Probabilidad – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

← Volver al examen

1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(P(A\cap B)=0{,}6+0{,}5-0{,}8=0{,}3\). Se despeja de la fórmula de la probabilidad de la unión. (1 punto)
   2. Por De Morgan, \(\overline A\cup\overline B=\overline{A\cap B}\): \(1-0{,}3=0{,}7\). Es la probabilidad de que no ocurran los dos sucesos a la vez. (1 punto)
   3. \(\tfrac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6\). Se divide la probabilidad de la intersección entre la del suceso que condiciona. (1 punto)
   4. \(P(A)P(B)=0{,}3=P(A\cap B)\): sí son independientes (también \(P(A\mid B)=P(A)\)). Saber que ha ocurrido \(B\) no cambia la probabilidad de \(A\): vale 0,6 en los dos casos. (1 punto)

   Comprobación: \(P(\overline A\cap\overline B)=1-0{,}8=0{,}2\) y \(P(\overline A)P(\overline B)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2\), coherente con la independencia.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Mujeres: 40 en inglés y 20 en alemán (60). Hombres: 30 en inglés y 30 en alemán (60). Totales: 70 y 50. Filas: mujeres y hombres; columnas: inglés y alemán. Los hombres se obtienen restando: \(70-40=30\) y \(50-20=30\). (1 punto)
   2. \(\tfrac{60}{120}=0{,}5\). Por la regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles. (0,5 puntos)
   3. \(\tfrac{20}{60}=\tfrac13\approx0{,}33\). Al condicionar a «mujer», el espacio muestral se reduce a las 60 mujeres, de las que 20 estudian alemán. (1,25 puntos)
   4. \(\tfrac{30}{70}=\tfrac37\approx0{,}43\). Ahora el total son los 70 alumnos de inglés, de los que 30 son hombres. (1,25 puntos)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Soleado (0,6): vende más de 200 (0,3) o no (0,7). Nublado (0,4): vende más de 200 (0,1) o no (0,9). El árbol tiene dos niveles, el tipo de día y las ventas; las ramas que salen de cada nudo suman 1. (1 punto)
   2. \(0{,}6\cdot0{,}3+0{,}4\cdot0{,}1=0{,}18+0{,}04=0{,}22\). Teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que terminan en «más de 200». (1,5 puntos)
   3. \(\tfrac{0{,}18}{0{,}22}=\tfrac9{11}\approx0{,}82\). Teorema de Bayes: la rama «soleado y más de 200» entre la probabilidad total. Aunque solo el 60 % de los días son soleados, explican el 82 % de los días de muchas ventas. (1,5 puntos)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(0{,}7\cdot0{,}6=0{,}42\). Como son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto. (1 punto)
   2. Complementario de que no lo resuelva ninguna: \(1-0{,}3\cdot0{,}4=1-0{,}12=0{,}88\). Ana falla con 0,3 y Bea con 0,4, así que ninguna lo resuelve con \(0{,}3\cdot0{,}4\). También: \(0{,}7+0{,}6-0{,}42=0{,}88\). (1,5 puntos)
   3. Solo Ana: \(0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28\). \(\tfrac{0{,}28}{0{,}88}=\tfrac7{22}\approx0{,}32\). «Solo Ana» significa que Ana lo resuelve y Bea no; como ese suceso implica que el problema está resuelto, su intersección con «resuelto» es él mismo. (1,5 puntos)

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(0{,}7\cdot0{,}04+0{,}3\cdot0{,}1=0{,}028+0{,}03=0{,}058\). Probabilidad total con las ramas horno nuevo (0,7) y horno antiguo (0,3). (1 punto)
   2. \(\tfrac{0{,}03}{0{,}058}=\tfrac{15}{29}\approx0{,}52\): aunque el horno antiguo hace menos piezas, es el responsable de más de la mitad de los defectos. Por Bayes: la rama «antiguo y defectuosa» entre la probabilidad total de defecto. (1,5 puntos)
   3. \(1-(1-0{,}058)^2=1-0{,}942^2\approx0{,}1126\). Lo contrario de «al menos una con defectos» es «ninguna con defectos», con probabilidad 0,942 para cada pieza; \(0{,}942^2\approx0{,}8874\). (1,5 puntos)

Total : 20 puntos