Rectas y planos – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Vectorial: \((x,y,z)=(1,-2,3)+t(2,1,-1)\). Paramétricas: \(x=1+2t\), \(y=-2+t\), \(z=3-t\).
   2. Se despeja \(t\) en cada paramétrica: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}\).
   3. De la primera igualdad, \(x-1=2(y+2)\), es decir, \(x-2y-5=0\). De la segunda, \(-(y+2)=z-3\), es decir, \(y+z-1=0\). Implícitas: \(\begin{cases}x-2y-5=0\\ y+z-1=0\end{cases}\).
   4. \(B\): \(x=5\) da \(t=2\), y entonces \(y=0\) y \(z=1\): coincide, \(B\in r\). \(C\): \(x=3\) da \(t=1\), que obliga a \(y=-1\) y \(z=2\neq1\): \(C\notin r\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\overrightarrow{AB}=(2,3,-2)\). Paramétricas: \(x=2+2t\), \(y=3t\), \(z=1-2t\).
   2. \(\overrightarrow{AC}=(4,6,-4)=2\overrightarrow{AB}\): los vectores son proporcionales, luego los tres puntos están alineados (\(C\) corresponde a \(t=2\)).
   3. \(z=0\): \(1-2t=0\), \(t=\tfrac12\). Punto \(\left(3,\tfrac32,0\right)\).
   4. \(x=0\): \(2+2t=0\), \(t=-1\). Punto \((0,-3,3)\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)\). \(\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2\cdot3-0\cdot0,\ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot3,\ -1\cdot0-2\cdot(-1))=(6,3,2)\).
   2. \(6x+3y+2z+D=0\) con \(A\): \(6+D=0\), \(D=-6\). Plano: \(6x+3y+2z-6=0\).
   3. Dividiendo entre 6: \(\dfrac x1+\dfrac y2+\dfrac z3=1\). Los denominadores son los puntos de corte con los ejes \(X\), \(Y\) y \(Z\).
   4. \(P\): \(6+6-6-6=0\), pertenece. \(Q\): \(6+3+2-6=5\neq0\), no pertenece.

4. Solución del ejercicio 4

   1. El vector director de \(r\), \((3,-2,1)\), es normal al plano: \(3x-2y+z+D=0\). Con \(P\): \(6+2+3+D=0\), \(D=-11\). Plano \(3x-2y+z-11=0\).
   2. \(r\) pasa por \(A(1,0,-1)\). El plano contiene los vectores \((3,-2,1)\) y \(\overrightarrow{AQ}=(-1,1,3)\). Normal: \((3,-2,1)\times(-1,1,3)=(-6-1,\ -1-9,\ 3-2)=(-7,-10,1)\). Plano \(-7x-10y+z+D=0\) con \(A\): \(-7-1+D=0\), \(D=8\). Es decir, \(7x+10y-z-8=0\). Comprobación con \(Q\): \(0+10-2-8=0\).
   3. Los planos paralelos tienen el mismo vector normal: \(2x-y+4z+D=0\); por el origen, \(D=0\). Plano \(2x-y+4z=0\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(\vec u=(1,-1,2)\) y \(\vec v=(2,1,-1)\) no son proporcionales: rango 2. \(\overrightarrow{PQ}=(-1,-1,3)\) y \(\begin{vmatrix}1&-1&2\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{vmatrix}=5\neq0\): rango 3. Las rectas se cruzan.
   2. \(\vec u=(1,-1,2)\) y \((1,0,1)\) no son proporcionales. \(\overrightarrow{PQ^{\prime}}=(-1,-1,0)\) y \(\begin{vmatrix}1&-1&2\\1&0&1\\-1&-1&0\end{vmatrix}=0\): rango 2. Son secantes.
   3. Se igualan: \(1+t=\mu\), \(2-t=1\), \(2t=\mu\). De la segunda, \(t=1\); entonces \(\mu=2\) y la primera se cumple. Punto de corte \((2,1,2)\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \((2,-1,1)\cdot(1,a,1)=2-a+1=3-a\).
