Derivadas – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Calculamos los valores extremos: \(f(1)=1-3=-2\) y \(f(4)=16-12=4\). La tasa de variación media es \(\mathrm{TVM}=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{4-(-2)}{3}=\dfrac{6}{3}=2\).
   2. \(f(2)=4-6=-2\), así que \(\mathrm{TVM}=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{-2-(-2)}{1}=0\).
   3. En \([1,4]\) la TVM es positiva: la función crece, por término medio, 2 unidades por cada unidad de \(x\). En \([1,2]\) es nula: no hay variación neta porque \(f(1)=f(2)\); la función baja y vuelve a subir, ya que el mínimo de la parábola, en \(x=1{,}5\), está entre ambos puntos.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Derivamos cada sumando con la regla de la potencia \((x^n)'=nx^{n-1}\); la constante tiene derivada 0: \(f'(x)=3x^2-8x+7\).
   2. La derivada de \(5x^2\) es \(10x\). Como \(\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}\), la de \(-\dfrac3x\) es \(+\dfrac3{x^2}\). Por tanto, \(g'(x)=10x+\dfrac{3}{x^2}\).
   3. Usamos \((\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}\) y \((\ln x)'=\dfrac1x\): \(h'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x}\), definida para \(x\gt 0\).
   4. La exponencial \(e^x\) es su propia derivada y la de \(-2x\) es \(-2\): \(k'(x)=3e^x-2\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Regla del producto \((uv)'=u'v+uv'\) con \(u=x^2\) y \(v=e^x\): \(f'(x)=2xe^x+x^2e^x\). Sacando factor común, \(f'(x)=e^x(x^2+2x)\).
   2. Regla del cociente \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\): \(g'(x)=\dfrac{2(x-3)-(2x+1)\cdot1}{(x-3)^2}=\dfrac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\dfrac{-7}{(x-3)^2}\).
   3. Regla de la cadena: la derivada de \(e^{u}\) es \(e^{u}\cdot u'\), con \(u=x^2\) y \(u'=2x\). Así \(h'(x)=2x\,e^{x^2}\).
   4. Regla de la cadena para el logaritmo, \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\), con \(u=3x+1\): \(k'(x)=\dfrac{3}{3x+1}\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Sustituimos: \(f(2)=4-4+3=3\). Derivamos, \(f'(x)=2x-2\), y evaluamos: \(f'(2)=2\).
   2. La recta tangente en \(x=a\) es \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\). Con \(a=2\): \(y-3=2(x-2)\), es decir, \(y=2x-1\).
   3. La tangente es horizontal cuando su pendiente vale 0: \(f'(x)=2x-2=0\) da \(x=1\). Como \(f(1)=1-2+3=2\), el punto es \((1,2)\), que es precisamente el vértice (mínimo) de la parábola.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\). Igualando a cero se obtienen los puntos críticos \(x=-1\) y \(x=1\).
   2. Estudiamos el signo de \(f'\) en cada intervalo (por ejemplo, con \(x=-2\), \(x=0\) y \(x=2\)): \(f'>0\) en \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\), donde \(f\) crece, y \(f'<0\) en \((-1,1)\), donde decrece.
   3. En \(x=-1\) la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en \((-1,2)\), porque \(f(-1)=-1+3=2\). En \(x=1\) pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en \((1,-2)\), porque \(f(1)=1-3=-2\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Aplicamos la regla del producto y la de la cadena, sabiendo que \((e^{-x})'=-e^{-x}\): \(f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x)\).
   2. Un producto es cero si lo es algún factor. Como la exponencial nunca se anula, \(f'(x)=0\) solo en \(x=0\) y \(x=2\).
   3. El factor \(e^{-x}\) es positivo, así que el signo lo dan \(x\) y \(2-x\). En \((0,2)\) \(f'>0\) y la función crece; en \((2,\infty)\) \(f'<0\) y decrece. Hay un mínimo en \(x=0\), con \(f(0)=0\), y un máximo en \(x=2\), con \(f(2)=4e^{-2}\approx0{,}54\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Sustituimos \(x=20\): \(C(20)=0{,}01\cdot8\,000-0{,}6\cdot400+400+100=80-240+400+100=340\) €.
   2. El coste marginal es la derivada del coste: \(C'(x)=0{,}03x^2-1{,}2x+20\). En \(x=20\): \(C'(20)=12-24+20=8\) € por jarrón.
   3. Cuando ya se fabrican 20 jarrones, producir el jarrón número 21 cuesta aproximadamente 8 € más.
   4. \(C(21)=92{,}61-264{,}6+420+100=348{,}01\) €, así que el coste real del jarrón 21 es \(C(21)-C(20)=8{,}01\) €, prácticamente igual al coste marginal \(C'(20)=8\) €.

