Vectores en el espacio – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: examen para descargar en PDF

Se consideran los vectores \(\vec a=(1,0,2)\), \(\vec b=(2,1,0)\) y \(\vec c=(0,1,1)\).

1. Demuestra que forman una base de \(\mathbb R^3\). (1,5 puntos)
2. Halla las coordenadas de \(\vec p=(3,2,3)\) en esa base. (1,5 puntos)
3. Halla \(m\) para que \((1,m,0)\), \(\vec a\) y \(\vec b\) sean linealmente dependientes. (1 punto)

Sean \(\vec u=(2,1,-2)\) y \(\vec v=(1,-1,0)\).

1. Calcula el ángulo que forman. (1 punto)
2. Calcula \(\vec u\times\vec v\) y el área del triángulo determinado por \(\vec u\) y \(\vec v\). (1,5 puntos)
3. Halla un vector de módulo 6 perpendicular a \(\vec u\) y a \(\vec v\). (1,5 puntos)

Sean \(\vec a=(1,1,k)\), \(\vec b=(2,k,1)\) y \(\vec c=(0,1,1)\).

1. Calcula \([\vec a,\vec b,\vec c]\) en función de \(k\). (1,5 puntos)
2. ¿Para qué valores de \(k\) son coplanarios? (1 punto)
3. Para \(k=3\), calcula el volumen del tetraedro que determinan. (1,5 puntos)

Se consideran los puntos \(A(1,0,1)\), \(B(3,2,1)\), \(C(2,-1,4)\) y \(D(0,2,3)\).

1. Comprueba que no son coplanarios. (1 punto)
2. Calcula el área del triángulo \(ABC\). (1 punto)
3. Calcula el volumen del tetraedro \(ABCD\). (1 punto)
4. Calcula la altura del tetraedro desde \(D\) sobre la cara \(ABC\). (1 punto)

En una estación de esquí de Sierra Nevada dos monitores arrastran un trineo con material. Cada uno tira de una cuerda: las fuerzas son \(\vec F_1=(20,0,15)\) N y \(\vec F_2=(-10,30,15)\) N. El trineo se desplaza sobre la nieve según el vector \(\vec d=(6,8,0)\) m.

1. Calcula la fuerza resultante y su módulo. (1 punto)
2. Calcula el trabajo total realizado sobre el trineo. (1 punto)
3. Calcula el ángulo entre la resultante y el desplazamiento. (1 punto)
4. ¿Qué parte de la resultante tira hacia arriba y no sirve para avanzar? Justifícalo. (1 punto)