   2. Si \(3-a\neq0\) la recta corta al plano. Si \(a=3\), la recta es paralela o está contenida; se mira el punto \((1,0,3)\) de \(r\): \(1+0+3=4\neq5\), así que es paralela y nunca está contenida.
   3. Con \(a=1\): \((1+2t)-t+(3+t)=5\), es decir, \(4+2t=5\) y \(t=\tfrac12\). Punto \(\left(2,-\tfrac12,\tfrac72\right)\). Comprobación: \(2-\tfrac12+\tfrac72=5\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&m\\2&3&4\end{vmatrix}=(8-3m)-(4-2m)+(3-4)=3-m\).
   2. Si \(m\neq3\): rangos 3 y 3, los planos se cortan en un punto. Si \(m=3\): \(\pi_3\) es la suma de \(\pi_1\) y \(\pi_2\) (también \(1+2=3\)), rangos 2 y 2: los tres planos pasan por una misma recta (haz de planos).
   3. Con \(m=2\): restando \(\pi_1\) de \(\pi_2\), \(y+z=1\); restando \(2\pi_1\) de \(\pi_3\), \(y+2z=0\). Así \(z=-1\), \(y=2\), \(x=0\). Punto \((0,2,-1)\).
   4. Con \(m=3\): \(x+y+z=1\) y \(y+2z=1\). Con \(z=t\): \(y=1-2t\), \(x=1-y-z=t\). Recta \((t,\ 1-2t,\ t)\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. A: punto \((0,0,9)\), vector \((4,3,0)\). B: punto \((8,0,9)\), vector \((0,3,0)\). Los vectores no son proporcionales y \(\begin{vmatrix}4&3&0\\0&3&0\\8&0&0\end{vmatrix}=0\): son secantes.
   2. \(4t=8\) da \(t=2\) en A, y entonces \(y=6\); en B, \(3s=6\), \(s=2\). Punto \((8,6,9)\).
   3. Sí: las dos llegan en el minuto 2, así que chocarían. La torre debe cambiar la altura o el rumbo de una de ellas.
   4. Ahora B pasa por \((8,0,10)\) y \(\overrightarrow{PQ}=(8,0,10)\): \(\begin{vmatrix}4&3&0\\0&3&0\\8&0&10\end{vmatrix}=120\neq0\). Las trayectorias se cruzan: ya no hay punto común.
   5. A recorre \(|(4,3,0)|=5\) km por minuto: 300 km/h. B recorre 3 km por minuto: 180 km/h.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(x=2t\), \(y=t\), \(z=3-t\), con \(t\ge0\).
   2. \(2t+2t=8\), \(t=2\). Punto \((4,2,1)\).
   3. \(3-t=0\), \(t=3\): punto \((6,3,0)\). Pero antes (\(t=2\)) choca con la pared.
   4. Para \(x=2\) es \(t=1\), que da \(y=1\) y \(z=2\). El rayo pasa por el micrófono \((2,1,2)\) y por encima de la cabeza de la cantante, 20 cm más alto.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(\overrightarrow{AB}=(8,0,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0,4,2)\). Normal: \((0\cdot2-0\cdot4,\ 0\cdot0-8\cdot2,\ 8\cdot4-0)=(0,-16,32)\), proporcional a \((0,-1,2)\). Plano \(-y+2z+D=0\) con \(A\): \(6+D=0\). Tejado: \(-y+2z-6=0\), es decir, \(z=3+\tfrac y2\).
    2. \(z=3+\tfrac22=4\) m.
    3. Para \(y=1\) el tejado está a \(z=3{,}5\) m. La punta, a 3,6 m, queda 10 cm por encima.
    4. Ángulo entre la normal \((0,-1,2)\) y la vertical \((0,0,1)\): \(\cos\alpha=\tfrac{2}{\sqrt5}\approx0{,}8944\), \(\alpha\approx26{,}6^\circ\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(x=600t\), \(y=800t\), \(z=500+800t\), \(0\le t\le1\).
    2. \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{600^2+800^2+800^2}=\sqrt{1\,640\,000}\approx1280{,}6\) m.
    3. \(500+800t=1\,000\), \(t=\tfrac58\): punto \((375,500,1\,000)\).
