Rectas y planos – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: examen para descargar en PDF

Se consideran los puntos \(A(1,1,0)\), \(B(3,0,2)\) y \(C(0,2,1)\).

1. Escribe las ecuaciones paramétricas y continua de la recta \(AB\). (1,5 puntos)
2. Halla la ecuación general del plano que pasa por \(A\), \(B\) y \(C\). (1,5 puntos)
3. Comprueba si \(D(-1,3,-2)\) es coplanario con ellos. (1 punto)

Se consideran \(r:\ (x,y,z)=(1,0,1)+t(1,2,1)\) y \(s:\ (x,y,z)=(0,a,2)+\lambda(1,0,-1)\).

1. Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\) según el valor de \(a\). (2,5 puntos)
2. En el caso en que se corten, halla el punto de corte. (1,5 puntos)

Se consideran la recta \(r:\ \begin{cases}x-y=1\\ y+z=2\end{cases}\) y el plano \(\pi:\ x+my+z=4\).

1. Halla un punto y un vector director de \(r\). (1 punto)
2. Estudia la posición relativa de \(r\) y \(\pi\) según \(m\). (2 puntos)
3. Para \(m=1\), halla el punto de corte. (1 punto)

Se consideran los planos \(\pi_1:\ x+y+z=2\), \(\pi_2:\ x-y+kz=0\) y \(\pi_3:\ 3x+y+2z=k\).

1. Estudia su posición relativa según los valores de \(k\). (2,5 puntos)
2. Para \(k=2\), halla el punto común. (1,5 puntos)

Un dron de fotografía despega desde el punto \((0,0,10)\) de una azotea y se mueve en línea recta según el vector \((4,2,-1)\) por segundo (metros). Delante hay el tejado inclinado de otra casa, contenido en el plano \(\pi:\ -y+2z-6=0\).

1. Escribe la trayectoria del dron en función del tiempo \(t\). (1 punto)
2. ¿En qué instante y en qué punto chocaría con el plano del tejado? (2 puntos)
3. ¿Qué vector de velocidad paralelo al tejado podría usar el dron para no chocar nunca? Da un ejemplo y justifícalo. (1 punto)