Proporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Más kilos, más precio: calculamos el precio de un kilo y multiplicamos. Constante: \(\dfrac{8{,}50}{5}=1{,}70\) €/kg. \(12\cdot1{,}70=20{,}40\) €.
   2. Más kilómetros, más litros: planteamos una proporción. \(\dfrac{7}{100}=\dfrac{x}{450}\), \(x=7\cdot4{,}5=31{,}5\) litros.
   3. Calculamos los kilómetros que representa cada centímetro. Cada cm son \(15:3=5\) km. \(8\cdot5=40\) km.
   4. Calculamos el caudal por minuto y multiplicamos. \(\dfrac{18}{4}=4{,}5\) L/min. \(10\cdot4{,}5=45\) litros.

   En la proporcionalidad directa el cociente entre las magnitudes es constante.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\dfrac{14}{2}=\dfrac{21}{3}=7\): la constante de cociente es 7. Directamente proporcionales.
   2. \(40\cdot6=60\cdot4=80\cdot3=120\cdot2=240\): el producto es constante. Inversamente proporcionales.
   3. Los cocientes \(14;\ 12{,}5;\ 11{,}07;\ 10{,}3\) y los productos no son constantes. Ninguna de las dos.
   4. \(2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6=6\cdot4=24\). Inversamente proporcionales (producto constante 24).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Menos obreros tardan más: el producto obreros por días es constante. Producto constante: \(6\cdot10=60\). \(60:4=15\) días.
   2. Más velocidad, menos tiempo: la distancia es el producto constante. \(90\cdot4=360\) km. \(360:120=3\) horas.
   3. Más gallinas, menos días: calculamos las raciones gallina-día. \(20\cdot15=300\) gallinas-día. \(300:30=10\) días.
   4. Con el doble de fuentes se tarda la mitad. Una fuente: 3 h; dos fuentes: \(3:2=1{,}5\) h (1 hora y 30 minutos).

   En la proporcionalidad inversa el producto de las magnitudes es constante.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Factor: \(\dfrac{7}{4}=1{,}75\). Arroz: \(525\) g; caldo: \(1{,}05\) L; verduras: \(210\) g.
   2. Factor: \(\dfrac{10}{4}=2{,}5\). Arroz: \(750\) g; caldo: \(1{,}5\) L; verduras: \(300\) g.
   3. \(0{,}6\) L para 4 personas; 1 L: \(\dfrac{4}{0{,}6}\approx6{,}67\) personas, es decir, para 6 personas completas.
   4. \(0{,}75\cdot2{,}10=1{,}575\approx1{,}58\) €.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Más máquinas y más horas dan más piezas: las dos relaciones son directas. Piezas: directa con máquinas y con horas. \(1\,200\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{10}{8}=900\) piezas.
   2. Más piscinas exigen más horas (directa); más grifos, menos horas (inversa). Horas: directa con las piscinas (\(\times\dfrac{8}{6}\)) e inversa con los grifos (\(\times\dfrac{4}{6}\)). \(9\cdot\dfrac{8}{6}\cdot\dfrac{4}{6}=8\) horas.
   3. Más vacas y más días suponen más pienso: Directa con vacas y días: \(120\cdot\dfrac{9}{6}\cdot\dfrac{8}{5}=288\) kg.

   En cada caso multiplicamos el dato inicial por un factor por cada magnitud que cambia.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Expresamos 15 % como 0,15 y multiplicamos: \(0{,}15\cdot240=36\).
   2. 8 % es 0,08: \(0{,}08\cdot125=10\).
   3. Un porcentaje mayor que 100 da más que la cantidad inicial: \(1{,}2\cdot50=60\).
   4. 3,5 % es 0,035: \(0{,}035\cdot2\,000=70\).

