Programación lineal – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. La recta pasa por \((0,8)\) y \((4,0)\). En \((0,0)\): \(0\le8\) es cierto, luego el semiplano es el que contiene al origen (por debajo de la recta).
   2. La recta \(x-y=-2\) pasa por \((0,2)\) y \((-2,0)\). En \((0,0)\): \(0\ge-2\) es cierto, luego el semiplano contiene al origen (por debajo de la recta).
   3. \((3,1)\): \(2\cdot3+1=7\le8\) y \(3-1=2\ge-2\); sí pertenece. \((1,5)\): \(2+5=7\le8\), pero \(1-5=-4\ge-2\) es falso; no pertenece.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Es el cuadrilátero limitado por los ejes y las rectas \(x+y=6\) (de \((6,0)\) a \((0,6)\)) y \(x+2y=8\) (de \((8,0)\) a \((0,4)\)):
   2. \((0,0)\), \((6,0)\), \((0,4)\) y el corte de \(x+y=6\) con \(x+2y=8\): restando, \(y=2\) y \(x=4\), es decir, \((4,2)\).
   3. \(F(0,0)=0\), \(F(6,0)=18\), \(F(4,2)=16\), \(F(0,4)=8\). El máximo es 18, en \((6,0)\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Las dos inecuaciones son del tipo \(\ge\), así que la región queda por encima de las rectas y se extiende sin límite hacia la derecha y hacia arriba:
   2. \((0,4)\), \((6,0)\) y el corte de \(x+y=4\) con \(x+3y=6\): restando, \(2y=2\), \(y=1\) y \(x=3\): \((3,1)\).
   3. \(F(0,4)=12\), \(F(3,1)=9\), \(F(6,0)=12\). El mínimo es 9, en \((3,1)\).
   4. No: \(F\) crece sin límite al alejarnos por la región (por ejemplo, \(F(x,0)=2x\) con \(x\) tan grande como se quiera).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(G(0,0)=0\), \(G(6,0)=6\), \(G(4,2)=8\), \(G(0,4)=8\).
   2. En \((4,2)\) y en \((0,4)\), con valor 8.
   3. Las rectas de nivel \(x+2y=k\) son paralelas al lado \(x+2y=8\), que une los dos vértices. Todos los puntos de ese segmento son óptimos; por ejemplo, el punto medio \((2,3)\): \(G(2,3)=2+6=8\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. La región es vacía: no puede ser a la vez \(x+y\le2\) y \(x+y\ge5\). No hay solución.
   2. La región no está acotada hacia arriba (por ejemplo, \((0,y)\) cumple para todo \(y\ge0\)) y \(F\) crece sin límite: no hay máximo.
   3. El mínimo existe: \(F\ge0\) en la región y \(F(0,0)=0\). El mínimo es 0, en el origen.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(2x+y\le40\), \(x+y\le30\), \(x\ge0\), \(y\ge0\). \(F(x,y)=50x+30y\).
   2. Vértices: \((0,0)\), \((20,0)\), \((0,30)\) y el corte de \(2x+y=40\) con \(x+y=30\): \(x=10\), \(y=20\).
   3. \(F(0,0)=0\), \(F(20,0)=1\,000\), \(F(10,20)=1\,100\), \(F(0,30)=900\). Máximo: 10 mesas y 20 sillas, con 1 100 €.
   4. No sobra nada: taller \(2\cdot10+20=40\) h y barnizado \(10+20=30\) h. Las dos restricciones se agotan.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(x\): kilos de A; \(y\): kilos de B. \(2x+y\ge8\), \(x+3y\ge9\), \(x,y\ge0\). Minimizar \(C=4x+3y\).
   2. \((0,8)\), \((9,0)\) y el corte de \(2x+y=8\) con \(x+3y=9\): de la primera, \(y=8-2x\); sustituyendo, \(x+24-6x=9\), \(x=3\), \(y=2\).
