Fracciones, decimales y notación científica – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Buscamos el mayor divisor común de 36 y 48. \(\text{mcd}(36,48)=12\), luego \(\dfrac{36:12}{48:12}=\dfrac{3}{4}\).
   2. Dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados son iguales. \(7\cdot45=315\) y \(9\cdot35=315\). Los productos coinciden, luego son equivalentes.
   3. Averiguamos por qué número se ha multiplicado cada término. \(40:8=5\) y \(5\cdot5=25\), así que \(\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{40}\). Además \(30:5=6\) y \(8\cdot6=48\), así que \(\dfrac{5}{8}=\dfrac{30}{48}\).
   4. Descomponemos ambos números y tomamos los factores comunes. \(84=2^2\cdot3\cdot7\) y \(126=2\cdot3^2\cdot7\). El mcd es \(2\cdot3\cdot7=42\). Entonces \(\dfrac{84}{126}=\dfrac{2}{3}\).

   Una fracción es irreducible cuando el mcd de sus términos es 1.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Reducimos a común denominador con el mcm de 12 y 16. \(\text{mcm}(12,16)=48\): \(\dfrac{28}{48}\) y \(\dfrac{27}{48}\). Como \(28>27\), \(\dfrac{7}{12}>\dfrac{9}{16}\).
   2. El mcm de 15 y 18 es 90. \(\text{mcm}(15,18)=90\): \(\dfrac{66}{90}\) y \(\dfrac{65}{90}\). Es mayor \(\dfrac{11}{15}\).
   3. Pasamos todo a decimal con tres cifras para comparar. En decimales: \(0{,}75;\ 0{,}7;\ 0{,}625;\ 0{,}667;\ 0{,}8\). Orden: \(\dfrac{5}{8}\lt \dfrac{2}{3}<0{,}7\lt \dfrac{3}{4}<0{,}8\).
   4. Buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador. Con denominador 12: \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}\) y \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}\). Sirve \(\dfrac{5}{12}\) (entre 4/12 y 6/12).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Buscamos el mcm de los denominadores y sumamos los numeradores. \(\text{mcm}(6,10)=30\): \(\dfrac{25}{30}+\dfrac{21}{30}=\dfrac{46}{30}=\dfrac{23}{15}\).
   2. El mcm de 4 y 9 es 36 porque no tienen factores comunes. \(\text{mcm}(4,9)=36\): \(\dfrac{27}{36}-\dfrac{8}{36}=\dfrac{19}{36}\).
   3. Los números mixtos se pasan a fracción impropia: \(2\frac12=\frac52\). Pasamos a impropias: \(\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{10}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{17}{4}=4\dfrac{1}{4}\).
   4. Escribimos el 5 con denominador 8. \(\dfrac{40}{8}-\dfrac{7}{8}=\dfrac{33}{8}=4\dfrac{1}{8}\).
   5. El mcm de 2, 3, 4 y 6 es 12. \(\text{mcm}=12\): \(\dfrac{6}{12}+\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\).

   Al final simplificamos siempre hasta la fracción irreducible.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Multiplicamos numeradores y denominadores y simplificamos. \(\dfrac{5\cdot12}{8\cdot25}=\dfrac{60}{200}=\dfrac{3}{10}\).
   2. Dividir es multiplicar por la fracción inversa. \(\dfrac{7}{9}\cdot\dfrac{27}{14}=\dfrac{189}{126}=\dfrac{3}{2}\).
   3. Pasamos los mixtos a impropias: \(\frac73\) y \(\frac32\). \(\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}\).
   4. Dividir entre \(\frac35\) es multiplicar por \(\frac53\). \(3\cdot\dfrac{5}{3}=5\).
   5. Multiplicamos las tres fracciones y simplificamos. \(\dfrac{4\cdot15\cdot2}{5\cdot16\cdot3}=\dfrac{120}{240}=\dfrac{1}{2}\).