   Multiplicar por \(\frac{p}{100}\) es lo mismo que multiplicar por el decimal correspondiente.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Dividimos la parte entre el total y multiplicamos por 100: \(\dfrac{18}{72}=0{,}25\), es decir, 25 %.
   2. Repetimos el cálculo con 45 de 60: \(\dfrac{45}{60}=0{,}75\), es decir, 75 %.
   3. 7 entre 40 da un decimal con tres cifras: \(\dfrac{7}{40}=0{,}175\), es decir, 17,5 %.
   4. La parte son los 12 ciclistas y el total los 30 alumnos: \(\dfrac{12}{30}=0{,}4\), es decir, 40 %.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Una subida del 15 % da un índice de 1,15: Índice \(1{,}15\): \(80\cdot1{,}15=92\) €.
   2. Una bajada del 30 % deja el 70 %: Índice \(0{,}70\): \(150\cdot0{,}70=105\) €.
   3. Una subida del 2,5 % da un índice de 1,025: Índice \(1{,}025\): \(12\,000\cdot1{,}025=12\,300\) habitantes.
   4. Restamos o sumamos el porcentaje expresado en decimal a 1: Bajada del 12 %: \(1-0{,}12=0{,}88\). Subida del 7 %: \(1{,}07\).

   El índice de variación permite calcular el resultado con una sola multiplicación.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Una rebaja del 25 % deja el 75 % del precio: \(120\cdot0{,}75=90\) €.
   2. La segunda rebaja se aplica sobre 90 €: \(90\cdot0{,}90=81\) €.
   3. Calculamos una rebaja única del 35 % y comparamos: Con 35 % de rebaja única: \(120\cdot0{,}65=78\) €. No es lo mismo (81 € ≠ 78 €).
   4. Dividimos el precio final entre el inicial: \(\dfrac{81}{120}=0{,}675\); el descuento total es \(1-0{,}675=0{,}325\), es decir, el 32,5 %.

   Los descuentos sucesivos no se suman: se multiplican sus índices.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Índice \(1{,}12\): \(56:1{,}12=50\) €.
    2. Índice \(0{,}80\): \(64:0{,}80=80\) €.
    3. Índice \(1{,}05\): \(21\,000:1{,}05=20\,000\) habitantes.
    4. No: el 12 % hay que calcularlo sobre el valor inicial, no sobre 56. Quitar el 12 % de 56 da \(49{,}28\) €, no 50 €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Multiplicamos por el índice 1,21: \(40\cdot1{,}21=48{,}40\) €.
    2. Para quitar el IVA dividimos entre 1,21: \(72{,}60:1{,}21=60\) €.
    3. El IVA es la diferencia entre los dos precios: \(72{,}60-60=12{,}60\) €.
    4. Con IVA del 4 % el índice es 1,04: \(20{,}80:1{,}04=20\) €.

    Comprobación: \(60\cdot1{,}21=72{,}60\) €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Un año al 3 % equivale a multiplicar por 1,03: \(2\,000\cdot1{,}03=2\,060\) €.
    2. Con interés compuesto se multiplica por 1,03 cada año: \(2\,000\cdot1{,}03^3=2\,000\cdot1{,}092727=2\,185{,}45\) €.
    3. Con interés simple se cobran siempre 60 € al año: Interés anual: \(60\) €; en 3 años: \(180\) €. Capital: \(2\,180\) €.
    4. Restamos los dos capitales finales: \(2\,185{,}45-2\,180=5{,}45\) € más con interés compuesto.

    Con el interés compuesto se cobran intereses de los intereses.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Multiplicamos los cm del mapa por 50 000 y pasamos a km: \(6\cdot50\,000=300\,000\) cm \(=3\) km.
    2. Pasamos los km a cm y dividimos entre 50 000: \(4{,}5\) km \(=450\,000\) cm. \(450\,000:50\,000=9\) cm.
    3. Multiplicamos por 200 y pasamos a metros: \(6\cdot200=1\,200\) cm \(=12\) m.
    4. Pasamos las medidas a cm y dividimos entre 50: \(400:50=8\) cm y \(300:50=6\) cm: 8 cm por 6 cm.

