Proporcionalidad y porcentajes – matemáticas 1º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. La razón es el cociente 12/18. Dividimos los dos términos entre su mcd, 6: 2/3; hay 2 chicos por cada 3 chicas.
   2. Multiplicamos en cruz: extremos 3 · 20 = 60 y medios 5 · 12 = 60. Los productos son iguales, así que sí forman proporción.
   3. En una proporción el producto de extremos es igual al de medios: 9 · x = 4 · 45 = 180, luego x = 180 : 9 = 20.
   4. 5 · x = 15 · 8 = 120, luego x = 120 : 5 = 24. Comprobación: 15/24 = 5/8.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Si compro el doble de kilos, pago el doble: directa.
   2. Con el doble de obreros se tarda la mitad de días: inversa.
   3. Una persona de 20 años no mide el doble que a los 10: ninguna de las dos.
   4. Si la velocidad se duplica, el tiempo se reduce a la mitad: inversa.
   5. Cada entrada cuesta lo mismo; el doble de entradas cuesta el doble: directa.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Más bolígrafos, más precio: directa. Un bolígrafo cuesta 4 : 5 = 0,80 €; 12 cuestan 12 · 0,80 = 9,60 €.
   2. Más km, más litros. x = 450 · 18 : 300 = 27 litros (450 km son 1,5 veces 300 km).
   3. Más horas, más piezas. En una hora fabrica 240 : 8 = 30 piezas; en 11 horas, 11 · 30 = 330 piezas.
   4. Más panes, más harina. x = 40 · 6 : 15 = 240 : 15 = 16 kg.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Más obreros, menos días: inversa. El trabajo equivale a 4 · 15 = 60 días de un obrero; con 6, 60 : 6 = 10 días.
   2. Tres grifos llenan tres veces más deprisa: 12 : 3 = 4 horas.
   3. La distancia es 20 · 3 = 60 km; a 30 km/h se tarda 60 : 30 = 2 horas.
   4. Hay comida para 20 · 12 = 240 raciones diarias de perro; con 30 perros, 240 : 30 = 8 días.

5. Solución del ejercicio 5

   1. El 20 % es 20/100 = 0,20: 350 · 0,20 = 70.
   2. 80 · 0,15 = 12. (El 10 % es 8 y el 5 % es 4; 8 + 4 = 12.)
   3. Dividimos la parte entre el total: 18 : 72 = 0,25, que es el 25 %.
   4. Si el 12 % es 30, el 1 % es 30 : 12 = 2,5 y el 100 % es 250. El número es 250; comprobación: 250 · 0,12 = 30.

6. Solución del ejercicio 6

   1. 80 · 0,75 = 60 €.
   2. 250 · 1,12 = 280 €.
   3. 400 · 0,85 · 0,90 = 306 €.
   4. 220 · 1,05 · 0,95 = 219,45 €: no se recupera el precio inicial.

7. Solución del ejercicio 7

   1. 15 : 6 = 2,5.
   2. Jamón 750 g; leche 1,875 l; harina 225 g; huevos 5.
   3. 0,75 · 18 = 13,50 €.
   4. 300 g para 6: 500 g para 500·6 : 300 = 10 personas.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Zapatillas 70 · 0,80 = 56 €; chaqueta 90 · 0,70 = 63 €; mochila 40 · 0,75 = 30 €.
   2. Original: 200 €; final: 149 €; ahorro 51 €.
   3. 51 : 200 = 25,5 %.
   4. 150 − 149 = 1 €.

9. Solución del ejercicio 9

   1. 6 · 250 000 = 1 500 000 cm = 15 km.
   2. 40 km = 4 000 000 cm; 4 000 000 : 250 000 = 16 cm.
   3. Que 1 cm del mapa equivale a 250 000 cm = 2,5 km reales.
   4. 17,5 · 2,5 = 43,75 km; 43,75 : 20 = 2,19 h ≈ 2 h 11 min.