   Simplificar antes de multiplicar evita números grandes: en el primero, \(\frac{5}{25}=\frac15\) y \(\frac{12}{8}=\frac32\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Primero el paréntesis y después el producto. Paréntesis: \(\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}\). Producto: \(\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{6}{11}=\dfrac{66}{132}=\dfrac{1}{2}\).
   2. El paréntesis, luego el producto y por último la resta. Paréntesis: \(\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}\). Producto: \(\dfrac{1}{6}\cdot3=\dfrac{1}{2}\). Resta: \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\).
   3. Calculamos cada paréntesis y después dividimos. Primer paréntesis: \(\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{2}\). Segundo: \(\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}\). Cociente: \(\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\).
   4. Se empieza por la fracción más interior. Denominador interno: \(1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\). Entonces \(\dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}\) y \(1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}\).

   Respetar la jerarquía es imprescindible: sin ella el segundo apartado daría un resultado distinto.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(3:8=0{,}375\), exacto (el denominador \(8=2^3\) solo tiene el factor 2).
   2. \(5:6=0{,}8\overset{\frown}{3}\), periódico mixto (el denominador \(6=2\cdot3\) tiene el factor 3 además del 2).
   3. \(4:9=0{,}\overset{\frown}{4}\), periódico puro (el denominador \(9=3^2\) no tiene factores 2 ni 5).
   4. \(7:11=0{,}\overset{\frown}{63}\), periódico puro (11 es primo distinto de 2 y de 5).
   5. \(9:20=0{,}45\), exacto (\(20=2^2\cdot5\)).
   6. \(11:12=0{,}91\overset{\frown}{6}\), periódico mixto (\(12=2^2\cdot3\)).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Decimal exacto: lo escribimos sobre 100 y simplificamos. \(0{,}35=\dfrac{35}{100}=\dfrac{7}{20}\).
   2. Periódico puro de una cifra: multiplicamos por 10 y restamos. \(N=0{,}888\dots\); \(10N=8{,}888\dots\); \(10N-N=8\), luego \(N=\dfrac{8}{9}\).
   3. Periodo de dos cifras: multiplicamos por 100. \(N=1{,}2727\dots\); \(100N=127{,}2727\dots\); \(100N-N=126\), luego \(N=\dfrac{126}{99}=\dfrac{14}{11}\).
   4. Periódico mixto: usamos \(100N\) y \(10N\) para restar las partes periódicas. \(N=0{,}2555\dots\); \(100N=25{,}555\dots\) y \(10N=2{,}555\dots\); \(100N-10N=23\), así que \(90N=23\) y \(N=\dfrac{23}{90}\).
   5. Separamos la parte entera y la decimal. \(3{,}125=3+\dfrac{125}{1000}=3+\dfrac{1}{8}=\dfrac{25}{8}\).

   Comprueba cada resultado dividiendo numerador entre denominador.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Pasamos de 6 a 10 personas: Se multiplica por \(\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\).
   2. Multiplicamos cada cantidad por \(\frac53\): Arroz: \(\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{4}=1{,}25\) kg. Carne: \(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{2}=2{,}5\) kg. Caldo: \(\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{15}{4}=3{,}75\) l.
   3. Calculamos cuántas veces cabe \(\frac34\) kg en 1 kg: Con \(\dfrac{3}{4}\) kg hay 6 raciones; 1 kg es \(1:\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{3}\) de esa cantidad, luego llega para \(6\cdot\dfrac{4}{3}=8\) personas.
   4. Multiplicamos los kilos de arroz por el precio: \(1{,}25\cdot2{,}40=3{,}00\) €.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Calculamos cada fracción de 240: Novelas: \(240:8\cdot3=90\). Cómics: \(240:4=60\). Ciencia: \(240:6=40\). Otros: \(240-90-60-40=50\).
   2. Sumamos las fracciones conocidas y restamos de 1: \(\dfrac{50}{240}=\dfrac{5}{24}\). También: \(1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{24-9-6-4}{24}=\dfrac{5}{24}\).
   3. Calculamos \(\frac25\) de las 90 novelas: Prestadas: \(\dfrac{2}{5}\cdot90=36\). Quedan \(90-36=54\) novelas.
   4. El total y los cómics aumentan en 30: Total nuevo: \(270\) libros; cómics: \(60+30=90\). Fracción: \(\dfrac{90}{270}=\dfrac{1}{3}\).

