=81\) €. El segundo descuento se aplica sobre 90 €, no sobre 120 €.
    3. Descuento total: \(120-81=39\) €, que son \(\dfrac{39}{120}=0{,}325=32{,}5\ \%\) (no 35 %).
    4. Con el 35 %: \(120\cdot0{,}65=78\) €. Habría sido mejor, porque 78 € es menos que 81 €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(6{,}5\cdot200\,000=1\,300\,000\) cm \(=13\) km. Multiplicamos por la escala y pasamos los centímetros a kilómetros dividiendo entre 100 000.
    2. \(45\) km \(=4\,500\,000\) cm. \(\dfrac{4\,500\,000}{200\,000}=22{,}5\) cm. Pasamos los kilómetros a centímetros y dividimos entre la escala.
    3. \(200\,000\) cm \(=2\) km. Dividimos 200 000 cm entre 100 000 para obtener kilómetros.
    4. \(9{,}2\cdot2=18{,}4\) km. Como cada centímetro son 2 km, multiplicamos por 2. Respuesta: los pueblos están a 18,4 km.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Inversión total: \(10\,000\) €. Razón: \(\dfrac{4\,500}{10\,000}=0{,}45\) € por euro invertido.
    2. \(2\,000\cdot0{,}45=900\) €; \(3\,000\cdot0{,}45=1\,350\) €; \(5\,000\cdot0{,}45=2\,250\) €.
    3. \(900+1\,350+2\,250=4\,500\) €.
    4. Inversa: \(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{6}\), es decir, \(\dfrac{3}{6},\ \dfrac{2}{6},\ \dfrac{1}{6}\); suma \(=1\). Reparto: \(45\) €, \(30\) € y \(15\) € (suman 90).

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(I=2\,400\cdot0{,}05\cdot1=120\) €. Total \(2\,520\) € y cuota \(\dfrac{2\,520}{12}=210\) €.
    2. \(I=2\,400\cdot0{,}05\cdot2=240\) €. Total \(2\,640\) € y cuota \(\dfrac{2\,640}{24}=110\) €.
    3. \(2\,640-2\,520=120\) € más.
    4. Ventaja: la cuota mensual es menor (110 € frente a 210 €). Inconveniente: se pagan 120 € más de intereses.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(C_t=3\,000\cdot1{,}03^{t}\). Cada año el capital se multiplica por 1,03.
    2. \(C_3=3\,000\cdot1{,}092727\approx3\,278{,}18\) € y \(C_4=3\,000\cdot1{,}125509\approx3\,376{,}53\) €.
    3. Tras 3 años tiene \(3\,278{,}18<3\,300\) y tras 4 años \(3\,376{,}53>3\,300\). Necesita 4 años.
    4. \(3\,376{,}53\) €. Respuesta: tendrá unos 3 376,53 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(400\cdot1{,}21=484\) €. Multiplicamos por el índice del IVA.
    2. \(484\cdot0{,}85=411{,}40\) €. Rebajar un 15 % es multiplicar por 0,85.
    3. Se deshacen los índices: \(\dfrac{411{,}40}{0{,}85}=484\) y \(\dfrac{484}{1{,}21}=400\) €. Para deshacer un porcentaje dividimos entre su índice.
    4. \(\dfrac{411{,}40}{400}=1{,}0285\): se ha pagado el \(102{,}85\ \%\), es decir, un \(2{,}85\ \%\) más que el precio sin IVA.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(d=90\cdot4=360\) km. Distancia es velocidad por tiempo. Respuesta: 360 km.
    2. Inversamente proporcionales. \(\dfrac{360}{120}=3\) horas. Si la velocidad aumenta, el tiempo disminuye en la misma proporción. Respuesta: 3 horas.
    3. \(\dfrac{360}{3}=120\) km/h. Dividimos la distancia entre el tiempo deseado. Respuesta: 120 km/h.
    4. \(4-3=1\) hora. Respuesta: se ahorra una hora.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\): el precio final es el 96 % del inicial, es decir, baja un 4 %. Los porcentajes no se compensan.
    2. El índice de la subida es \(1{,}25\). Hay que multiplicar por \(\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8\), es decir, un descuento del 20 %.
    3. \(C\cdot1{,}05^2=2\,205\), \(C=\dfrac{2\,205}{1{,}1025}=2\,000\) €. Dividimos entre el índice elevado a 2.
    4. \(\dfrac{121}{1{,}21}=100\) €. Dividimos entre el índice del IVA.