Matrices – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Para sumar matrices de la misma dimensión se suman los elementos que ocupan la misma posición: \(A+B=\begin{pmatrix}1+0&2+4\\3-2&-1+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&6\\1&4\end{pmatrix}\).
   2. Restamos elemento a elemento: \(A-B=\begin{pmatrix}1-0&2-4\\3+2&-1-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\5&-6\end{pmatrix}\).
   3. Primero multiplicamos cada matriz por su número: \(2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&-2\end{pmatrix}\) y \(3B=\begin{pmatrix}0&12\\-6&15\end{pmatrix}\). Después restamos: \(2A-3B=\begin{pmatrix}2&-8\\12&-17\end{pmatrix}\).
   4. Las dos matrices tienen 2 filas y 2 columnas, así que son de dimensión \(2\times2\) (matrices cuadradas de orden 2), y por eso se pueden sumar y restar.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Cada elemento de \(AB\) es la fila de \(A\) por la columna de \(B\). Por ejemplo, el elemento \((1,1)\) es \(1\cdot0+2\cdot(-2)=-4\) y el \((1,2)\) es \(1\cdot4+2\cdot5=14\). Resulta \(AB=\begin{pmatrix}-4&14\\2&7\end{pmatrix}\).
   2. Ahora las filas de \(B\) por las columnas de \(A\): el elemento \((1,1)\) es \(0\cdot1+4\cdot3=12\) y el \((2,1)\) es \(-2\cdot1+5\cdot3=13\). Resulta \(BA=\begin{pmatrix}12&-4\\13&-9\end{pmatrix}\).
   3. No se cumple: \(AB\neq BA\), ya que, por ejemplo, sus primeros elementos son \(-4\) y \(12\). El producto de matrices no es conmutativo, así que el orden de los factores importa.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(C\) tiene 2 filas y 3 columnas, así que es \(2\times3\); \(D\) tiene 3 filas y 2 columnas, así que es \(3\times2\).
   2. Un producto existe si el número de columnas del primer factor coincide con el de filas del segundo. \(CD\): \((2\times3)\cdot(3\times2)\), existe y es \(2\times2\). \(DC\): \((3\times2)\cdot(2\times3)\), existe y es \(3\times3\).
   3. Fila por columna: el elemento \((1,1)\) es \(1\cdot1+0\cdot0+2\cdot3=7\) y el \((1,2)\) es \(1\cdot1+0\cdot2+2\cdot(-1)=-1\). Del mismo modo con la segunda fila: \(CD=\begin{pmatrix}7&-1\\2&4\end{pmatrix}\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas: la primera fila de \(M\) pasa a ser la primera columna. \(M^t=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}\), de dimensión \(3\times2\).
   2. \(I\) es \(2\times2\) y \(M\) es \(2\times3\), así que el producto existe. Como la identidad es el elemento neutro del producto, \(IM=M\).
   3. \(MM^t\) es \(2\times2\). Sus elementos: \(1+4+9=14\), \(4+10+18=32\), \(4+10+18=32\) y \(16+25+36=77\). Así \(MM^t=\begin{pmatrix}14&32\\32&77\end{pmatrix}\), una matriz simétrica, como ocurre siempre con \(MM^t\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Determinante de orden 2: producto de la diagonal principal menos producto de la secundaria. \(3\cdot4-5\cdot2=12-10=2\). Como es distinto de 0, la matriz tiene inversa.
   2. \(2\cdot3-6\cdot1=6-6=0\). La matriz no tiene inversa; de hecho, la primera fila es el doble de la segunda.
   3. Regla de Sarrus. Términos positivos: \(1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot2+0\cdot0\cdot0=1+12+0=13\). Términos negativos: \(0\cdot1\cdot2+2\cdot0\cdot1+1\cdot3\cdot0=0\). Luego \(\det=13-0=13\neq0\): tiene inversa.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(|A|=3\cdot4-5\cdot2=12-10=2\). Como es distinto de 0, la inversa existe.
   2. En la fórmula se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los de la secundaria y se divide entre el determinante: \(A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-5\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&- \dfrac{5}{2}\\-1&\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\).
   3. Multiplicamos fila por columna: \(A A^{-1}=\begin{pmatrix}3\cdot2+5\cdot(-1)&3\cdot(-\tfrac52)+5\cdot\tfrac32\\2\cdot2+4\cdot(-1)&2\cdot(-\tfrac52)+4\cdot\tfrac32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). Obtenemos la identidad, así que la inversa es correcta.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(|A|=2\cdot1-1\cdot1=1\neq0\), así que \(A\) tiene inversa y la ecuación tiene solución única.
   2. Multiplicamos los dos miembros por \(A^{-1}\) por la izquierda (el orden importa): \(A^{-1}AX=A^{-1}B\), es decir, \(X=A^{-1}B\).
