Estos apuntes de distribuciones binomial y normal de 2º Bachillerato Ciencias están pensados para alumnos de 17-18 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Variables aleatorias discretas y continuas; binomial y normal. Antes de empezar, conviene repasar integral definida, áreas y volúmenes y probabilidad, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de distribuciones binomial y normal 2º Bachillerato Ciencias: lo que vas a aprender
Actividad de introducción: la campana de las estaturas
Si mides a todos los chicos y chicas de tu instituto y haces un histograma de sus estaturas, obtendrás una figura con forma de campana: muchos valores cerca de la media y cada vez menos al alejarse de ella, de forma simétrica. Lo mismo ocurre con el peso de las barras de pan de una panadería, con las notas de un examen numeroso o con la duración de las baterías de un modelo de teléfono. Esa campana es la distribución normal, la más importante de la estadística. Piensa ahora en otro tipo de situación: lanzas ocho tiros libres y cuentas las canastas, o revisas diez envases y cuentas los defectuosos. Aquí la variable solo toma valores enteros y sigue la distribución binomial. En este tema aprenderás a trabajar con las dos, a usar la tabla de la normal y a aproximar una binomial con muchas pruebas por una normal, una técnica muy frecuente en los problemas de la PAU.
Variable aleatoria discreta
Definición: variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria \(X\) asigna un número a cada resultado de un experimento aleatorio; es discreta si toma valores aislados \(x_i\) con probabilidades \(p_i=P(X=x_i)\), con \(\sum p_i=1\). Su media es \(\mu=E(X)=\sum x_ip_i\), su varianza \(\sigma^2=\sum x_i^2p_i-\mu^2\) y su desviación típica \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\).
Distribución binomial
Definición: distribución binomial \(B(n,p)\)
\(X\) es el número de éxitos en \(n\) pruebas independientes de Bernoulli (dos resultados: éxito con probabilidad \(p\), fracaso con \(q=1-p\), constantes en cada prueba). Se escribe \(X\sim B(n,p)\).
Fórmulas de la binomial
\(P(X=k)=\dbinom nk p^kq^{n-k}\), \(k=0,1,\dots,n\). Media \(\mu=np\); varianza \(\sigma^2=npq\); desviación típica \(\sigma=\sqrt{npq}\).
Figura: distribución binomial \(B(6;0{,}5)\), simétrica porque \(p=0{,}5\).
Ejemplo 1
Se lanza 5 veces una moneda trucada con \(P(\text{cara})=0{,}3\). \(P(X=2)=\binom52\cdot0{,}3^2\cdot0{,}7^3=10\cdot0{,}09\cdot0{,}343=0{,}3087\).
Ejemplo 2
En \(B(8;0{,}25)\), \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}75^8\approx1-0{,}1001=0{,}8999\).
Distribución normal
Definición: variable continua y distribución normal
Una variable aleatoria continua tiene una función de densidad \(f\ge0\) con área total 1; \(P(a\le X\le b)\) es el área bajo \(f\) entre \(a\) y \(b\), y \(P(X=a)=0\). \(X\sim N(\mu,\sigma)\) tiene densidad en forma de campana, simétrica respecto de \(\mu\), con \(\sigma\) midiendo la dispersión.
Figura: la probabilidad \(P(-1\le Z\le1{,}5)\) es el área sombreada bajo la normal estándar.
Tipificación y uso de la tabla
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), entonces \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\) y \(P(X\le x)=\Phi\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\). La tabla da \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) para \(z\ge0\). Para negativos: \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\). Además \(P(a\lt Z\lt b)=\Phi(b)-\Phi(a)\) y \(P(Z>z)=1-\Phi(z)\).
Regla empírica 68-95-99,7
En \(N(\mu,\sigma)\): \(P(\mu-\sigma\lt X\lt \mu+\sigma)\approx0{,}6827\); \(P(\mu-2\sigma\lt X\lt \mu+2\sigma)\approx0{,}9545\); \(P(\mu-3\sigma\lt X\lt \mu+3\sigma)\approx0{,}9973\).