   3. \(C(0,8)=24\), \(C(3,2)=18\), \(C(9,0)=36\). Lo más barato son 3 kg de A y 2 kg de B: 18 € al día.
   4. Sí: proteína \(2\cdot3+2=8\) y vitaminas \(3+3\cdot2=9\). Se cumplen justo los mínimos.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(x\): miles en A; \(y\): miles en B. \(x+y\le30\), \(y\le18\), \(y\le2x\), \(x,y\ge0\). Maximizar \(R=0{,}05x+0{,}08y\).
   2. \((0,0)\), \((30,0)\); \(y=18\) con \(x+y=30\) da \((12,18)\); \(y=18\) con \(y=2x\) da \((9,18)\).
   3. \(R(30,0)=1{,}5\), \(R(12,18)=0{,}6+1{,}44=2{,}04\), \(R(9,18)=0{,}45+1{,}44=1{,}89\), \(R(0,0)=0\). Debe invertir 12 000 € en A y 18 000 € en B y gana 2 040 €.
   4. \(x+y=30\) (invierte todo) e \(y=18\) (el máximo en B). La condición \(y\le2x\) no se agota: \(18<24\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(x\): grandes; \(y\): pequeñas. \(20x+10y\ge120\) (es decir, \(2x+y\ge12\)), \(x+y\le8\), \(x\le5\), \(x,y\ge0\). Minimizar \(C=80x+50y\).
   2. \(2x+y=12\) con \(x+y=8\): \(x=4\), \(y=4\). \(2x+y=12\) con \(x=5\): \(y=2\). \(x=5\) con \(x+y=8\): \(y=3\). Vértices: \((4,4)\), \((5,2)\) y \((5,3)\).
   3. \(C(4,4)=520\), \(C(5,2)=500\), \(C(5,3)=550\). Debe usar 5 grandes y 2 pequeñas: 500 €.
   4. \(5\cdot20+2\cdot10=120\) cajas, justo las necesarias.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(x\): lotes A; \(y\): lotes B. \(3x+2y\le120\), \(x+2y\le80\), \(x,y\ge0\). Maximizar \(F=5x+6y\).
    2. Vértices: \((0,0)\), \((40,0)\), \((0,40)\) y el corte de las dos rectas: restando, \(2x=40\), \(x=20\), \(y=30\).
    3. \(F(40,0)=200\), \(F(20,30)=280\), \(F(0,40)=240\). Óptimo: 20 lotes A y 30 lotes B, con 280 €.
    4. Con \(F=5x+3y\): \(F(40,0)=200\), \(F(20,30)=190\), \(F(0,40)=120\). Sí cambia: convendría hacer solo 40 lotes A.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(x\): autobuses grandes; \(y\): pequeños. \(50x+30y\ge400\) (es decir, \(5x+3y\ge40\)), \(x+y\le10\), \(x\le8\), \(x,y\ge0\). Minimizar \(C=600x+400y\).
    2. \(5x+3y=40\) con \(x+y=10\): \(5x+30-3x=40\), \(x=5\), \(y=5\). \(5x+3y=40\) con \(y=0\): \(x=8\). \(x=8\) con \(x+y=10\): \(y=2\). Vértices: \((5,5)\), \((8,0)\) y \((8,2)\).
    3. \(C(5,5)=5\,000\), \(C(8,0)=4\,800\), \(C(8,2)=5\,600\). Lo más barato: 8 autobuses grandes, 4 800 €.
    4. \(\dfrac{4\,800}{400}=12\) € por alumno. No sobran plazas: \(8\cdot50=400\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. Tierra: \(x+y\le10\). Agua: \(4\,000x+2\,000y\le32\,000\), es decir, \(2x+y\le16\). Jornales: \(30x+60y\le480\), es decir, \(x+2y\le16\). Y \(x,y\ge0\).
    2. \((0,0)\), \((8,0)\), \((0,8)\); \(2x+y=16\) con \(x+y=10\): \((6,4)\); \(x+2y=16\) con \(x+y=10\): \((4,6)\).
