Sistemas de ecuaciones – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Sustituimos \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\) en cada ecuación: \(1+2+3=6\) ✓; \(2-2+3=3\) ✓; \(1+4-3=2\) ✓. Como cumple las tres, \((1,2,3)\) sí es solución.
   2. Con \((2,1,3)\): la primera da \(2+1+3=6\) ✓, pero la segunda da \(4-1+3=6\neq3\). No es solución: para serlo tiene que cumplir todas las ecuaciones, y basta con que falle una.
   3. La matriz de coeficientes recoge los coeficientes de las incógnitas, fila a fila: \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{pmatrix}\). La ampliada añade la columna de términos independientes: \(A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right)\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. Escribimos coeficientes y términos independientes: \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\2&1&-1&1\\3&1&2&11\end{array}\right)\).
   2. Usamos la primera fila como pivote: \(F_2-2F_1\) y \(F_3-3F_1\) dan \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\0&-3&-3&-15\\0&-5&-1&-13\end{array}\right)\).
   3. Dividimos \(F_2\) entre \(-3\): \((0\ 1\ 1\,|\,5)\). Luego \(F_3+5F_2\): \((0\ 0\ 4\,|\,12)\), así que \(z=3\). Sustituyendo hacia arriba: \(y=5-3=2\) y \(x=8-2\cdot2-3=1\). La solución es \((1,2,3)\).
   4. Al escalonar quedan tres ecuaciones no nulas para tres incógnitas: el sistema es compatible determinado (SCD), con solución única.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(F_2-2F_1\): \((0\ -1\ 1\,|\,1)\); \(F_3-3F_1\): \((0\ -1\ 1\,|\,1)\). Las dos filas son iguales y \(F_3-F_2\) da \((0\ 0\ 0\,|\,0)\).
   2. Quedan dos ecuaciones útiles para tres incógnitas: SCI, infinitas soluciones.
   3. Tomamos \(z=\lambda\). De \(-y+z=1\): \(y=\lambda-1\). De la primera: \(x=3-y-z=3-(\lambda-1)-\lambda=4-2\lambda\). Solución: \((4-2\lambda,\ \lambda-1,\ \lambda)\).
   4. \(\lambda=0\): \((4,-1,0)\). \(\lambda=2\): \((0,1,2)\). Ambas cumplen las tres ecuaciones.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(F_2-F_1\): \((0\ -2\ 1\,|\,-1)\); \(F_3-2F_1\): \((0\ -2\ 1\,|\,1)\). Después \(F_3-F_2\): \((0\ 0\ 0\,|\,2)\).
   2. La última fila dice \(0=2\), imposible: sistema incompatible (SI), sin solución.
   3. Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene \(2x+3z=3\), pero la tercera dice \(2x+3z=5\): se contradicen.

5. Solución del ejercicio 5

   1. La matriz de coeficientes multiplica al vector de incógnitas: \(\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}\).
   2. \(|A|=2\cdot2-1\cdot3=1\neq0\), así que \(A\) es invertible. Con la fórmula de orden 2 (intercambiar la diagonal principal y cambiar de signo la secundaria): \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\).
   3. Multiplicando por \(A^{-1}\) por la izquierda: \(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2\cdot5-8\\-3\cdot5+2\cdot8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Es decir, \(x=2\) e \(y=1\).
   4. Primera ecuación: \(2\cdot2+1=5\) ✓. Segunda: \(3\cdot2+2\cdot1=8\) ✓. La solución es correcta.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Restando la primera ecuación a la segunda, \(F_2-F_1\), desaparecen \(x\) y \(z\): \(y=1\). Restándola a la tercera, \(F_3-F_1\): \((k-1)z=2\).
   2. Todo depende del coeficiente \(k-1\). Si \(k\neq1\), se puede despejar \(z=\dfrac{2}{k-1}\) y la solución es única: sistema compatible determinado. Si \(k=1\), la ecuación queda \(0\cdot z=2\), es decir, \(0=2\), imposible: sistema incompatible.
   3. Con \(k=3\): \(z=\dfrac{2}{3-1}=1\), \(y=1\) y, de la primera ecuación, \(x=1-y-z=1-1-1=-1\). Solución \((-1,1,1)\). Comprobación en la tercera: \(-1+1+3=3\) ✓.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(x\): camiseta, \(y\): pantalón, \(z\): zapatillas (en euros). \(\left\{\begin{array}{l}x+y+z=100\\3x+2y=95\\z=2(x+y)-20\end{array}\right.\)
   2. De la tercera, \(z=2x+2y-20\); sustituyendo en la primera, \(3x+3y=120\), es decir, \(x+y=40\). Con \(3x+2y=95\): restando \(2(x+y)=80\) queda \(x=15\); \(y=25\) y \(z=2\cdot40-20=60\).
   3. \(15+25+60=100\) ✓; \(45+50=95\) ✓; \(2\cdot40-20=60\) ✓. Camiseta 15 €, pantalón 25 € y zapatillas 60 €.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Las condiciones del enunciado dan tres ecuaciones. Kilos totales: \(a+n+h=10\). Coste igual a ingreso (sin ganar ni perder): \(12a+15n+10h=10\cdot11{,}8=118\). Proporción: \(h=2n\).