Método: probabilidades con la normal
- Identifica \(\mu\) y \(\sigma\) y escribe lo pedido como \(P(X\le x)\), \(P(X>x)\) o \(P(a\lt X\lt b)\).
- Tipifica restando \(\mu\) y dividiendo entre \(\sigma\).
- Reduce a \(\Phi\) con la simetría \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
- Lee la tabla (o calcula) y da la respuesta en el contexto.
Ejemplo 3
\(X\sim N(100,15)\). \(P(X>130)=P\left(Z>\frac{30}{15}\right)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228\).
Ejemplo 4
\(X\sim N(20,\sigma)\) con \(P(X>26)=0{,}0668\). Entonces \(\Phi\left(\frac{6}{\sigma}\right)=0{,}9332\Rightarrow\frac6\sigma=1{,}5\Rightarrow\sigma=4\).
Aproximación de la binomial por la normal
Teorema de De Moivre-Laplace
Si \(X\sim B(n,p)\) con \(np\ge5\) y \(nq\ge5\), entonces \(X\) se aproxima por \(Y\sim N\left(np,\sqrt{npq}\right)\). Como se pasa de discreta a continua, se aplica la corrección de continuidad: \(P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)\), \(P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)\), \(P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5)\).
Ejemplo 5
\(X\sim B(100;0{,}4)\): \(np=40\), \(\sigma=\sqrt{24}\approx4{,}899\). \(P(X\le45)\approx P(Y\le45{,}5)=\Phi\left(\frac{5{,}5}{4{,}899}\right)=\Phi(1{,}12)=0{,}8686\).
¡Atención!
- Usar la binomial cuando las pruebas no son independientes o \(p\) cambia.
- Olvidar la corrección de continuidad en la aproximación.
- Confundir \(\sigma^2\) con \(\sigma\) al tipificar.
- No usar la simetría para valores negativos de \(z\).
Cómo se plantean estos problemas en la PAU
Observación
Los ejercicios de distribuciones suelen tener dos apartados: uno de binomial (calcular \(P(X=k)\), \(P(X\ge1)\) o la media) y otro de normal (tipificar, usar la tabla y a veces hallar un parámetro o un percentil). Se facilita la tabla de la normal estándar. Indica siempre la distribución («\(X\sim B(10;0{,}3)\)», «\(X\sim N(70,5)\)»), la tipificación y la lectura de la tabla. Para hallar un valor \(x\) a partir de una probabilidad se hace el camino inverso: se busca \(z\) en la tabla y se despeja \(x=\mu+z\sigma\).
Ejemplo 6
Notas \(X\sim N(6;1{,}5)\). ¿Qué nota deja por encima al 10 % de los alumnos? Se busca \(z\) con \(\Phi(z)=0{,}90\): \(z\approx1{,}28\). \(x=6+1{,}28\cdot1{,}5=7{,}92\).
Método: probabilidades con la normal
- Identifica \(\mu\) y \(\sigma\) y tipifica \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\).
- Expresa lo pedido con \(\Phi\) y la simetría \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
- Busca el valor en la tabla.
- Para la binomial con \(np\ge5\) y \(nq\ge5\), aproxima por \(N(np,\sqrt{npq})\).
Cómo resolver un problema de distribuciones
Método: binomial o normal
- Pregúntate qué mide la variable. Si cuenta éxitos en un número fijo de pruebas independientes con la misma probabilidad, es binomial; si es una medida continua (peso, tiempo, longitud) con forma de campana, es normal.
- En la binomial, escribe \(n\) y \(p\), y usa la fórmula para valores concretos; para «al menos uno», usa el complementario.
- En la normal, tipifica siempre: resta la media y divide entre la desviación típica.
- Dibuja la campana y sombrea la zona pedida: así sabrás si hay que restar de 1 o usar la simetría.
- Si la binomial tiene muchas pruebas y se cumplen \(np>5\) y \(n(1-p)>5\), aproxímala por una normal con la misma media y desviación típica, aplicando la corrección de continuidad.
Ejemplo 7
Una aerolínea vende 210 billetes para 200 plazas y el 8 % de los pasajeros no se presenta. ¿Qué probabilidad hay de que falten asientos?
