Rectas y planos – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\overrightarrow{AB}=(2,-1,2)\). Paramétricas: \(x=1+2t\), \(y=1-t\), \(z=2t\). Continua: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac z2\) (1,5 puntos).
   2. \(\overrightarrow{AC}=(-1,1,1)\). Normal: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1\cdot1-2\cdot1,\ 2\cdot(-1)-2\cdot1,\ 2\cdot1-(-1)(-1))=(-3,-4,1)\) (1 punto). Plano \(-3x-4y+z+D=0\) con \(A\): \(-3-4+D=0\), \(D=7\). Es decir, \(3x+4y-z-7=0\) (0,5 puntos). Comprobación con \(B\): \(9+0-2-7=0\); con \(C\): \(0+8-1-7=0\).
   3. \(3\cdot(-1)+4\cdot3-(-2)-7=-3+12+2-7=4\neq0\): \(D\) no está en el plano, luego no es coplanario. Equivale a comprobar que el producto mixto de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) y \(\overrightarrow{AD}=(-2,2,-2)\) no es nulo: vale \(6-8-2=-4\). (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\vec u=(1,2,1)\) y \(\vec v=(1,0,-1)\) no son proporcionales: nunca son paralelas ni coincidentes (0,5 puntos). \(\overrightarrow{PQ}=(-1,a,1)\) y \(\begin{vmatrix}1&2&1\\1&0&-1\\-1&a&1\end{vmatrix}=1(0+a)-2(1-1)+1(a-0)=2 a\) (1,5 puntos). Si \(a\neq0\) se cruzan; si \(a=0\) son secantes (0,5 puntos).
   2. Con \(a=0\): \(1+t=\lambda\), \(2t=0\), \(1+t=2-\lambda\). De la segunda \(t=0\), luego \(\lambda=1\), y la tercera se cumple: \(1=1\). Punto \((1,0,1)\) (1,5 puntos). Comprobación en \(s\): con \(\lambda=1\), \((0+1,\ 0,\ 2-1)=(1,0,1)\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Con \(y=t\): \(x=1+t\), \(z=2-t\). Punto \((1,0,2)\) y vector \((1,1,-1)\) (también \((1,-1,0)\times(0,1,1)=(-1,-1,1)\)). Comprobación del punto: \(1-0=1\) y \(0+2=2\).
   2. \((1,1,-1)\cdot(1,m,1)=m\). Si \(m\neq0\), la recta corta al plano en un punto. Si \(m=0\): el punto \((1,0,2)\) cumple \(1+0+2=3\neq4\), así que \(r\) es paralela a \(\pi\).
   3. \((1+t)+t+(2-t)=4\), \(3+t=4\), \(t=1\). Punto \((2,1,1)\). Comprobación: \(2-1=1\), \(1+1=2\) y \(2+1+1=4\). Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano. (1 punto)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&k\\3&1&2\end{vmatrix}=1(-2-k)-1(2-3k)+1(1+3)=-2-k-2+3k+4=2k\) (1 punto). Si \(k\neq0\): rangos 3 y 3, los planos se cortan en un único punto (0,5 puntos). Si \(k=0\): \(\operatorname{rg}A=2\) y el menor de la ampliada \(\begin{vmatrix}1&1&2\\1&-1&0\\3&1&0\end{vmatrix}=2\cdot(1+3)=8\neq0\) da \(\operatorname{rg}A^*=3\): no hay punto común. Las normales \((1,1,1)\), \((1,-1,0)\) y \((3,1,2)\) no son proporcionales dos a dos, luego los planos se cortan dos a dos en rectas paralelas y forman un prisma triangular (1 punto).
   2. Con \(k=2\): \(x+y+z=2\), \(x-y+2z=0\), \(3x+y+2z=2\). Sumando las dos primeras, \(2x+3z=2\); restando la primera de la tercera, \(2x+z=0\). Restando estas dos, \(2z=2\) y \(z=1\); entonces \(x=-\tfrac12\) e \(y=2-x-z=\tfrac32\). Comprobación en \(\pi_2\): \(-\tfrac12-\tfrac32+2=0\). Punto \(\left(-\tfrac12,\tfrac32,1\right)\) (1,5 puntos).

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \((x,y,z)=(4t,\ 2t,\ 10-t)\), \(t\ge0\). Cada segundo el dron se desplaza según el vector \((4,2,-1)\) a partir del punto inicial.
   2. \(-2t+2(10-t)-6=0\), \(14-4t=0\), \(t=3{,}5\) s. Punto \((14,\ 7,\ 6{,}5)\). Comprobación: \(-7+13-6=0\). Se sustituye la trayectoria en la ecuación del plano y se despeja \(t\). (2 puntos)
   3. Basta un vector perpendicular a la normal \((0,-1,2)\), por ejemplo \((1,0,0)\) o \((0,2,1)\): como el producto escalar con la normal es 0, la trayectoria es paralela al tejado (la azotea está fuera del tejado: \(0+20-6=14\neq0\)). (1 punto)

Total : 20 puntos