    3. En miles de euros, \(F=3x+4y\): \(F(8,0)=24\), \(F(6,4)=34\), \(F(4,6)=36\), \(F(0,8)=32\). Óptimo: 4 ha de tomates y 6 ha de pimientos, con 36 000 €.
    4. Agua usada: \(4\cdot4\,000+6\cdot2\,000=28\,000\) m³; sobran 4 000 m³. La tierra y los jornales se agotan.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(3x+2y\ge24\) (en miles de personas), \(x\ge2\), \(y\le10\), \(y\ge0\). Minimizar \(C=200x+100y\).
    2. \(x=2\) con \(3x+2y=24\): \(y=9\). \(x=2\) con \(y=10\): \((2,10)\). \(3x+2y=24\) con \(y=0\): \((8,0)\). Vértices: \((2,9)\), \((2,10)\), \((8,0)\); la región no está acotada hacia la derecha.
    3. \(C(2,9)=1\,300\), \(C(2,10)=1\,400\), \(C(8,0)=1\,600\). La más barata: 2 anuncios de radio y 9 en redes, 1 300 €.
    4. No: la región no está acotada (se pueden añadir anuncios de radio sin límite), así que el coste no tiene máximo.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(x+y\le8\), \(x-y\le2\), \(y\le6\), \(x,y\ge0\). Vértices: \((0,0)\), \((2,0)\), \((5,3)\) (corte de \(x+y=8\) y \(x-y=2\)), \((2,6)\) (corte de \(x+y=8\) e \(y=6\)) y \((0,6)\).
    2. \(F(0,0)=0\), \(F(2,0)=40\), \(F(5,3)=190\), \(F(2,6)=220\), \(F(0,6)=180\). Máximo 220 € con 2 decenas de platea y 6 de anfiteatro.
    3. \(G(2,0)=2\), \(G(5,3)=2\) y en los demás es menor: el máximo, 2, se alcanza en todo el segmento que une \((2,0)\) y \((5,3)\), que es justo la condición «diferencia como mucho 2».

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(2x+y\le100\) (almendra), \(x+y\le70\) (miel), \(x+3y\le180\) (horno), \(x,y\ge0\). Maximizar \(F=4x+5y\).
    2. \((0,0)\), \((50,0)\), \((0,60)\); \(2x+y=100\) con \(x+y=70\): \((30,40)\); \(x+y=70\) con \(x+3y=180\): \(2y=110\), \((15,55)\).
    3. \(F(50,0)=200\), \(F(30,40)=320\), \(F(15,55)=335\), \(F(0,60)=300\). Óptimo: 15 cajas de duro y 55 de blando, 335 €.
    4. Con \(F=8x+5y\): \(F(50,0)=400\), \(F(30,40)=440\), \(F(15,55)=395\), \(F(0,60)=300\). Nuevo óptimo: 30 cajas de duro y 40 de blando, 440 €.
    5. Las rectas de nivel cambian de inclinación al cambiar los coeficientes de \(F\). Al girar, la última recta que toca la región puede apoyarse en otro vértice.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(x\): sacos A; \(y\): sacos B. Nitrógeno \(3x+y\ge12\); fósforo \(x+y\ge8\); potasio \(x+3y\ge12\); \(x,y\ge0\). Minimizar \(C=10x+8y\).
    2. \((0,12)\); \(3x+y=12\) con \(x+y=8\): \(x=2\), \(y=6\); \(x+y=8\) con \(x+3y=12\): \(y=2\), \(x=6\); \((12,0)\).
    3. \(C(0,12)=96\), \(C(2,6)=68\), \(C(6,2)=76\), \(C(12,0)=120\). Mínimo: 2 sacos A y 6 sacos B, 68 €.
