Números racionales y raíces – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(7\in\mathbb{N}\); \(-3\in\mathbb{Z}\) (es negativo); \(\sqrt{16}=4\in\mathbb{N}\).
   2. Los tres son racionales: \(\dfrac{2}{5}\) es una fracción, \(1{,}25=\dfrac{5}{4}\) y \(0{,}\overline{3}=\dfrac{1}{3}\) (decimal periódico).
   3. Son irracionales: sus decimales son infinitos y no periódicos. (\(\sqrt{10}\approx3{,}1623\) no es una raíz exacta.)
   4. No es racional: sus decimales son infinitos y no tienen período (la secuencia de ceros crece), así que es irracional.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}\) (dividiendo entre 6) y \(\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}\) (dividiendo entre 15). Son equivalentes.
   2. Común denominador 18: \(\dfrac{15}{18}\) y \(\dfrac{14}{18}\). Como \(15>14\), \(\dfrac{5}{6}>\dfrac{7}{9}\).
   3. En decimales: \(0{,}667\); \(0{,}6\) y \(0{,}7\). Orden: \(\dfrac{3}{5}\lt \dfrac{2}{3}\lt \dfrac{7}{10}\). Respuesta: \(\dfrac{3}{5}\lt \dfrac{2}{3}\lt \dfrac{7}{10}\).
   4. Por ejemplo \(\dfrac{2}{5}=0{,}4\), que cumple \(0{,}33\ldots<0{,}4<0{,}5\) (también vale \(\dfrac{5}{12}\)).

3. Solución del ejercicio 3

   1. mcm\((3,4)=12\): \(\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{17}{12}\). Multiplicamos numerador y denominador de cada fracción por el número que convierte su denominador en 12. El resultado ya es irreducible. Respuesta: \(\dfrac{17}{12}\).
   2. mcm\((6,4)=12\): \(\dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}\). Restamos los numeradores y mantenemos el denominador común. Respuesta: \(\dfrac{7}{12}\).
   3. mcm\(=10\): \(\dfrac{6}{10}+\dfrac{7}{10}-\dfrac{5}{10}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\). Al final simplificamos dividiendo numerador y denominador entre 2. Respuesta: \(\dfrac{4}{5}\).
   4. \(2=\dfrac{16}{8}\), así que \(\dfrac{16}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{13}{8}\). Escribimos el número entero como fracción con denominador 8. Respuesta: \(\dfrac{13}{8}\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}\). Multiplicamos numeradores, \(2\cdot9=18\), y denominadores, \(3\cdot4=12\), y simplificamos dividiendo entre 6. Respuesta: \(\dfrac{3}{2}\).
   2. \(\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{9}{10}=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}\). Para dividir multiplicamos por la inversa de \(\dfrac{10}{9}\), que es \(\dfrac{9}{10}\), y simplificamos entre 15. Respuesta: \(\dfrac{3}{4}\).
   3. \(-\dfrac{24}{60}=-\dfrac{2}{5}\). Un número negativo por uno positivo da negativo; después simplificamos entre 12. Respuesta: \(-\dfrac{2}{5}\).
   4. \(\dfrac{2}{5}\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{6}{20}=-\dfrac{3}{10}\). Multiplicamos por la inversa del divisor y aplicamos la regla de los signos. Respuesta: \(-\dfrac{3}{10}\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Paréntesis: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\). Producto: \(\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{5}=1\). Resta: \(\dfrac{3}{4}-1=-\dfrac{1}{4}\). Respetamos la jerarquía: primero el paréntesis, luego el producto y al final la resta. Respuesta: \(-\dfrac{1}{4}\).
   2. Primer paréntesis: \(\dfrac{4}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{6}\). Segundo: \(\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\). Cociente: \(\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\cdot3=\dfrac{1}{2}\). Resolvemos cada paréntesis por separado antes de dividir, y para dividir multiplicamos por la inversa. Respuesta: \(\dfrac{1}{2}\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(0{,}75=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}\). Es un decimal exacto: lo escribimos con denominador 100 y simplificamos entre 25.
   2. \(x=0{,}666\ldots\), \(10x=6{,}666\ldots\); restando, \(9x=6\) y \(x=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\). Restamos para eliminar la parte decimal infinita. Comprobación: \(2:3=0{,}666\ldots\).
   3. \(x=1{,}222\ldots\), \(10x=12{,}222\ldots\); restando, \(9x=11\) y \(x=\dfrac{11}{9}\). Comprobación: \(11:9=1{,}222\ldots\).
