Expresiones algebraicas – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

← Volver a los ejercicios

1. Solución del ejercicio 1

   1. Escribimos primero cada parte de la frase y luego la juntamos. Triple: \(3x\); más cinco: \(3x+5\).
   2. Las dos letras se suman y después se toma la mitad, por eso hace falta paréntesis o fracción. Suma: \(a+b\); la mitad: \(\dfrac{a+b}{2}\).
   3. El área de un rectángulo es largo por ancho, y el largo es el ancho más 4. Largo: \(x+4\). Área = largo por ancho: \(x\cdot(x+4)=x^2+4x\) m².
   4. Dentro de 5 años las dos edades aumentan en 5. Marta dentro de 5 años: \(x+5\). Madre: \(2x+3\) (hoy) y \(2x+3+5=2x+8\) (dentro de 5 años).

   Comprueba cada expresión con un número: si \(x=2\), el triple más cinco es 11.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Sustituimos \(x\) por \(-2\) entre paréntesis; el cuadrado de un negativo es positivo: \(3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=3\cdot4+4+1=12+4+1=17\).
   2. Con \(x=0\) los dos primeros términos se anulan: \(3\cdot0^2-2\cdot0+1=1\).
   3. Calculamos primero \(\left(\frac12\right)^2=\frac14\): \(3\cdot\dfrac{1}{4}-2\cdot\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{4}-1+1=\dfrac{3}{4}\).
   4. Con \(x=3\), \(3^2=9\): \(3\cdot9-6+1=27-6+1=22\).

   El valor numérico de un polinomio cambia según el valor de la variable; en \(x=0\) coincide con el término independiente.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Coeficiente \(-5\), parte literal \(x^3y\), grado \(3+1=4\).
   2. Coeficiente \(\dfrac{2}{3}\), parte literal \(xy^2\), grado \(1+2=3\).
   3. Coeficiente \(7\), parte literal \(x^3y\), grado 4.
   4. Coeficiente \(-1\), parte literal \(xy^2\), grado 3.
   5. Es un monomio de grado 0 (término independiente). Semejantes entre sí: \(-5x^3y\) y \(7x^3y\) (misma parte literal); \(\dfrac{2}{3}xy^2\) y \(-xy^2\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Agrupamos por separado los términos en \(x^2\) y en \(x\), sumando sus coeficientes. \(x^2\): \(5+2=7\); \(x\): \(-3+1=-2\). Resultado: \(7x^2-2x\).
   2. Los tres monomios tienen la misma parte literal \(ab\). \(4-7+2=-1\). Resultado: \(-ab\).
   3. \(x^2y\) y \(xy^2\) no son semejantes: se agrupan por separado. \(x^2y\): \(3+1=4\); \(xy^2\): \(-5+2=-3\). Resultado: \(4x^2y-3xy^2\).
   4. Reducimos los coeficientes fraccionarios a denominador 4. \(\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{1}{4}\). Resultado: \(\dfrac{1}{4}x\).

   Solo se pueden sumar monomios con la misma parte literal.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes de la misma base. \(3\cdot(-4)=-12\) y \(x^{2+3}=x^5\). Resultado: \(-12x^5\).
   2. Cada letra se trata por separado. \(2\cdot5=10\), \(a^{1+3}=a^4\) y \(b^{2+1}=b^3\). Resultado: \(10a^4b^3\).
   3. Al dividir, dividimos coeficientes y restamos exponentes. \(12:(-3)=-4\) y \(x^{4-2}=x^2\). Resultado: \(-4x^2\).
   4. La fracción es una división de monomios. \(15:5=3\), \(a^{5-2}=a^3\) y \(b^{3-1}=b^2\). Resultado: \(3a^3b^2\).

   Comprobación del primero con \(x=1\): \(3\cdot(-4)=-12\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Sumamos los términos semejantes uno a uno. \(2x^2+x^2=3x^2\); \(-3x+4x=x\); \(5-1=4\). Resultado: \(3x^2+x+4\).
   2. Restar \(Q\) es sumar su opuesto: cambian los tres signos. Cambiamos el signo de \(Q\): \(2x^2-3x+5-x^2-4x+1=x^2-7x+6\).
   3. Primero multiplicamos \(P\) por 2 y después sumamos \(Q\). \(2P=4x^2-6x+10\); sumando \(Q\): \(5x^2-2x+9\).
   4. Calculamos el valor de las dos maneras para comprobar la resta. \(x^2-7x+6\) en \(x=2\): \(4-14+6=-4\). Y \(P(2)=8-6+5=7\), \(Q(2)=4+8-1=11\), luego \(7-11=-4\). Coincide.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Multiplicamos \(3x\) por cada término del paréntesis. \(3x\cdot2x-3x\cdot4=6x^2-12x\).
   2. Cada término del primer factor multiplica a cada término del segundo y reducimos. \(x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\).
   3. Multiplicamos \(2x\) y después \(-1\) por los tres términos y agrupamos semejantes. \(2x\cdot x^2+2x\cdot3x+2x\cdot(-2)-x^2-3x+2=2x^3+6x^2-4x-x^2-3x+2=2x^3+5x^2-7x+2\).
   4. Desarrollamos los dos productos, con cuidado con el \(-2\), y reducimos. \(x^2+3x-2x+2=x^2+x+2\).