   3. Con la fórmula de la inversa de orden 2: \(A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\).
   4. \(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1\cdot4-1\cdot1&1\cdot3-1\cdot2\\-4+2&-3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}\). Comprobación: \(AX=\begin{pmatrix}6-2&2+1\\3-2&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&3\\1&2\end{pmatrix}=B\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Primero pasamos \(B\) restando: \(XA=C-B\). Como \(A\) multiplica a \(X\) por la derecha, multiplicamos por \(A^{-1}\) también por la derecha: \(X=(C-B)A^{-1}\). Escribir \(A^{-1}(C-B)\) sería un error, porque el producto no es conmutativo.
   2. \(|A|=1\cdot1-2\cdot0=1\). Con la fórmula de orden 2, \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\).
   3. \(C-B=\begin{pmatrix}2&4\\1&4\end{pmatrix}\). Entonces \(X=(C-B)A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-4+4\\1&-2+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}\). Comprobación: \(XA+B=\begin{pmatrix}2&4\\1&4\end{pmatrix}+B=C\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(V=\begin{pmatrix}20&30&10\\15&25&20\end{pmatrix}\) y \(P=\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}\) (barra 3 €, magdalena 2 € y empanada 5 € por unidad).
   2. \(VP=\begin{pmatrix}170\\195\end{pmatrix}\): la primera panadería ingresa 170 € al día y la segunda 195 €.
   3. La segunda, con 195 € frente a 170 €.
   4. \(6\cdot(170+195)=6\cdot365=2\,190\) €.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(M\) es \(3\times2\), \(C\) es \(2\times2\) y \(MC\) es \(3\times2\).
    2. \(MC=\begin{pmatrix}13&14\\19&12\\10&4\end{pmatrix}\).
    3. \((MC)_{21}=1\cdot4+3\cdot5=19\) €: coste de materias primas del modelo 2 con el proveedor 1.
    4. Modelo 3 (fila 3): proveedor 1 cuesta \(10\) € y proveedor 2 cuesta \(4\) €; resulta más barato el proveedor 2.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(g_{23}=1\): hay línea directa del barrio 2 al barrio 3. \(g_{14}=0\): no hay línea directa del barrio 1 al 4.
    2. \(G^2=\begin{pmatrix}2&1&1&2\\1&3&2&1\\1&2&3&1\\2&1&1&2\end{pmatrix}\).
    3. \((G^2)_{14}=2\): hay 2 recorridos con una sola parada intermedia del barrio 1 al 4 (por el 2 o por el 3).
    4. \((G^2)_{11}=2\): hay 2 recorridos de ida y vuelta de longitud 2 que parten y terminan en el barrio 1 (por el 2 o por el 3).

12. Solución del ejercicio 12

    1. La fila 1 da el destino de los clientes de A (\(0{,}8+0{,}2=1\)) y la fila 2 el de B (\(0{,}3+0{,}7=1\)).
    2. \(v_1=(1000\ \ 500)T=(800+150\ \ 200+350)=(950\ \ 550)\).
    3. \(v_2=(950\ \ 550)T=(760+165\ \ 190+385)=(925\ \ 575)\).
    4. No: \(925+575=1\,500=1\,000+500\). La matriz de transición conserva el total.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Cada mesa da una ecuación: \(2x+y+z=9\), \(x+2y+z=7\), \(x+y+3z=10\). En forma matricial: \(\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\7\\10\end{pmatrix}\).
    2. Por Sarrus: \(|S|=(12+1+1)-(2+2+3)=14-7=7\). Como \(|S|\neq0\), \(S\) tiene inversa y el sistema tiene solución única.
    3. \(X=S^{-1}T=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}5\cdot9-2\cdot7-10\\-2\cdot9+5\cdot7-10\\-9-7+3\cdot10\end{pmatrix}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}21\\7\\14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\). El bocadillo cuesta 3 €, el refresco 1 € y el postre 2 €.
    4. Primera mesa: \(2\cdot3+1+2=9\). Segunda: \(3+2\cdot1+2=7\). Tercera: \(3+1+3\cdot2=10\). Las tres cuentas coinciden.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(|A|=1\cdot3-k\cdot2=3-2k\).
    2. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo. \(3-2k=0\) da \(k=\dfrac{3}{2}\): para ese valor no existe \(A^{-1}\); para cualquier otro, sí.
    3. Para \(k=0\): \(A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\), \(|A|=3\) y \(A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3&0\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\- \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\).
    4. Para \(k=1\): \(A=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\), \(|A|=1\) y \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\). Comprobación: \(AA^{-1}=\begin{pmatrix}3-2&-1+1\\6-6&-2+3\end{pmatrix}=I\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(Vp^t=\begin{pmatrix}1830\\1360\end{pmatrix}\): Centro 1 830 € y Norte 1 360 €.
    2. \(Vc^t=\begin{pmatrix}1060\\790\end{pmatrix}\): Centro 1 060 € y Norte 790 €.