10. Solución del ejercicio 10

    1. 8·18 : 12 = 12 días.
    2. 8·18 : 6 = 24 días.
    3. 8 · 18 · 90 = 12 960 €; 12 · 12 · 90 = 12 960 €.
    4. No: el trabajo total (144 obrero-días) es constante.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Chicas: 45 % de 400 = 400 · 0,45 = 180; chicos: 400 − 180 = 220.
    2. 30 % de 400 = 400 · 0,30 = 120 alumnos van en autobús.
    3. El 15 % se calcula sobre los chicos, no sobre el total: 220 · 0,15 = 33 chicos.
    4. Respecto al total de alumnos: 33 : 400 = 0,0825 = 8,25 %.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Inversamente proporcionales (distancia constante).
    2. 1,55·100 : 80 = 1,94 h ≈ 1 h 56 min.
    3. 1,55·100 : 120 = 1,29 h ≈ 1 h 17 min.
    4. 155 : 1,25 = 124 km/h.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Aumentar un 21 % es multiplicar por 1,21: 480 · 1,21 = 580,80 €.
    2. El IVA es el 21 % del precio: 35 · 0,21 = 7,35 €.
    3. Sumamos precio e IVA: 35 + 7,35 = 42,35 €, que coincide con el dato: sí es correcto. También: 35 · 1,21 = 42,35.
    4. El precio con IVA es el sin IVA multiplicado por 1,21; para volver atrás dividimos: 605 : 1,21 = 500 €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. La razón 3 : 2 significa 3 partes de blanca y 2 de azul: 5 partes en total.
    2. Cada parte vale 20 : 5 = 4 litros. Blanca: 3 · 4 = 12 litros; azul: 2 · 4 = 8 litros.
    3. Blanca 12 · 4 = 48 €; azul 8 · 7 = 56 €; total 104 €.
    4. Dividimos el coste entre los litros: 104 : 20 = 5,20 € el litro de mezcla.

15. Solución del ejercicio 15

    1. 4 + 3 + 5 = 12 personas.
    2. 840 : 12 = 70 € por persona.
    3. Ruiz 280 €; Gil 210 €; Soto 350 €.
    4. Con 14 personas: 840 : 14 = 60 € por persona.
    5. 350 : 840 = 41,7 %.

16. Solución del ejercicio 16

    1. 36 · 1,45 = 52,20 €.
    2. 52,20 · 0,80 = 41,76 €.
    3. 41,76 − 36 = 5,76 €.
    4. 80 · 5,76 = 460,80 €.
    5. 5,76 : 36 = 16 %.

17. Solución del ejercicio 17

    1. 2 400 · 1,05 = 2 520.
    2. 2 520 · 1,05 = 2 646.
    3. 1,05.
    4. 2 646 · 1,05 = 2 778,3 ≈ 2 778.
    5. No: 2 400 · 1,05³ = 2 778,3, es decir, un 15,76 % de aumento, porque cada año el 5 % se aplica sobre una cantidad mayor.

18. Solución del ejercicio 18

    1. 100 − 30 − 25 − 20 − 15 = 10 %.
    2. Frutas y verduras 180 €; carne y pescado 150 €; lácteos 120 €; limpieza 90 €; otros 60 €.
    3. Carne y pescado: 150 · 1,12 = 168 €. Total: 618 €.
    4. 18 : 600 = 3 %.
    5. Habría que reducir «otros» de 60 € a 42 €, es decir, un 30 %.

19. Solución del ejercicio 19

    1. 200 · 2 : 5 = 80 litros.
    2. 80 : 0,25 = 320 botellas.
    3. Naranjas 200 · 0,60 = 120 €; otros gastos 320 · 0,10 = 32 €; total 152 €.
    4. Ingresos 320 · 1,20 = 384 €; beneficio 384 − 152 = 232 €.
    5. 232 : 384 = 60,4 %.

20. Solución del ejercicio 20

    1. 60 €.
    2. 30 + 15 + 30 = 75 €.
    3. La 3 × 2: 60 € frente a 75 €.
    4. 3×2: ahorras 30 de 90 = 33,3 %; segunda al 50 %: ahorras 15 de 90 = 16,7 %.
    5. Para 2 camisetas: 3 × 2 no se aplica (60 €), la segunda al 50 % cuesta 45 €.