   Comprobación: \(90+60+40+50=240\) libros.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Sumamos las tres fracciones con denominador 12: \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\).
    2. Restamos de la unidad y calculamos la cuarta parte de 1 200 g: Queda \(1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\) de tarta: \(1\,200:4=300\) g.
    3. Comparamos \(\frac13\) y \(\frac16\) de 1 200 g: Marta (\(\dfrac{1}{3}\) de 1 200 g son 400 g) y Lucas (\(\dfrac{1}{6}\) son 200 g). Diferencia: \(400-200=200\) g.
    4. Dividimos \(\frac14\) entre 3: \(\dfrac{1}{4}:3=\dfrac{1}{12}\) de la tarta, es decir, 100 g cada uno.

    La tarta completa son 1 200 g.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Calculamos la cuarta parte de 120 km: \(\dfrac{1}{4}\cdot120=30\) km.
    2. El segundo día se aplica \(\frac25\) a lo que queda, no al total: Quedan \(120-30=90\) km. Segundo día: \(\dfrac{2}{5}\cdot90=36\) km.
    3. El tercer día se recorre lo que falta: Tercer día: \(120-30-36=54\) km. Fracción: \(\dfrac{54}{120}=\dfrac{9}{20}\).
    4. Velocidad media = distancia : tiempo: \(54:3=18\) km/h.

    Comprobación: \(30+36+54=120\) km.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Dividimos las masas: se dividen los números y se restan los exponentes. \(\dfrac{5{,}97\cdot10^{24}}{7{,}35\cdot10^{22}}=0{,}812\cdot10^{2}\approx81\) veces.
    2. Para sumar en notación científica igualamos antes los exponentes. Igualamos exponentes: \(597\cdot10^{22}+7{,}35\cdot10^{22}=604{,}35\cdot10^{22}=6{,}0435\cdot10^{24}\) kg.
    3. Dividimos 1 mm entre la longitud de una bacteria: \(\dfrac{10^{-3}}{2\cdot10^{-6}}=0{,}5\cdot10^{3}=500\) bacterias.
    4. El exponente positivo indica cuántos lugares se mueve la coma a la derecha y el negativo, a la izquierda. \(5{,}97\cdot10^{24}=5\,970\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\) y \(2\cdot10^{-6}=0{,}000\,002\).

    La notación científica permite escribir números muy grandes o muy pequeños de forma breve.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Si tarda 4 horas en llenarlo, en una hora llena la cuarta parte. Grifo: \(\dfrac{1}{4}\) por hora. Desagüe: \(\dfrac{1}{6}\) por hora.
    2. Con los dos abiertos se resta lo que sale de lo que entra: \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{12}-\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{12}\) por hora. Tarda 12 horas.
    3. Primero trabaja solo el grifo y después los dos juntos: En 2 horas: \(2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\). Falta \(\dfrac{1}{2}\) y se llena \(\dfrac{1}{12}\) por hora: \(\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{12}=6\) horas más.
    4. Calculamos \(\frac1{12}\) de 1 200 litros: \(\dfrac{1}{12}\cdot1\,200=100\) litros por hora.

    En total el depósito tarda \(2+6=8\) horas en el tercer apartado.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Multiplicamos cada cantidad por su precio por kilo: Manzanas: \(1{,}5\cdot1{,}80=2{,}70\) €. Cerezas: \(0{,}75\cdot6{,}40=4{,}80\) €. Patatas: \(2{,}25\cdot0{,}96=2{,}16\) €. Jamón: \(\dfrac{1}{4}\cdot18{,}40=4{,}60\) €.
    2. Sumamos los cuatro importes: Total: \(2{,}70+4{,}80+2{,}16+4{,}60=14{,}26\) €.
    3. Restamos el total del billete: \(20-14{,}26=5{,}74\) €.
    4. Dividimos el importe del jamón entre el total: \(\dfrac{4{,}60}{14{,}26}\approx0{,}32\), casi un tercio del gasto.