8. Solución del ejercicio 8

   1. El ingreso marginal es la derivada del ingreso: \(I'(x)=60-x\).
   2. Resolvemos \(I'(x)=0\): \(x=60\) camisetas. Para \(x\lt 60\) \(I'>0\) y el ingreso crece; para \(x\gt 60\) \(I'<0\) y decrece. Es un máximo.
   3. \(I(60)=60\cdot60-0{,}5\cdot3\,600=3\,600-1\,800=1\,800\) €. Es el ingreso máximo semanal.
   4. \(I(100)=6\,000-5\,000=1\,000\) €, mucho menos que el máximo. Vender más camisetas no siempre aumenta los ingresos, porque para venderlas hay que bajar el precio.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Punto: \(f(1)=\ln1=0\). Pendiente: \(f'(x)=\dfrac1x\), luego \(f'(1)=1\). La tangente es \(y-0=1\cdot(x-1)\), es decir, \(y=x-1\).
   2. \(f(e)=\ln e=1\) y \(f'(e)=\dfrac{1}{e}\). Entonces \(y-1=\dfrac{1}{e}(x-e)\), que simplificada da \(y=\dfrac{x}{e}\): una recta que pasa por el origen.
   3. Cerca de \(x=1\) la tangente se parece mucho a la curva, así que \(\ln1{,}1\approx1{,}1-1=0{,}1\). El valor real es \(0{,}0953\): el error es de unas \(0{,}005\) unidades. La tangente da una buena aproximación cerca del punto de tangencia.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Derivamos término a término: \(f'(x)=3x^2-12x+9\).
    2. El nivel deja de subir o bajar donde la tangente es horizontal, \(f'(x)=0\): \(3x^2-12x+9=0\), y dividiendo entre 3, \(x^2-4x+3=0\). Las soluciones son \(x=1\) y \(x=3\) meses.
    3. \(f(1)=1-6+9+1=5\) m (máximo relativo) y \(f(3)=27-54+27+1=1\) m (mínimo relativo).
    4. Rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que pedimos \(f'(x)=-3\): \(3x^2-12x+12=0\), es decir, \(x^2-4x+4=(x-2)^2=0\), con \(x=2\) (raíz doble). Como \(f(2)=8-24+18+1=3\), el punto es \((2,3)\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. Los dos lados perpendiculares al muro gastan \(2x\) metros de valla; el resto, \(100-2x\), es el lado paralelo al muro.
    2. El área es base por altura: \(A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2\), con \(0\lt x\lt 50\).
    3. Derivamos e igualamos a cero: \(A'(x)=100-4x=0\), luego \(x=25\). Como \(A''(x)=-4<0\), se trata de un máximo.
    4. Los lados perpendiculares miden 25 m y el paralelo \(100-50=50\) m. El área máxima es \(A=25\cdot50=1\,250\) m\(^2\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. Al recortar \(x\) en cada esquina, la base es un cuadrado de lado \(12-2x\) y la altura es \(x\). Entonces \(V(x)=x(12-2x)^2\), con \(0<x<6\) para que existan la base y la altura.
    2. Producto y cadena: \(V'(x)=(12-2x)^2+x\cdot2(12-2x)(-2)=(12-2x)^2-4x(12-2x)=(12-2x)(12-6x)\), que se anula en \(x=6\) y \(x=2\).
    3. \(x=6\) no está en el dominio. Para \(x=2\), \(V'>0\) antes y \(V'<0\) después, así que es un máximo.
    4. \(V(2)=2\cdot(12-4)^2=2\cdot64=128\) cm\(^3\). La caja de mayor volumen mide \(8\times8\times2\) cm.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Derivamos el beneficio e igualamos a cero: \(B'(x)=-2x+70=0\), luego \(x=35\) docenas. Como \(B''(x)=-2\lt 0\), es un máximo.
    2. \(B(35)=-1\,225+2\,450-600=625\) €. Es el beneficio máximo diario.
    3. Buscamos dónde \(B(x)=0\): \(x^2-70x+600=0\), con soluciones \(x=10\) y \(x=60\). Al ser una parábola hacia abajo, hay beneficio positivo entre las raíces: si \(10<x<60\).
    4. \(B'(50)=-100+70=-30\). Es negativo: con 50 docenas, fabricar la docena número 51 reduce el beneficio en unos 30 €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Regla del cociente: \(c'(t)=\dfrac{100(t^2+16)-100t\cdot2t}{(t^2+16)^2}=\dfrac{100(16-t^2)}{(t^2+16)^2}\).
    2. El denominador es positivo, así que \(c'(t)=0\) cuando \(16-t^2=0\), es decir, \(t=4\) h (la raíz negativa no tiene sentido). \(c'>0\) antes y \(c'<0\) después: la concentración sube hasta \(t=4\) y luego baja.