   Comprobación del segundo con \(x=1\): \(3\cdot(-4)=-12\) y \(1-3-10=-12\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Cuadrado de una suma: cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. \(x^2+2\cdot x\cdot5+25=x^2+10x+25\).
   2. Cuadrado de una diferencia: el doble producto lleva signo menos. \((2x)^2-2\cdot2x\cdot3+9=4x^2-12x+9\).
   3. Suma por diferencia: diferencia de los cuadrados, sin término en \(x\). Suma por diferencia: \(x^2-16\).
   4. El primer término es \(3a\), cuyo cuadrado es \(9a^2\). \(9a^2+12ab+4b^2\) (el doble producto es \(2\cdot3a\cdot2b=12ab\)).
   5. Es una suma por diferencia con \(a=5x\) y \(b=1\). \((5x)^2-1=25x^2-1\).

   Recuerda que \((a+b)^2\neq a^2+b^2\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. Tres términos con dos cuadrados perfectos: buscamos un cuadrado de una diferencia. \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), porque \(2\cdot x\cdot3=6x\) y \(3^2=9\).
   2. Dos cuadrados restados: diferencia de cuadrados. \(x^2-49=(x+7)(x-7)\) (diferencia de cuadrados).
   3. \(4x^2=(2x)^2\) y \(25=5^2\); comprobamos el doble producto. \(4x^2+20x+25=(2x+5)^2\), porque \(2\cdot2x\cdot5=20x\).
   4. \(9y^2=(3y)^2\) y \(16=4^2\). \(9y^2-16=(3y+4)(3y-4)\).

   Para comprobar una factorización basta con desarrollar el producto obtenido.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Buscamos el mcd de los coeficientes y la menor potencia de \(x\). mcd\((6,9)=3\) y la menor potencia de \(x\) es \(x\): \(3x(2x+3)\). Comprobación: \(6x^2+9x\).
    2. El mcd de 4 y 8 es 4 y la menor potencia de \(a\) es \(a^2\). Factor común \(4a^2\): \(4a^2(a-2)\).
    3. Los tres términos contienen 5, \(x\) e \(y\). Factor común \(5xy\): \(5xy(2x^2-3xy+1)\).
    4. Sacamos factor común 6. \(12x+18=6(2x+3)\). Como \(2x+3\) es entero, el resultado es múltiplo de 6.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Parte fija más 25 € por cada mes: \(C(x)=30+25x\).
    2. Sustituimos los tres valores de \(x\): \(x=1\): \(30+25=55\) €. \(x=6\): \(30+150=180\) €. \(x=12\): \(30+300=330\) €.
    3. Igualamos la expresión a 255 y despejamos: \(30+25x=255\), luego \(25x=225\) y \(x=9\) meses.
    4. Escribimos el segundo coste e igualamos las dos expresiones: Segundo gimnasio: \(D(x)=28x\). Igualamos: \(30+25x=28x\), luego \(30=3x\) y \(x=10\) meses (ambos cuestan 280 €).

    A partir de 10 meses resulta más barato el primer gimnasio.

12. Solución del ejercicio 12

    1. El perímetro suma dos anchos y dos largos; el área es ancho por largo. Perímetro: \(2x+2(x+3)=4x+6\) m. Área: \(x(x+3)=x^2+3x\) m².
    2. Sustituimos \(x=5\) en las dos expresiones: \(x=5\): perímetro \(4\cdot5+6=26\) m; área \(25+15=40\) m².
    3. Multiplicamos el perímetro por el precio del metro de valla: \(26\cdot12=312\) €.
    4. Multiplicamos el área por el precio del metro cuadrado: \(40\cdot3{,}5=140\) €.

    El jardín mide 5 m por 8 m y el coste total es \(312+140=452\) €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Cada grupo paga sus pizzas por \(p\) y sus bebidas por \(b\). Primer grupo: \(4p+6b\). Segundo grupo: \(3p+5b\).
    2. Sumamos los dos polinomios agrupando términos semejantes. \((4p+6b)+(3p+5b)=7p+11b\).
    3. Sustituimos los precios en cada expresión: Primero: \(4\cdot9+6\cdot2{,}5=36+15=51\) €. Segundo: \(3\cdot9+5\cdot2{,}5=27+12{,}5=39{,}5\) €.
    4. Cada pizza pasa a costar \(p-1\); hay 7 pizzas en total. Con descuento: \(7(p-1)+11b=7p+11b-7\). Con los precios: \(63+27{,}5-7=83{,}5\) €. Sin descuento sería \(51+39{,}5=90{,}5\) €.