   4. \(x=2{,}1666\ldots\); \(100x=216{,}666\ldots\) y \(10x=21{,}666\ldots\). Restando, \(90x=195\) y \(x=\dfrac{195}{90}=\dfrac{13}{6}\). Comprobación: \(13:6=2{,}1666\ldots\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(\sqrt{49}=7\); \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\); \(\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}\). Buscamos un número que, al cuadrado, dé el radicando: \(7^2=49\), \(0{,}5^2=0{,}25\) y \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\).
   2. \(49<50<64\), luego \(7\lt \sqrt{50}<8\). \(16<20<25\), luego \(4\lt \sqrt{20}<5\). Buscamos los cuadrados perfectos más cercanos por debajo y por encima del radicando.
   3. \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\); \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\); \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\). Descomponemos el radicando en un cuadrado perfecto por otro número y sacamos la raíz del cuadrado.
   4. \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx5\cdot1{,}4142=7{,}07\). Comprobación: \(7{,}07^2\approx49{,}98\), muy cerca de 50.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Redondeo: \(3{,}14\). Error absoluto \(\approx|3{,}14159-3{,}14|=0{,}00159\). Redondeamos a las centésimas porque la cifra siguiente, 1, es menor que 5.
   2. Truncamiento: \(1{,}414\). Redondeo: \(1{,}414\) (la siguiente cifra es 2, menor que 5). Truncar es cortar sin mirar las cifras siguientes; aquí coincide con redondear.
   3. Errores: \(\left|\dfrac{1}{3}-0{,}33\right|\approx0{,}0033\) y \(\left|\dfrac{1}{3}-0{,}333\right|\approx0{,}00033\). Es mejor \(0{,}333\) (menor error). Cuantas más cifras tomamos de un decimal periódico, menor es el error.
   4. \(\dfrac{0{,}00159}{3{,}14159}\approx0{,}0005=0{,}05\ \%\). Respuesta: un error relativo del 0,05 %, muy pequeño.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(45\,000\,000=4{,}5\cdot10^7\) y \(0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}\). Movemos la coma hasta dejar una sola cifra distinta de cero a su izquierda; si la movemos a la izquierda el exponente es positivo y si la movemos a la derecha es negativo.
   2. \(6{,}02\cdot10^3=6\,020\) y \(5\cdot10^{-4}=0{,}0005\). Un exponente positivo desplaza la coma a la derecha y uno negativo a la izquierda.
   3. \(3\cdot2=6\) y \(10^{5+3}=10^8\): \(6\cdot10^8\). Multiplicamos las mantisas y sumamos los exponentes de las potencias de 10.
   4. \(\dfrac{8}{2}=4\) y \(10^{6-2}=10^4\): \(4\cdot10^4\). Dividimos las mantisas y restamos los exponentes. Respuesta: \(4\cdot10^4=40\,000\).

10. Solución del ejercicio 10

    1. Factor \(=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\). Pasamos de 6 a 10 personas, así que multiplicamos todas las cantidades por \(\dfrac{10}{6}\), que se simplifica.
    2. Harina: \(\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}=1{,}25\) kg. Multiplicamos la fracción por el factor y simplificamos. Respuesta: 1,25 kg de harina.
    3. Leche: \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{9}\approx1{,}11\) L. Respuesta: algo más de un litro de leche, \(\dfrac{10}{9}\) L.
    4. Azúcar: \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{6}\) kg, es decir, unos 833 g. Para pasar a gramos multiplicamos por 1 000: \(\dfrac{5\,000}{6}\approx833\). Respuesta: unos 833 g de azúcar.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\). Resto: \(1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\).
    2. Sueño: \(24\cdot\dfrac{1}{3}=8\) h. Instituto: \(24\cdot\dfrac{1}{4}=6\) h. Ocio: \(24\cdot\dfrac{1}{6}=4\) h. Otras cosas: \(24\cdot\dfrac{1}{4}=6\) h. Cada fracción de 24 se calcula dividiendo entre el denominador.
    3. \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}\): la mitad del día.
    4. \(8+6+4+6=24\) horas. Respuesta: el reparto es correcto.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Primero: \(\dfrac{1}{6}\) por hora. Segundo: \(\dfrac{1}{4}\) por hora. Cada grifo llena la piscina entera en su tiempo, así que en una hora llena la fracción inversa.
    2. \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{5}{12}\) de la piscina por hora. Sumamos las dos fracciones reduciendo a común denominador.
    3. Tiempo \(=1:\dfrac{5}{12}=\dfrac{12}{5}\) horas \(=2{,}4\) h. El tiempo total es la unidad dividida entre lo que llenan en una hora.
    4. \(2{,}4\) h \(=2\) h y \(0{,}4\cdot60=24\) min: 2 horas y 24 minutos. Respuesta: tardan 2 horas y 24 minutos.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(150\,000\,000\) km y \(300\,000\) km/s.