    3. \(c(4)=\dfrac{100\cdot4}{16+16}=\dfrac{400}{32}=12{,}5\) mg/l es la concentración máxima.
    4. El grado del denominador es mayor que el del numerador, así que \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}c(t)=0\): con el tiempo el fármaco se elimina de la sangre.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(\overline{C}(x)=x+100+\dfrac{2\,500}{x}\); \(\overline{C}(25)=25+100+100=225\) € por bicicleta.
    2. \(\overline{C}'(x)=1-\dfrac{2\,500}{x^2}\).
    3. \(\overline{C}'(x)=0\) da \(x^2=2\,500\), \(x=50\) (solo la raíz positiva). El signo pasa de negativo a positivo: mínimo.
    4. \(\overline{C}(50)=50+100+50=200\) €.
    5. \(C'(x)=2x+100\), \(C'(50)=200\) €, igual que el coste medio mínimo (ocurre siempre en el mínimo del coste medio).

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(V'(t)=-3t^2+24t\).
    2. \(V''(t)=-6t+24=0\) da \(t=4\); la velocidad máxima es \(V'(4)=-48+96=48\) mil unidades al mes.
    3. \(V'=0\) en \(t=0\) y \(t=8\); \(V'>0\) en \((0,8)\): \(V\) es creciente en todo el intervalo.
    4. \(V(8)=-512+768=256\) mil unidades.
    5. Para \(t>8\), \(V'<0\) y las ventas acumuladas disminuirían, algo imposible: unas ventas acumuladas nunca decrecen.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Precio: \(10+x\); entradas: \(300-20x\).
    2. \(I(x)=(10+x)(300-20x)=3\,000+100x-20x^2\).
    3. \(I'(x)=100-40x=0\), \(x=2{,}5\); como \(I''=-40<0\), es máximo.
    4. Precio \(12{,}50\) €; entradas \(300-50=250\); \(I=12{,}5\cdot250=3\,125\) €.
    5. No: con 250 entradas no se supera el aforo de 340. (Bajar a 8 € llenaría la sala con 340 entradas, pero daría solo \(8\cdot340=2\,720\) €.)

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(T(0)=20-12e^{0}=20-12=8\) °C. \(T(4)=20-12e^{-1}\approx20-4{,}415=15{,}585\) °C.
    2. Por la regla de la cadena, \(T'(t)=-12\cdot(-0{,}25)e^{-0{,}25t}=3e^{-0{,}25t}\). Así \(T'(0)=3\) °C/h y \(T'(4)=3e^{-1}\approx1{,}104\) °C/h: al principio la sala se calienta más deprisa.
    3. La tangente en \(t=0\) pasa por \((0,8)\) con pendiente 3: \(y-8=3t\), es decir, \(y=3t+8\).
    4. Cuando \(t\to\infty\), \(e^{-0{,}25t}\to0\), luego \(T\to20\) °C: la sala se acerca a 20 °C sin llegar a superarlos.
    5. \(T'(t)=3e^{-0{,}25t}>0\) para todo \(t\), porque la exponencial es siempre positiva: \(T\) es creciente, aunque cada vez más despacio.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Sustituyendo \(x=0\) en \(f(x)=ax^2+bx+c\) se obtiene \(f(0)=c=3\).
    2. En el punto más bajo la tangente es horizontal. Como \(f'(x)=2ax+b\), la condición \(f'(1)=0\) da \(2a+b=0\).
    3. El punto \((1,1)\) está en la gráfica: \(f(1)=a+b+3=1\), es decir, \(a+b=-2\).
    4. De la segunda ecuación, \(b=-2a\). Sustituyendo en la tercera: \(a-2a=-2\), luego \(a=2\) y \(b=-4\). La parábola es \(f(x)=2x^2-4x+3\).
    5. \(a=2>0\): la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo, como debía ser. \(f(2)=8-8+3=3\), el punto simétrico de \((0,3)\) respecto del eje \(x=1\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(f'(x)=2x+a\). La pendiente de la tangente en \(x=1\) es \(f'(1)=2+a\); igualando a 5, \(a=3\).
    2. Regla del cociente: \(g'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\). Se anula si \(\ln x=1\), es decir, \(x=e\). \(g'>0\) antes y \(g'<0\) después: máximo en \(\left(e,\dfrac{1}{e}\right)\).
    3. \(f'(x)=3x^2+1\ge1>0\) para todo \(x\): la derivada nunca se anula ni cambia de signo, así que la función es siempre creciente y no tiene extremos relativos.
    4. Sean \(x\) y \(20-x\) los números. Su producto es \(P(x)=20x-x^2\); \(P'(x)=20-2x=0\) da \(x=10\), y \(P''=-2\lt 0\). El producto máximo es \(10\cdot10=100\).