    3. \(p-c=(5,\ 12,\ 18)\) y \(V(p-c)^t=\begin{pmatrix}770\\570\end{pmatrix}\). Comprobación: \(1\,830-1\,060=770\) y \(1\,360-790=570\).
    4. \(770+570=1\,340\) €.
    5. Al multiplicar \(V\) por \(1{,}1\) el beneficio también se multiplica por \(1{,}1\): \(1\,340\cdot1{,}1=1\,474\) €.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(X=TX+D\) implica \((I-T)X=D\) y \(X=(I-T)^{-1}D\), si \(I-T\) tiene inversa.
    2. \(I-T=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5}&- \dfrac{3}{10}\\- \dfrac{2}{5}&\dfrac{9}{10}\end{pmatrix}\) y \(|I-T|=0{,}72-0{,}12=0{,}6\neq0\).
    3. \((I-T)^{-1}=\dfrac{1}{0{,}6}\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}3\\0{,}4&0{,}8\end{pmatrix}\).
    4. \(X=\dfrac{1}{0{,}6}\begin{pmatrix}0{,}9\cdot120+0{,}3\cdot180\\0{,}4\cdot120+0{,}8\cdot180\end{pmatrix}=\dfrac{1}{0{,}6}\begin{pmatrix}162\\192\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}270\\320\end{pmatrix}\).
    5. \(TX+D\): \(0{,}2\cdot270+0{,}3\cdot320+120=270\) y \(0{,}4\cdot270+0{,}1\cdot320+180=320\). Hay que producir 270 unidades de A y 320 de I para cubrir la demanda externa y el consumo interno.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(x+y+z=10\,000\); \(0{,}02x+0{,}04y+0{,}06z=380\); \(x=2z\) (es decir, \(x-2z=0\)).
    2. Multiplicando la segunda ecuación por 100: \(\begin{pmatrix}1&1&1\\2&4&6\\1&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10000\\38000\\0\end{pmatrix}\).
    3. De \(x=2z\): \(y=10\,000-3z\). En la segunda: \(0{,}04z+0{,}04(10\,000-3z)+0{,}06z=380\), es decir \(-0{,}02z+400=380\) y \(z=1\,000\). Entonces \(x=2\,000\) e \(y=7\,000\).
    4. \(2\,000+7\,000+1\,000=10\,000\); \(40+280+60=380\). La rentabilidad media es \(\dfrac{380}{10\,000}=3{,}8\ \%\).

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(0{,}8a+0{,}3b=a\) y \(0{,}2a+0{,}7b=b\).
    2. La primera da \(0{,}3b=0{,}2a\), es decir \(a=1{,}5b\). Con \(a+b=1\): \(2{,}5b=1\).
    3. \(b=0{,}4\) y \(a=0{,}6\): reparto estable del 60 % para A y 40 % para B.
    4. A: \(0{,}6\cdot1\,500=900\) clientes; B: \(0{,}4\cdot1\,500=600\) clientes.
    5. \((0{,}6\ \ 0{,}4)T=(0{,}48+0{,}12\ \ \ 0{,}12+0{,}28)=(0{,}6\ \ 0{,}4)\). Se cumple.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Multiplicamos fila por columna: la primera fila da \(1\cdot S_n+50\cdot1=S_n+50\) y la segunda \(0\cdot S_n+1\cdot1=1\). Así \(A\begin{pmatrix}S_n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S_n+50\\1\end{pmatrix}\): cada mes se suman 50 €.
    2. \(A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1&100\\0&1\end{pmatrix}\) y \(A^3=A^2\cdot A=\begin{pmatrix}1&150\\0&1\end{pmatrix}\).
    3. Cada potencia suma 50 en la esquina superior derecha, así que \(A^n=\begin{pmatrix}1&50n\\0&1\end{pmatrix}\) (se demuestra por inducción).
    4. \(A^{12}\begin{pmatrix}200\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}200+50\cdot12\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}800\\1\end{pmatrix}\): a los 12 meses tiene 800 €.
    5. \(200+50n=1\,000\) da \(n=16\) meses.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(A^2=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot(-1)&0\\0&-1\cdot1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I\). Entonces \(A^4=(A^2)^2=(-I)^2=I\).
    2. En orden 2, multiplicar la matriz por 3 multiplica cada fila por 3, y el determinante por \(3^2\): \(|3A|=9\cdot4=36\). La traspuesta tiene el mismo determinante: \(|A^t|=4\). Y \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}=\dfrac{1}{4}\).
    3. No tiene inversa si su determinante es 0: \(x(x+1)-6=0\), es decir, \(x^2+x-6=0\), con \(x=2\) o \(x=-3\).
    4. \((A+B)^2=\begin{pmatrix}1&6\\1&4\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}7&30\\5&22\end{pmatrix}\), mientras que \(A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix}-9&48\\-6&38\end{pmatrix}\). Son distintas porque \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\) y \(AB\neq BA\).