    2. \(t=\dfrac{1{,}5\cdot10^8}{3\cdot10^5}=0{,}5\cdot10^3=5\cdot10^2=500\) s. Dividimos las mantisas y restamos los exponentes.
    3. \(500\) s \(=8\) min y 20 s.
    4. \(t=\dfrac{1{,}5\cdot10^8}{30}=5\cdot10^6\) s. Un día tiene \(86\,400\) s: \(\dfrac{5\cdot10^6}{86\,400}\approx57{,}9\) días. Respuesta: casi dos meses.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(48\,000\,000\) habitantes y \(506\,000\) km\(^2\). Desplazamos la coma tantos lugares como indica el exponente.
    2. \(\dfrac{4{,}8\cdot10^7}{5{,}06\cdot10^5}\approx0{,}949\cdot10^2\approx94{,}9\) hab/km\(^2\). La densidad es el número de habitantes dividido entre la superficie.
    3. \(\dfrac{2{,}4\cdot10^5}{8\cdot10^2}=0{,}3\cdot10^3=300\) hab/km\(^2\). Dividimos mantisas y restamos exponentes.
    4. \(\dfrac{300}{94{,}9}\approx3{,}2\) veces mayor. Respuesta: la isla está unas 3,2 veces más poblada por km\(^2\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{6}-\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}\). Restamos a la unidad las fracciones que reciben los otros dos.
    2. Mayor: \(120\,000\cdot\dfrac{1}{2}=60\,000\) €. Mediano: \(\dfrac{120\,000}{3}=40\,000\) €. Pequeño: \(\dfrac{120\,000}{6}=20\,000\) €.
    3. \(60\,000-20\,000=40\,000\) €, que es \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\) del total.
    4. \(60\,000+40\,000+20\,000=120\,000\) €. Respuesta: se reparten los 120 000 €.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Lunes: \(1\,200\cdot\dfrac{1}{5}=240\) L. Martes: \(1\,200\cdot\dfrac{1}{4}=300\) L. La fracción del lunes y la del martes se aplican al total de 1 200 litros.
    2. \(1\,200-240-300=660\) L.
    3. Miércoles: \(660\cdot\dfrac{1}{3}=220\) L. La fracción del miércoles se aplica a lo que quedaba, no al total.
    4. Quedan \(660-220=440\) L, que son \(\dfrac{440}{1\,200}=\dfrac{11}{30}\) del depósito. Respuesta: quedan 440 litros.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Lado \(=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}07\) m (irracional). El lado de un cuadrado es la raíz cuadrada de su área.
    2. Perímetro \(=4\cdot5\sqrt{2}=20\sqrt{2}\approx28{,}28\) m.
    3. Diagonal \(=\sqrt{50+50}=\sqrt{100}=10\) m (un número racional, aunque el lado no lo sea).
    4. \(28{,}28\cdot12\approx339{,}36\) €. Respuesta: vallar el solar cuesta unos 339 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(160\cdot\dfrac{3}{8}=60\) km. Calculamos la fracción de 160 dividiendo entre 8 y multiplicando por 3.
    2. \(160\cdot\dfrac{1}{4}=40\) km.
    3. \(1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{8}-\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{8}\). Son \(60\) km. Restamos a la unidad las fracciones ya recorridas.
    4. \(\dfrac{60}{80}=\dfrac{3}{4}\) de hora, es decir, 45 minutos. El tiempo es la distancia entre la velocidad. Respuesta: 45 minutos.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Como 1 m \(=10^3\) mm: célula \(=2\cdot10^{-2}\) mm; glóbulo rojo \(=7\cdot10^{-3}\) mm.
    2. \(\dfrac{1}{2\cdot10^{-2}}=0{,}5\cdot10^2=50\) células. Dividimos 1 mm entre el tamaño de una célula.
    3. \(\dfrac{1}{7\cdot10^{-3}}=\dfrac{10^3}{7}\approx1{,}43\cdot10^2\approx143\) glóbulos rojos.
    4. \(\dfrac{2\cdot10^{-5}}{7\cdot10^{-6}}=\dfrac{20}{7}\approx2{,}86\) veces. Respuesta: la célula es casi tres veces mayor.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(x=0{,}999\ldots\) y \(10x=9{,}999\ldots\). Restando: \(9x=9\), luego \(x=1\). Por eso un número no puede tener dos expresiones decimales distintas salvo en este caso.
    2. \(\sqrt{5}\approx2{,}236\): está entre 2 y 3 (\(4<5<9\)) y no es una raíz exacta de ningún racional, así que es irracional. Si fuera racional, su cuadrado sería el cuadrado de una fracción, y 5 no lo es.
    3. Suma por diferencia: \((\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2\). El resultado es racional aunque los factores no lo sean.
    4. \(\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}\). Sí es racional. La raíz de un cociente es el cociente de las raíces.