    El descuento total es de 7 €, uno por cada pizza.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Parte fija más 1,10 € por kilómetro: \(T(x)=2{,}5+1{,}1x\).
    2. Sustituimos cada distancia en \(T(x)\): \(x=2\): \(4{,}70\) €. \(x=5\): \(8\) €. \(x=10\): \(13{,}50\) €. \(x=15\): \(19\) €.
    3. Igualamos el precio a 24,60 y despejamos \(x\): \(2{,}5+1{,}1x=24{,}6\), luego \(1{,}1x=22{,}1\) y \(x\approx20{,}09\) km. Si se paga por km completo, son unos 20 km (y 24,50 €).
    4. Igualamos las dos tarifas: \(2{,}5+1{,}1x=1{,}6x\), luego \(2{,}5=0{,}5x\) y \(x=5\) km.

    Para trayectos de más de 5 km resulta más barato el taxi.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Parcela: \(2x(x+4)=2x^2+8x\). Camino: \(x\cdot x=x^2\).
    2. Césped: \(2x^2+8x-x^2=x^2+8x\) m².
    3. \(100+80=180\) m².
    4. Camino: \(x^2=100\) m², coste \(100\cdot18=1\,800\) €. Césped: \(180\cdot2=360\) €. Total: \(2\,160\) €.
    5. Césped 180 m² frente a 100 m² de camino: sí es mayor. En general, \(x^2+8x>x^2\) siempre que \(x>0\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. Un lado aumenta 3 m y el otro 2 m; multiplicamos los dos binomios. Dimensiones: \((x+3)\) y \((x+2)\). Área: \((x+3)(x+2)=x^2+5x+6\).
    2. Restamos el área del cuadrado original. Ganancia: \(x^2+5x+6-x^2=5x+6\) m².
    3. Sustituimos \(x=6\) en la expresión de la ganancia: \(x=6\): \(5\cdot6+6=36\) m².
    4. Aplicamos el cuadrado de una suma y comparamos con \(x=6\): Cuadrado: \((x+3)^2=x^2+6x+9\). Con \(x=6\): \(81\) m². El rectángulo tiene \(36+36=72\) m² y el cuadrado ampliado 81 m².

17. Solución del ejercicio 17

    1. A: \(40+5x\). B: \(10+8x\).
    2. A: \(65\), \(90\) y \(115\) €. B: \(50\), \(90\) y \(130\) €.
    3. \(40+5x=10+8x\), luego \(30=3x\) y \(x=10\) invitados (90 € en ambos).
    4. Con 12: A cuesta \(40+60=100\) €; B cuesta \(10+96=106\) €. Le conviene A y se ahorra 6 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. El volumen del ortoedro es largo por ancho por profundidad. Volumen: \(2x\cdot x\cdot2=4x^2\) m³.
    2. El área de la acera es el rectángulo exterior menos la piscina. Total: \((2x+2)(x+2)=2x^2+4x+2x+4=2x^2+6x+4\). Piscina: \(2x\cdot x=2x^2\). Acera: \(6x+4\) m².
    3. Sustituimos \(x=10\): \(x=10\): volumen \(400\) m³; acera \(64\) m².
    4. Multiplicamos el volumen por el precio del metro cúbico: \(400\cdot1{,}2=480\) €.

    Con \(x=10\) la piscina mide 20 m por 10 m.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Sumamos los cuatro números y reducimos la expresión general. Suma: \(5+6+12+13=36\). En general: \(n+(n+1)+(n+7)+(n+8)=4n+16\). Para \(n=5\): \(20+16=36\).
    2. Multiplicamos los extremos de cada diagonal: \(5\cdot13=65\) y \(6\cdot12=72\). Diferencia: \(65-72=-7\).
    3. Desarrollamos los dos productos y los restamos: \(n(n+8)=n^2+8n\) y \((n+1)(n+7)=n^2+8n+7\). Resta: \(n^2+8n-n^2-8n-7=-7\). Es independiente de \(n\).
    4. Planteamos \(4n+16=86\): \(4n+16=86\) da \(4n=70\) y \(n=17{,}5\), que no es entero. No es posible.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Seguimos las instrucciones paso a paso: Con 4: \(4\cdot2=8\); \(8+6=14\); \(14:2=7\); \(7-4=3\). Con \(-7\): \(-14\); \(-8\); \(-4\); \(-4-(-7)=3\).
    2. Llamamos \(x\) al número pensado y traducimos cada instrucción: \(\dfrac{2x+6}{2}-x=x+3-x=3\). El resultado no depende de \(x\).
    3. Usamos la diferencia de cuadrados y el cuadrado de una diferencia: \(51^2-49^2=(51+49)(51-49)=100\cdot2=200\). \(99^2=(100-1)^2=10\,000-200+1=9\,801\).
    4. \(x^4-1\) es diferencia de cuadrados, y \(x^2-1\) también: \(x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)\).