Distribuciones binomial y normal – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (3 puntos)

   1. En una distribución de probabilidad la suma de las probabilidades es 1: \(0{,}1+0{,}4+k+0{,}2=1\), luego \(k=1-0{,}7=0{,}3\). Además, \(k=0{,}3\) está entre 0 y 1, como debe ocurrir con cualquier probabilidad. (0,5 puntos)
   2. Multiplicamos cada valor por su probabilidad: \(\mu=1\cdot0{,}1+2\cdot0{,}4+3\cdot0{,}3+4\cdot0{,}2=0{,}1+0{,}8+0{,}9+0{,}8=2{,}6\). La media 2,6 queda entre los valores 2 y 3, algo más cerca de 2, que es el valor más probable. (1 punto)
   3. \(\sum x^2p=1\cdot0{,}1+4\cdot0{,}4+9\cdot0{,}3+16\cdot0{,}2=0{,}1+1{,}6+2{,}7+3{,}2=7{,}6\). La varianza es \(\sigma^2=7{,}6-2{,}6^2=7{,}6-6{,}76=0{,}84\) y la desviación típica \(\sigma=\sqrt{0{,}84}\approx0{,}917\). Se usa la fórmula abreviada \(\sigma^2=\sum x^2p-\mu^2\); el resultado es positivo, como toda varianza, y la desviación se expresa en las mismas unidades que \(X\). (1,5 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. Fórmula binomial con \(p=0{,}2\) y \(q=0{,}8\): \(P(X=2)=\binom{8}{2}0{,}2^2\cdot0{,}8^6=28\cdot0{,}04\cdot0{,}262144\approx0{,}2936\). El número \(\binom82=\frac{8\cdot7}{2}=28\) cuenta las formas de elegir qué dos clientes compran la funda. (1 punto)
   2. Usamos el suceso contrario, «ninguno compra funda»: \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^8=1-0{,}1678=0{,}8322\). Calcular directamente \(P(X=1)+\dots+P(X=8)\) sería mucho más largo; el contrario reduce el cálculo a un solo término. (1 punto)
   3. \(\mu=np=8\cdot0{,}2=1{,}6\) clientes y \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{8\cdot0{,}2\cdot0{,}8}=\sqrt{1{,}28}\approx1{,}131\). De cada 8 clientes, por término medio, 1,6 compran funda. La varianza es \(npq=1{,}28\) y su raíz cuadrada da la desviación típica. (1 punto)

   Respuesta: \(P(X=2)\approx0{,}29\), \(P(X\ge1)\approx0{,}83\), \(\mu=1{,}6\) y \(\sigma\approx1{,}13\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Tipificamos: \(z=\dfrac{6-5}{0{,}8}=1{,}25\). Como la tabla da el área a la izquierda, \(P(X>6)=1-\Phi(1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056\). (1,5 puntos)
   2. Los extremos 4 y 6 son simétricos respecto de la media: \(z=\pm1{,}25\). \(P(4<X<6)=\Phi(1{,}25)-\Phi(-1{,}25)=0{,}8944-0{,}1056=0{,}7888\). (1,5 puntos)
   3. Buscamos el peso que es mayor que el del 90 % de las sandías, es decir, el que deja por debajo un área de 0,90, con \(z=1{,}28\). Destipificamos con \(x=\mu+z\sigma\): \(x=5+1{,}28\cdot0{,}8=6{,}024\) kg. Solo el 10 % de las sandías pesa más de unos 6 kg. (1 punto)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(X\sim B(400;\,0{,}3)\). Como \(np=120\ge5\) y \(nq=280\ge5\), se aproxima por la normal de media \(120\) y desviación \(\sqrt{400\cdot0{,}3\cdot0{,}7}=\sqrt{84}=9{,}165\): \(X\approx N(120;\,9{,}165)\). Comprobar las condiciones \(np\ge5\) y \(nq\ge5\) forma parte de la puntuación de este apartado. (1 punto)
   2. \(X<130\) equivale a \(X\le129\); con la corrección de continuidad, \(P(Y<129{,}5)\). \(z=\dfrac{129{,}5-120}{9{,}165}=1{,}04\) y \(P=\Phi(1{,}04)=0{,}8508\). Sin la corrección de continuidad se obtendría \(z\approx1{,}09\), un resultado algo distinto. (1,5 puntos)
   3. \(X>110\) equivale a \(X\ge111\), es decir, \(P(Y>110{,}5)\). \(z=\dfrac{110{,}5-120}{9{,}165}=-1{,}04\) y, por simetría, \(P=\Phi(1{,}04)=0{,}8508\). Los dos resultados coinciden porque 129,5 y 110,5 están a la misma distancia, 9,5, de la media 120. (1,5 puntos)

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(P(X=9)=\binom{12}{9}0{,}7^9\cdot0{,}3^3=220\cdot0{,}040354\cdot0{,}027\approx0{,}2397\). El número combinatorio vale \(\binom{12}{9}=\binom{12}{3}=\frac{12\cdot11\cdot10}{6}=220\). (1 punto)
   2. Aprueban todos si los 12 aprueban: \(P(X=12)=0{,}7^{12}\approx0{,}0138\). Es un valor muy pequeño: solo en algo más del 1 % de los grupos aprobarían todos. (1 punto)
   3. Suspender como mucho 2 equivale a aprobar 10, 11 o 12: \(P(10)+P(11)+P(12)=0{,}1678+0{,}0712+0{,}0138=0{,}2528\). Cada término se calcula con la fórmula binomial; por ejemplo, \(P(X=11)=12\cdot0{,}7^{11}\cdot0{,}3\approx0{,}0712\). (1,5 puntos)
   4. \(\mu=np=12\cdot0{,}7=8{,}4\) aprobados y \(\sigma=\sqrt{12\cdot0{,}7\cdot0{,}3}=\sqrt{2{,}52}\approx1{,}587\). Es decir, se espera que aprueben unos 8 alumnos de cada 12. (1 punto)
   5. \(B(200;\,0{,}7)\approx N(140;\,\sqrt{42})=N(140;\,6{,}481)\), pues \(np\) y \(nq\) superan 5. \(P(X>150)=P(X\ge151)\approx P(Y>150{,}5)\); \(z=\dfrac{10{,}5}{6{,}481}=1{,}62\) y \(P=1-0{,}9474=0{,}0526\). La media es \(200\cdot0{,}7=140\) y la varianza \(200\cdot0{,}7\cdot0{,}3=42\). Solo en torno a un 5 % de las veces aprobarían más de 150. (1,5 puntos)

Total : 20 puntos