   2. Sustituimos \(h=2n\) en la primera: \(a=10-3n\). En la segunda: \(12(10-3n)+15n+20n=118\), es decir, \(120-n=118\), luego \(n=2\). Entonces \(h=4\) y \(a=4\): 4 kg de almendras, 2 de nueces y 4 de avellanas.
   3. \(12\cdot4+15\cdot2+10\cdot4=48+30+40=118\) €, que coincide con lo que se obtiene al venderla a 11,80 €/kg.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Llamamos \(a\), \(i\) y \(j\) a las entradas de adulto, infantiles y de jubilado. Número de entradas: \(a+i+j=200\). Recaudación: \(8a+5i+4j=1\,240\). Condición: \(a=i+j\).
   2. Sustituyendo \(i+j=a\) en la primera: \(2a=200\), luego \(a=100\) e \(i+j=100\). En la segunda: \(800+5i+4j=1\,240\), es decir, \(5i+4j=440\). Con \(j=100-i\): \(5i+400-4i=440\), así que \(i=40\) y \(j=60\). Se vendieron 100 entradas de adulto, 40 infantiles y 60 de jubilado.
   3. Las de adulto recaudan \(8\cdot100=800\) €, y \(\dfrac{800}{1\,240}\approx0{,}645\): el 64,5 % de la recaudación.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Sean \(p\), \(m\) y \(h\) las edades del padre, la madre y la hija. Las tres condiciones son: \(p+m+h=90\), \(p-m=3\) y \(p+m=5h\).
    2. Sustituimos \(p+m=5h\) en la primera: \(5h+h=90\), luego \(h=15\). Entonces \(p+m=75\) y \(p-m=3\); sumando, \(2p=78\), así que \(p=39\) y \(m=36\). Comprobación: \(39+36+15=90\).
    3. Dentro de \(t\) años, cada padre suma \(t\) años y la hija también: \(75+2t=3(15+t)\). Desarrollando, \(75+2t=45+3t\), luego \(t=30\) años. Entonces los padres sumarán 135 y la hija tendrá 45.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(A+B+C=20\), \(0{,}03A+0{,}04B+0{,}05C=0{,}84\) (es decir, \(3A+4B+5C=84\)), \(B=A+C\).
    2. De \(B=A+C\) y la primera: \(2B=20\), \(B=10\), \(A+C=10\). Entonces \(3A+40+5C=84\), \(3A+5C=44\); con \(A=10-C\): \(30+2C=44\), \(C=7\) y \(A=3\). Al 3 %: 3 000 €; al 4 %: 10 000 €; al 5 %: 7 000 €.
    3. \(20\,000\cdot0{,}04=800\) €, 40 € menos.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Cada recurso da una ecuación (fila de la tabla por las cantidades): \(\left\{\begin{array}{l}x+2y+3z=23\\2x+3y+z=18\\4x+3y+2z=27\end{array}\right.\)
    2. Con la primera fila como pivote: \(F_2-2F_1\) da \((0\ -1\ -5\,|\,-28)\) y \(F_3-4F_1\) da \((0\ -5\ -10\,|\,-65)\). Después \(F_3-5F_2\): \((0\ 0\ 15\,|\,75)\), luego \(z=5\). Sustituyendo: \(-y-25=-28\), \(y=3\); y \(x=23-6-15=2\). Se prepararon 2 tartas de queso, 3 de chocolate y 5 de manzana.
    3. En total son \(2+3+5=10\) tartas, que a 20 € cada una dan \(10\cdot20=200\) €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(x+y+z=10\), \(x+2y+3z=20\). Dos ecuaciones y tres incógnitas: SCI.
    2. Restando: \(y+2z=10\), \(y=10-2z\); y \(x=10-y-z=z\). Con \(z=\lambda\): \((\lambda,\ 10-2\lambda,\ \lambda)\).
    3. Hace falta \(\lambda\ge0\) y \(10-2\lambda\ge0\): \(\lambda=0,1,2,3,4,5\). Hay 6 ramos.
    4. \(\lambda\ge3\) y \(10-2\lambda\ge2\), es decir, \(\lambda\le4\): los ramos \((3,4,3)\) y \((4,2,4)\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(x+y+z=4\), \(x+2y+3z=9\), \(2x+3y+4z=a\). En efecto, \((1,1,1)+(1,2,3)=(2,3,4)\).
    2. \(F_3-F_1-F_2\): \(0=a-13\). Si \(a=13\), SCI; si \(a\neq13\), SI.
    3. Con \(a=13\): \(F_2-F_1\) da \(y+2z=5\). Con \(z=\lambda\): \(y=5-2\lambda\) y \(x=4-y-z=\lambda-1\). Solución \((\lambda-1,\ 5-2\lambda,\ \lambda)\).