    Respuesta: Hugo gasta 14,26 € y le devuelven 5,74 €.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{24+15+10+6}{60}=\dfrac{55}{60}=\dfrac{11}{12}\). Otros: \(1-\dfrac{11}{12}=\dfrac{1}{12}\).
    2. Papel: \(\dfrac{2}{5}\cdot450=180\) kg. Plástico: \(\dfrac{1}{4}\cdot450=112{,}5\) kg. Vidrio: \(\dfrac{1}{6}\cdot450=75\) kg. Orgánico: \(\dfrac{1}{10}\cdot450=45\) kg. Otros: \(\dfrac{1}{12}\cdot450=37{,}5\) kg. Suma: \(180+112{,}5+75+45+37{,}5=450\) kg.
    3. \(180:360=0{,}5\) kg, medio kilo por alumno.
    4. \(180+\dfrac{1}{3}\cdot180=180+60=240\) kg.
    5. Vidrio más orgánico: \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{30}+\dfrac{3}{30}=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}\approx0{,}267\). Y \(\dfrac{2}{5}=0{,}4\) es mayor. Sí tiene razón.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(\dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{9+12+5+3}{30}=\dfrac{29}{30}\). Imprevistos: \(\dfrac{1}{30}\) de 2 400 son 80 €.
    2. Autobús: 720 €. Alojamiento: 960 €. Comidas: 400 €. Entradas: 240 €. Imprevistos: 80 €. Suma: \(720+960+400+240+80=2\,400\) €.
    3. \(2\,400:30=80\) € por alumno.
    4. Subvención: \(\dfrac{1}{5}\cdot2\,400=480\) €. Quedan \(1\,920\) € y \(1\,920:30=64\) € por alumno.
    5. Comidas más entradas: \(400+240=640\) €. El autobús cuesta 720 €, es mayor.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Calculamos cada fracción de 240 personas: Adultos: \(\dfrac{3}{5}\cdot240=144\). Niños: \(\dfrac{1}{4}\cdot240=60\). Jóvenes: \(240-144-60=36\).
    2. Restamos adultos y niños, o hacemos \(1-\frac35-\frac14\): \(\dfrac{36}{240}=\dfrac{3}{20}\).
    3. Multiplicamos los niños por medio litro y dividimos entre \(\frac34\) l: Niños: \(60\cdot\dfrac{1}{2}=30\) litros. Botellas: \(30:\dfrac{3}{4}=30\cdot\dfrac{4}{3}=40\).
    4. Dividimos los litros entre lo que contiene cada botella: Adultos: \(144\cdot\dfrac{3}{2}=216\) litros. Botellas: \(216\cdot\dfrac{4}{3}=288\).
    5. Multiplicamos las botellas por su precio: \(40\cdot0{,}85=34\) €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Ana: \(\dfrac{1}{3}\) por hora. Luis: \(\dfrac{1}{6}\) por hora.
    2. Juntos: \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\) por hora. Tardan 2 horas.
    3. Primera hora: \(\dfrac{1}{3}\). Falta \(\dfrac{2}{3}\) y juntos hacen \(\dfrac{1}{2}\) por hora: \(\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{3}\) h \(=1\) h 20 min. Total: 2 h 20 min.
    4. Cada pared les cuesta 2 horas juntos: \(4\cdot2=8\) horas.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Pasamos las fracciones a decimales: \(2\frac12=2{,}5\) y \(1\frac34=1{,}75\). En decimales: \(2{,}5+3{,}25+1{,}75+2{,}5=10\) km.
    2. Multiplicamos los kilómetros por los minutos de cada uno: \(2{,}5\cdot6=15\) minutos.
    3. Dividimos el tramo entre el total y simplificamos: \(\dfrac{3{,}25}{10}=\dfrac{325}{1000}=\dfrac{13}{40}\).
    4. Dividimos el recorrido entre la distancia entre puestos: \(10:\dfrac{5}{4}=8\), es decir, 8 puestos si se cuenta el de la meta.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sumamos con denominador común 12: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{6+2+1}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\).
    2. Escribimos cada sumando como diferencia y observamos que se cancelan: La suma es \(\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\dots+\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\right)\). Los términos intermedios se anulan y queda \(1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}\).
    3. Usamos el método de los periódicos: \(N=0{,}999\dots\); \(10N=9{,}999\dots\); \(10N-N=9\); \(9N=9\); \(N=1\).
    4. Pasamos los periódicos a fracción con denominador 18: \(0{,}\overset{\frown}{3}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{18}\) y \(0{,}\overset{\frown}{4}=\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{18}\). Como \(6<7<8\), se cumple la desigualdad.