Distribuciones binomial y normal – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\mu=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}5+2\cdot0{,}3=1{,}1\) lámparas. La media de una variable discreta es la suma de cada valor por su probabilidad. Las probabilidades suman \(0{,}2+0{,}5+0{,}3=1\), así que la tabla es correcta. (1 punto)
   2. \(\sum x_i^2p_i=0+0{,}5+1{,}2=1{,}7\); \(\sigma^2=1{,}7-1{,}21=0{,}49\) y \(\sigma=0{,}7\). Se usa \(\sigma^2=\sum x_i^2p_i-\mu^2\), con \(\sum x_i^2p_i=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}5+4\cdot0{,}3\). (1,5 puntos)
   3. \(40\cdot1{,}1=44\) € al día; \(25\cdot44=1\,100\) € al mes. La ganancia es \(G=40X\), por lo que su media es \(40\mu\); en un mes se suman 25 días con la misma media. La desviación de la ganancia diaria sería \(40\cdot0{,}7=28\) €. (1,5 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Cada cliente paga o no con el móvil, con probabilidad constante 0,4 y de forma independiente: \(X\sim B(6;\,0{,}4)\). Hay un número fijo de pruebas, \(n=6\), dos resultados posibles en cada una y probabilidad de éxito \(p=0{,}4\). (1 punto)
   2. \(\binom62\cdot0{,}4^2\cdot0{,}6^4=15\cdot0{,}16\cdot0{,}1296\approx0{,}3110\). \(\binom62=15\) cuenta las formas de elegir los dos clientes que pagan con el móvil; \(0{,}6^4\) es la probabilidad de que los otros cuatro no lo hagan. (1 punto)
   3. \(1-0{,}6^6\approx0{,}9533\). Se usa el suceso contrario: \(P(X\ge1)=1-P(X=0)\), con \(P(X=0)=0{,}6^6\approx0{,}0467\). (1 punto)
   4. \(\mu=6\cdot0{,}4=2{,}4\) y \(\sigma=\sqrt{6\cdot0{,}4\cdot0{,}6}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2\). La varianza es \(npq=1{,}44\). Por término medio, entre 2 y 3 clientes de cada 6 pagan con el móvil. (1 punto)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(Z=\tfrac{20-15}{4}=1{,}25\): \(1-0{,}8944=0{,}1056\), un 10,56 %. Se tipifica restando la media y dividiendo entre la desviación; la tabla da el área a la izquierda, así que se toma el complementario. (1,25 puntos)
   2. \(Z\) entre \(-1\) y \(1{,}5\): \(0{,}9332-(1-0{,}8413)=0{,}7745\), un 77,45 %. Se tipifican los extremos: \(\frac{11-15}{4}=-1\) y \(\frac{21-15}{4}=1{,}5\). Se calcula \(\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)\), usando \(\Phi(-1)=1-\Phi(1)\). (1,5 puntos)
   3. \(Z=\tfrac{10-15}{4}=-1{,}25\): \(P=0{,}1056\); \(30\cdot0{,}1056\approx3{,}2\), unos 3 alumnos. El número esperado es \(n\cdot p\), y se redondea a un número entero de alumnos. (1,25 puntos)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(P(Z\le z)=0{,}95\), \(z\approx1{,}645\): \(120+1{,}645\cdot12\approx139{,}74\) min. Se busca en la tabla el \(z\) que deja un área de 0,95 a su izquierda y se destipifica con \(x=\mu+z\sigma\). (1,5 puntos)
   2. También \(z=1{,}645\) (5 % a cada lado): \(120\pm19{,}74\), entre \(100{,}26\) y \(139{,}74\) min. Si el intervalo central contiene el 90 %, queda fuera un 10 %, repartido en un 5 % por cada lado; el radio es \(1{,}645\cdot12\approx19{,}74\). (1,5 puntos)
   3. \(Z=\tfrac{100-120}{12}\approx-1{,}67\): \(1-0{,}9525=0{,}0475\). Por simetría, \(\Phi(-1{,}67)=1-\Phi(1{,}67)\). Menos del 5 % de los conciertos dura menos de 100 minutos. (1 punto)

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(X\sim B(300;\,0{,}3)\): \(\mu=90\) y \(\sigma=\sqrt{63}\approx7{,}94\). Media \(np=300\cdot0{,}3=90\) y varianza \(npq=300\cdot0{,}3\cdot0{,}7=63\). (1 punto)
   2. \(np=90\gt 5\) y \(n(1-p)=210\gt 5\). Como \(n\) es grande y \(np\) y \(nq\) superan 5, la binomial se aproxima por \(N(90;\,7{,}94)\). (0,5 puntos)
   3. \(P(X\ge101)\approx P(Y\gt 100{,}5)\): \(Z=\tfrac{10{,}5}{7{,}94}\approx1{,}32\), \(1-0{,}9066=0{,}0934\). «Más de 100» significa 101 o más; con la corrección de continuidad se usa 100,5. (1,5 puntos)
   4. \(P(79{,}5\lt Y\lt 100{,}5)\): \(Z\) entre \(-1{,}32\) y \(1{,}32\), \(2\cdot0{,}9066-1=0{,}8132\). Al incluir 80 y 100 se amplía media unidad por cada lado: 79,5 y 100,5, simétricos respecto de 90. (1 punto)

   Conclusión: hay un 9 % de probabilidad de superar los 100 usuarios diarios y un 81 % de estar entre 80 y 100.

Total : 20 puntos