    4. La tercera ecuación no aporta información nueva: es combinación de las otras dos. Con los datos disponibles no se pueden determinar las ventas.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(x+y+z=150\), \(10x+25y+6z=1\,780\), \(z=2y\).
    2. Con \(z=2y\): \(x=150-3y\). Sustituyendo: \(10(150-3y)+25y+12y=1\,780\), \(1\,500+7y=1\,780\), \(y=40\). Entonces \(z=80\) y \(x=30\): 30 camisetas, 40 sudaderas y 80 tazas.
    3. Camisetas \(30\cdot4=120\) €; sudaderas \(40\cdot10=400\) €; tazas \(80\cdot3=240\) €. Total: 760 €.
    4. Faltan \(900-760=140\) €; cada sudadera deja 10 €, así que harían falta 14 sudaderas más.
    5. La sudadera: deja 10 € por unidad, frente a 4 € la camiseta y 3 € la taza.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(\left\{\begin{array}{l}10x+20y+5z=75\\5x+2y+10z=44\\30x+10y+20z=140\end{array}\right.\)
    2. Dividiendo: \(2x+4y+z=15\) y \(3x+y+2z=14\); la segunda se queda igual.
    3. De \(2x+4y+z=15\): \(z=15-2x-4y\). Sustituyendo en \(3x+y+2z=14\): \(3x+y+30-4x-8y=14\), \(x+7y=16\). En la de grasas: \(5x+2y+150-20x-40y=44\), \(15x+38y=106\). Con \(x=16-7y\): \(240-105y+38y=106\), \(y=2\), \(x=2\), \(z=15-4-8=3\).
    4. 200 g de A, 200 g de B y 300 g de C.
    5. Sí: el determinante de la matriz de coeficientes es \(3\,350\neq0\), así que el sistema es compatible determinado para cualquier valor de los términos independientes (otra cosa es que la solución tenga cantidades positivas).

17. Solución del ejercicio 17

    1. A: \(x+y=400\). B: \(x+100=200+z\), es decir, \(x-z=100\). C: \(y+z=300\).
    2. La primera ecuación es la suma de las otras dos: \((x-z)+(y+z)=x+y=400\). Hay dos ecuaciones independientes y tres incógnitas: SCI.
    3. \(z=\lambda\), \(x=100+\lambda\), \(y=300-\lambda\).
    4. \(\lambda\ge0\) y \(300-\lambda\ge0\): \(0\le\lambda\le300\) coches por hora.
    5. \(\lambda=0\): \(x=100\), \(y=300\). Por la calle de A a C pasarían 300 coches por hora; es posible si esa calle admite ese tráfico, y el ayuntamiento debe comprobarlo antes de las obras.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(\left\{\begin{array}{l}3x+2y+3z=50\\2x+3y+z=38\\4x+y+2z=56\end{array}\right.\)
    2. Ordenamos con \(F_2\) arriba porque tiene \(z\) con coeficiente 1: de \(2x+3y+z=38\), \(z=38-2x-3y\). En \(F_1\): \(3x+2y+114-6x-9y=50\), \(3x+7y=64\). En \(F_3\): \(4x+y+76-4x-6y=56\), \(-5y=-20\), \(y=4\). Entonces \(x=12\) y \(z=38-24-12=2\). Menú 12 €, postre 4 € y café 2 €.
    3. Debería pagar \(5\cdot12+2\cdot4+4\cdot2=76\) €: se le han cobrado 4 € de más.
    4. \(48+16+4=68\) €.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(|A|=1\cdot(2a-9)-1\cdot(a-6)+1\cdot(3-4)=a-4\).
    2. Si \(a\neq4\): SCD para cualquier \(b\). Si \(a=4\): \(F_3-F_1-F_2\) da \(0=b-20\); con \(b=20\) es SCI y con \(b\neq20\) es SI.
    3. \(F_2-F_1\): \(y+2z=8\). \(F_3-2F_1\): \(y+3z=11\). Restando, \(z=3\), \(y=2\) y \(x=1\).
    4. Con \(z=\lambda\): \(y=8-2\lambda\), \(x=6-y-z=\lambda-2\). Para que todo sea positivo, \(2<\lambda<4\); por ejemplo, \(\lambda=3\) da \((1,2,3)\).
    5. Que la receta es imposible: con ese ingrediente no se puede conseguir esa cantidad de fibra cumpliendo las otras dos condiciones.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(V(-1)=a-b+c=6\), \(V(1)=a+b+c=4\), \(V(2)=4a+2b+c=9\).
    2. Restando las dos primeras: \(2b=-2\), \(b=-1\). Restando la segunda a la tercera: \(3a+b=5\), \(a=2\). Entonces \(c=4-2+1=3\): \(V(t)=2t^2-t+3\).
    3. \(V(3)=18-3+3=18\) miles de visitas.
    4. \(V(4)=32-4+3=31\neq30\). Con la cuarta ecuación \(16a+4b+c=30\) el sistema tiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas y es incompatible: ninguna parábola pasa exactamente por los cuatro puntos, aunque el modelo sigue siendo una buena aproximación.