    En una escala \(1:n\), las medidas reales son \(n\) veces las del dibujo.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Suma: \(2+3+5=10\). Valor por parte: \(1\,200:10=120\) €. Reciben \(240\), \(360\) y \(600\) €.
    2. Suma: \(30\). Por parte: \(9\,000:30=300\) €. Reciben \(3\,600\) y \(5\,400\) €.
    3. Inversa: se reparte en proporción a \(\dfrac{1}{2}\) y \(\dfrac{1}{3}\), es decir, a 3 y 2. Suma: 5; por parte: \(150:5=30\). Reciben \(90\) y \(60\) €.
    4. \(240+360+600=1\,200\); \(3\,600+5\,400=9\,000\); \(90+60=150\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(480:24=20\) € y \(480:30=16\) €.
    2. Inversa: al aumentar los alumnos, disminuye el precio por alumno, y el producto es constante: \(24\cdot20=30\cdot16=480\).
    3. \(480:15=32\) alumnos.
    4. El instituto paga \(0{,}25\cdot480=120\) €. Quedan \(360\) € y \(360:30=12\) € por alumno.
    5. \(12+4{,}50=16{,}50\) € por alumno.

16. Solución del ejercicio 16

    1. El tren cubre 360 km en 4 horas: \(360:4=90\) km/h.
    2. Dividimos la distancia entre cada velocidad: A 120 km/h: \(360:120=3\) h. A 72 km/h: \(360:72=5\) h.
    3. Dividimos la distancia entre el tiempo: \(360:2{,}5=144\) km/h.
    4. Comprobamos que el producto es constante: Inversa: el producto velocidad por tiempo es constante e igual a la distancia (360 km).

17. Solución del ejercicio 17

    1. Cada año multiplicamos por 1,02: 1 año: \(50\,000\cdot1{,}02=51\,000\). 2 años: \(51\,000\cdot1{,}02=52\,020\).
    2. Multiplicamos tres veces por 1,02: 3 años: \(50\,000\cdot1{,}02^3=53\,060{,}4\approx53\,060\) habitantes.
    3. Dividimos la población final entre la inicial: \(\dfrac{53\,060{,}4}{50\,000}=1{,}061208\): el aumento total es del \(6{,}12\,\%\) (y no del 6 % porque el 2 % se aplica sobre una cantidad cada vez mayor).
    4. Una bajada del 1,5 % da un índice de 0,985: \(60\,000\cdot0{,}985^2=58\,213{,}5\approx58\,214\) habitantes.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Un 15 % de descuento deja el 85 %: \(600\cdot0{,}85=510\) €.
    2. El cupón se aplica sobre 510 €: \(510\cdot0{,}90=459\) €.
    3. Comparamos 459 € con los 600 € de partida: \(\dfrac{459}{600}=0{,}765\), es decir, descuento del \(23{,}5\,\%\).
    4. Quitamos el IVA dividiendo entre 1,21 y restamos: Precio sin IVA: \(459:1{,}21\approx379{,}34\) €. IVA: \(459-379{,}34=79{,}66\) €.

    Respuesta: el televisor cuesta finalmente 459 €.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Suma: \(3+2+1=6\) partes; cada parte son \(18:6=3\) L. Blanco: 9 L; azul: 6 L; amarillo: 3 L.
    2. 4 L de azul son 2 partes de 2 L: la mezcla total tendrá \(6\) partes \(=12\) L.
    3. \(9\cdot6+6\cdot9+3\cdot12=54+54+36=144\) €.
    4. \(\dfrac{144}{18}=8\) € por litro.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Índice total: \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\). No vuelve: baja un 4 %.
    2. Índice: \(1{,}25\); para volver hay que multiplicar por \(\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8\): bajada del 20 %.
    3. \(0{,}5\cdot1{,}5=0{,}75\): queda en el 75 % del precio inicial, es decir, baja un 25 %.
    4. \(77:1{,}1=70\). El 10 % de 77 es \(7{,}7\), que no es el aumento original (que fue 7).