El número de pasajeros que se presentan es una binomial de 210 pruebas con probabilidad 0,92. Como hay muchas pruebas, se aproxima por una normal de media 193,2 y desviación típica de unos 3,93. Faltan asientos si se presentan 201 o más, que con la corrección de continuidad corresponde a valores mayores que 200,5. Tipificando se obtiene un valor de \(z\) de unos 1,86 y una probabilidad de aproximadamente 0,031: en unos 3 vuelos de cada 100 habrá que indemnizar a algún pasajero.
¡Atención!
La tabla de la normal solo da probabilidades de la forma «menor o igual que» para valores positivos de \(z\). Para valores negativos o para «mayor que», hay que usar la simetría de la campana y el complementario. En una distribución continua la probabilidad de un valor exacto es cero, así que da igual escribir menor o menor o igual. En la binomial, en cambio, sí importa: «más de 25» significa 26 o más. Por eso, al aproximar una binomial por una normal, hay que traducir con cuidado cada desigualdad y sumar o restar 0,5 según corresponda.
Interpretar los parámetros
Propiedad: qué significan la media y la desviación típica
La media indica dónde está el centro de la campana y la desviación típica indica lo ancha que es. Si dos poblaciones tienen la misma media pero distinta desviación típica, la de mayor desviación tiene más valores extremos. Para comparar datos de poblaciones distintas, como las notas de dos institutos con exámenes diferentes, se comparan los valores tipificados: indican a cuántas desviaciones típicas de la media está cada dato. En control de calidad se vigilan los dos parámetros: si la media se desplaza, aumentan los rechazos por un lado; si la desviación crece, aumentan por los dos.
Ejemplo 8
Lucía saca un 8 en un examen de media 6 y desviación 1,2; Pablo saca un 8,5 en otro de media 5 y desviación 2. ¿Quién ha quedado relativamente mejor?
Lucía está a \(\tfrac{8-6}{1{,}2}\approx1{,}67\) desviaciones típicas por encima de su media y Pablo a \(\tfrac{8{,}5-5}{2}=1{,}75\). Aunque las notas parecen parecidas, Pablo ha quedado en una posición relativa algo mejor: lo supera un 4 % de su grupo, mientras que a Lucía la supera un 4,75 % del suyo.
La binomial en situaciones reales
Propiedad: cuándo es razonable el modelo binomial
El modelo binomial exige que las pruebas sean independientes y que la probabilidad de éxito no cambie de una prueba a otra. En la práctica esto se cumple bien al lanzar monedas o dados, o al extraer con reemplazamiento. Si se extrae sin reemplazamiento de un grupo pequeño, la probabilidad cambia en cada extracción y la binomial no es adecuada; pero si el grupo es muy grande comparado con la muestra, como los clientes de una ciudad o las piezas de una gran fábrica, el cambio es tan pequeño que la binomial da resultados excelentes. Antes de aplicar la fórmula conviene escribir en una frase qué es una prueba, qué es un éxito y por qué las pruebas son independientes: en la PAU esa justificación suele puntuar.
Observación: la campana de Gauss
La distribución normal se llama también campana de Gauss, en honor de Carl Friedrich Gauss, que la usó a principios del siglo XIX para estudiar los errores de las medidas astronómicas. Antes, Abraham de Moivre había descubierto que la binomial con muchas pruebas se parece a esa campana, y Pierre-Simon Laplace generalizó el resultado. El teorema central del límite explica por qué aparece tanto: cuando una magnitud es la suma de muchos efectos pequeños e independientes, como la estatura, que depende de muchos genes y de la alimentación, su distribución se acerca a una normal.
El consejo de Otto
En una normal, dibuja la campana y sombrea lo que te piden. Si el área sombreada incluye el centro, será más de la mitad; si no, menos. Te avisa de resultados absurdos.
Cómo usar los apuntes de distribuciones binomial y normal de 2º Bachillerato Ciencias
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de distribuciones binomial y normal y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de distribuciones binomial y normal y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de distribuciones binomial y normal de 2º Bachillerato Ciencias reúnen todo lo necesario para el tema.
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