    4. Nitrógeno \(3\cdot2+6=12\) (justo), fósforo \(2+6=8\) (justo), potasio \(2+18=20\): recibe 8 kg de potasio de más.
    5. La región no está acotada: comprar más sacos siempre cumple las condiciones, y el coste crecería sin límite.

17. Solución del ejercicio 17

    1. De B a T1: \(50-x\); de B a T2: \(50-y\).
    2. \(x,y\ge0\); \(x+y\le40\) (almacén A); \(50-x\ge0\) y \(50-y\ge0\); \((50-x)+(50-y)\le70\), es decir, \(x+y\ge30\) (almacén B).
    3. \(C=3x+5y+4(50-x)+2(50-y)=3x+5y+200-4x+100-2y=300-x+3y\).
    4. Vértices: \((30,0)\), \((40,0)\), \((0,40)\), \((0,30)\). \(C=270\), \(260\), \(420\) y \(390\). Mínimo 260 €: de A salen 40 cajas a T1; de B salen 10 a T1 y 50 a T2.
    5. De B salen \(10+50=60\) cajas, así que quedan \(70-60=10\).

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(x\le60\), \(y\le x\), \(x+y\ge50\), \(x+y\le100\), \(x,y\ge0\).
    2. \((50,0)\), \((60,0)\), \((60,40)\) (con \(x+y=100\)), \((50,50)\) (corte de \(y=x\) y \(x+y=100\)) y \((25,25)\) (corte de \(y=x\) y \(x+y=50\)).
    3. \(F=3x+2y\): \(150\), \(180\), \(260\), \(250\) y \(125\). Máximo 260 € con 60 kg de natural y 40 de torrefacto; mínimo 125 € con 25 kg de cada.
    4. \(\dfrac{40}{100}=40\) %.
    5. Los puntos del segmento de \(x+y=100\) entre \((50,50)\) y \((60,40)\): entre 50 y 60 kg de natural y el resto de torrefacto.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(x\): dobles; \(y\): triples. \(2x+3y\ge41\), \(x\le15\), \(y\le10\), \(x,y\ge0\) enteros. Minimizar \(C=60x+75y\).
    2. \(2x+3y=41\) con \(y=10\): \(x=5{,}5\); con \(x=15\): \(y=\dfrac{11}{3}\); y \((15,10)\). \(C(5{,}5;\ 10)=1\,080\), \(C\left(15,\tfrac{11}{3}\right)=1\,175\), \(C(15,10)=1\,650\). Mínimo continuo: 1 080 €.
    3. No vale: no se puede reservar media habitación. Con 6 dobles y 10 triples hay 42 plazas y cuesta \(360+750=1\,110\) €.
    4. Con \(y=10\): \(x\ge5{,}5\), \(x=6\), 1 110 €. Con \(y=9\): \(2x\ge14\), \(x=7\), \(420+675=1\,095\) €. Con \(y=8\): \(2x\ge17\), \(x=9\), \(540+600=1\,140\) €. Con menos triples el coste sigue subiendo. La mejor: 7 dobles y 9 triples, 1 095 €, con 41 plazas exactas.
    5. Redondear el vértice óptimo no siempre da la mejor solución entera: hay que comprobar los puntos enteros cercanos de la región.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Rectas de nivel: \(y=-\dfrac{p}{30}x+\dfrac{k}{30}\), pendiente \(-\dfrac{p}{30}\). Lado \(2x+y=40\): pendiente \(-2\); lado \(x+y=30\): pendiente \(-1\).
    2. El vértice \((10,20)\) es óptimo cuando la pendiente de las rectas de nivel está entre las de los dos lados: \(-2\le-\dfrac{p}{30}\le-1\), es decir, \(30\le p\le60\).
    3. \(p=70\): \(F(20,0)=1\,400\), \(F(10,20)=1\,300\), \(F(0,30)=900\); conviene fabricar 20 mesas. \(p=20\): \(F(20,0)=400\), \(F(10,20)=800\), \(F(0,30)=900\); conviene fabricar 30 sillas.
    4. Con \(p=30\), \(F=30(x+y)\) vale 900 en \((10,20)\) y en \((0,30)\): hay infinitas soluciones, todos los puntos del lado \(x+y=30\) entre esos dos vértices.