    4. \(x=150\) da \(t=\tfrac14\), y entonces \(y=200\) y \(z=700\). La cabina pasa 10 m por encima de la copa.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(120,0,1)\times(120,80,0)=(0-80,\ 120-0,\ 9\,600-0)=(-80,120,9\,600)\), proporcional a \((-2,3,240)\). Plano: \(-2x+3y+240z=0\).
    2. \(D\): \(0+240+240=480\neq0\). No está en el plano: la mesa cojea.
    3. \(0+240+240z=0\), \(z=-1\): la pata debería llegar a \((0,80,-1)\), 2 cm más abajo.
    4. Con \(D(0,80,-1)\): \(\begin{vmatrix}120&0&1\\120&80&0\\0&80&-1\end{vmatrix}=120(-80-0)-0+1\cdot(9\,600-0)=0\). Coplanarios.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Con \(z=t\): \(x=6-t\), \(y=6-t\). Arista: \((6-t,\ 6-t,\ t)\), que pasa por \((6,6,0)\) con vector \((-1,-1,1)\).
    2. \(x+z-6+\lambda(y+z-6)=0\), con \(\lambda\) real (más el plano \(\pi_2\)).
    3. Con \(L\): \(1+3-6+\lambda(2+3-6)=0\), \(-2-\lambda=0\), \(\lambda=-2\). Plano: \(x+z-6-2y-2z+12=0\), es decir, \(x-2y-z+6=0\).
    4. Cualquier punto de \(r\): \((6-t)-2(6-t)-t+6=6-t-12+2t-t+6=0\). Se cumple para todo \(t\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(\vec u=(1,1,0)\) y \(\vec v=(0,1,1)\) no son proporcionales. \(\overrightarrow{PQ}=(-1,a,-2)\) y \(\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\-1&a&-2\end{vmatrix}=1(-2-a)-1(0+1)+0=-a-3\).
    2. Se cortan si el determinante es 0: \(a=-3\). Para \(a\neq-3\) se cruzan.
    3. Con \(a=-3\): \(1+t=0\), \(t=-1\), punto de \(r\): \((0,-1,2)\). En \(s\): \((0,\,-3+\mu,\,\mu)\) con \(\mu=2\) da \((0,-1,2)\). Punto de soldadura \((0,-1,2)\).
    4. No: los vectores directores no son proporcionales para ningún \(a\), así que nunca son paralelas.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \((2,3,4)+t(1,2,-2)\): \(x=2+t\), \(y=3+2t\), \(z=4-2t\).
    2. \(4-2t=0\), \(t=2\): punto \((4,7,0)\). Mediría \(|(2,4,0)|=\sqrt{20}\approx4{,}47\) m.
    3. \(2+t=3\), \(t=1\): punto \((3,5,2)\), que está a 2 m de altura sobre la pared.
    4. \((2,3,0)+\mu(1,2,0)\) con \(x=3\): \(\mu=1\), punto \((3,5,0)\).
    5. Un tramo en el suelo de \((2,3,0)\) a \((3,5,0)\), de \(\sqrt{5}\approx2{,}24\) m, y un tramo vertical en la pared de \((3,5,0)\) a \((3,5,2)\), de 2 m. Total \(\approx4{,}24\) m.
    6. Los rayos que pasan por los puntos de la farola forman un plano que contiene la farola (vertical) y la dirección \(\vec s\). Su intersección con el suelo es una recta que pasa por la base; su dirección es la proyección horizontal de \(\vec s\), es decir, \((1,2,0)\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. Vectores \(\overrightarrow{PA}=(1,0,-1)\) y \((0,1,0)\). Normal \((1,0,-1)\times(0,1,0)=(0\cdot0-(-1)\cdot1,\ -1\cdot0-1\cdot0,\ 1\cdot1-0)=(1,0,1)\). \(\alpha:\ x+z-1=0\).
    2. Vectores \(\overrightarrow{PB}=(0,1,-1)\) y \((1,0,1)\). Normal \((1\cdot1-(-1)\cdot0,\ -1\cdot1-0\cdot1,\ 0-1)=(1,-1,-1)\). \(\beta:\ x-y-z+1=0\) (pasa por \(P\): \(0-0-1+1=0\)).
    3. Dirección \((1,0,1)\times(1,-1,-1)=(1,2,-1)\). Cable: \((t,\ 2t,\ 1-t)\).
    4. Con \(r\) (\(x=1\), \(z=0\)): \(t=1\), punto \((1,2,0)\). Con \(s\) (\(y=1\), \(x=z\)): \(2t=1\), \(t=\tfrac12\), punto \(\left(\tfrac12,1,\tfrac12\right)\), que está en \(s\) con \(\mu=\tfrac12\).
    5. \((1,2,-1)\) no es proporcional ni a \((0,1,0)\) ni a \((1,0,1)\). Si fuera paralelo a una barra, estaría en un plano paralelo a ella y no podría tocarla.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Normal: \((1,0,0)\times(0,4,3)=(0\cdot3-0\cdot4,\ 0\cdot0-1\cdot3,\ 1\cdot4-0)=(0,-3,4)\). Plano \(-3y+4z+D=0\) con \((0,0,3)\): \(D=-12\). Techo: \(-3y+4z-12=0\).
    2. \(-12+24-12=0\): está en el techo. Es \((5,0,3)+(0,4,3)\): el punto medio del borde superior, a 5 m de la viga en la dirección de subida.
    3. \(|\vec w|=5\), así que el techo es un rectángulo de \(10\times5=50\) m². Coste: \(50\cdot8{,}5=425\) €.
    4. \(\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\) (normal frente a la vertical), \(\alpha\approx36{,}9^\circ\).
    5. Sube 3 m desde la viga: el borde superior está a \(3+3=6\) m.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(M=\left(\tfrac{2+6}2,\tfrac{1+5}2,\tfrac{0+4}2\right)=(4,3,2)\).
    2. Si \(|PA|=|PB|\), el triángulo \(PAB\) es isósceles y la mediana \(PM\) es perpendicular a \(AB\). Normal \(\overrightarrow{AB}=(4,4,4)\sim(1,1,1)\): \(x+y+z+D=0\) con \(M\): \(D=-9\). Plano \(x+y+z=9\).
    3. \(1+2+3=6<9\): \(C\) está del lado de \(A\) (\(2+1+0=3<9\)). Distancias: \(|CA|^2=1+1+9=11\) y \(|CB|^2=25+9+1=35\). Se conecta a \(A\).
    4. \(z=0\): \(x+y=9\). Recta \((t,\ 9-t,\ 0)\).
    5. Con \(P(9,0,0)\): \(|PA|^2=49+1+0=50\) y \(|PB|^2=9+25+16=50\). Iguales.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Punto \(P(1,-1,0)\), vector \(\vec u=(2,a,-1)\), normal \(\vec n=(1,2,b)\).
    2. \(\vec u\cdot\vec n=2+2a-b=0\), es decir, \(b=2+2a\).
    3. Además \(P\) debe estar en el plano: \(1-2+0=c\), \(c=-1\).
    4. \(b=2+2=4\) y \(c=-1\): \(\pi:\ x+2y+4z=-1\).
    5. \(\vec u\cdot\vec n=2+2-0=4\neq0\): se cortan. Con \(x=1+2t\), \(y=-1+t\), \(z=-t\): \(1+2t-2+2t=3\), \(4t=4\), \(t=1\). Punto \((3,0,-1)\). Comprobación: \(3+0=3\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)\).
    2. Sumando: \((a+2)(x+y+z)=3\), luego \(x+y+z=\tfrac3{a+2}\). Restando las ecuaciones dos a dos, \((a-1)(x-y)=0\) y \((a-1)(y-z)=0\), así que \(x=y=z=\tfrac1{a+2}\).
    3. Los tres planos son \(x+y+z=1\): coinciden (rangos 1 y 1).
    4. Al sumar sale \(0=3\): incompatible. El rango de \(A\) es 2 y el de \(A^*\) es 3. Las normales \((-2,1,1)\), \((1,-2,1)\) y \((1,1,-2)\) no son proporcionales dos a dos, así que no hay planos paralelos: se cortan dos a dos en tres rectas paralelas y forman un prisma triangular.