Límites y continuidad – matemáticas 1º Grado (Universidad): ejercicios para descargar en PDF

Calcula los límites siguientes. Antes de factorizar, sustituye el valor y comprueba que aparece la indeterminación \(\frac00\).

1. \(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\)
2. \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}\)
3. \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x-2}\)

Cuando aparece una raíz cuadrada en una indeterminación \(\frac00\), multiplicamos numerador y denominador por el conjugado.

1. \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\)
2. \(\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}\)
3. \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\)

Divide numerador y denominador por la mayor potencia de \(x\) que aparece (o compara grados).

1. \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-x}{2x^2+5}\)
2. \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3+1}{x^2+x}\)
3. \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}\)

Reconoce el límite notable y ajusta el argumento con una constante adecuada.

1. \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}\)
2. \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x^2}\)
3. \(\lim_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}\)
4. \(\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{\sin2x}\)

Recuerda: si \(u\to0\), entonces \((1+u)^{1/u}\to e\). En general, \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\) cuando \(f\to1\) y \(g\to\infty\).

1. \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac2x\right)^{x}\)
2. \(\lim_{x\to0}(1+3x)^{1/x}\)
3. \(\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{x}\)

Sea \(f(x)=\dfrac{|x-2|}{x-2}\) si \(x\neq2\) y \(g(x)=\begin{cases}x^2&x<1\\ 3-x&x\ge1\end{cases}\).

1. Calcula \(\lim_{x\to2^-}f(x)\) y \(\lim_{x\to2^+}f(x)\). ¿Existe \(\lim_{x\to2}f(x)\)?
2. Calcula los límites laterales de \(g\) en \(x=1\) y decide si existe el límite.
3. ¿Es \(g\) continua en \(x=1\)? Justifícalo.

Una pequeña fábrica textil de Terrassa paga 500 € fijos al día de alquiler y 20 € de materiales y mano de obra por cada camiseta fabricada. El coste medio por unidad al producir \(x\) camisetas es \(C(x)=\dfrac{500+20x}{x}\). La tabla recoge algunos valores.

1. Comprueba con la fórmula que \(C(50)=30\) € y que \(C(10)=70\) €.
2. Calcula \(\lim_{x\to\infty}C(x)\) e interpreta el resultado.
3. Calcula \(\lim_{x\to0^+}C(x)\) e interpreta la asíntota vertical.
4. ¿A partir de cuántas camisetas el coste medio baja de 22 €?

Estudia \(f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-4}\).

1. Determina el dominio.
2. Halla las asíntotas verticales calculando los límites laterales.
3. Halla la asíntota horizontal.
4. Calcula \(f(0)\) y estudia el signo de \(f\) en los intervalos del dominio.

Considera \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1}&x\neq1\\ k&x=1\end{cases}\) y \(g(x)=\begin{cases}ax+1&x\le2\\ x^2+1&x>2\end{cases}\).

1. Calcula \(\lim_{x\to1}f(x)\) y halla \(k\) para que \(f\) sea continua en 1.
2. Halla \(a\) para que \(g\) sea continua en \(x=2\).
3. Con ese valor de \(a\), ¿es \(g\) continua en todo \(\mathbb R\)?

Clasifica la discontinuidad de cada función en el punto indicado (evitable, de salto o esencial).

1. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) en \(x=0\), con \(f(0)=0\).
2. \(g(x)=\dfrac{1}{x-3}\) en \(x=3\).
3. \(h(x)=\dfrac{x}{|x|}\) en \(x=0\).
4. \(k(x)=\sin\dfrac1x\) en \(x=0\).

Sea \(f(x)=x^3+x-1\).

1. Demuestra que \(f\) tiene una raíz en \((0,1)\).
2. Aplica dos pasos del método de bisección para localizarla en un intervalo de longitud \(\frac14\).
3. Justifica por qué la raíz es única (sin calcularla).

Un aparcamiento del centro de Valencia cobra 1,50 € la primera hora (o fracción) y 1 € por cada hora o fracción adicional, con un máximo de 8 € al día. Sea \(T(h)\) el precio en euros por \(h\) horas de estancia, con \(0\lt h\le10\).

1. Calcula \(T(0{,}5)\), \(T(1)\), \(T(1{,}2)\) y \(T(2)\).
2. Calcula los límites laterales de \(T\) en \(h=1\) y en \(h=2\). ¿Es continua?
3. ¿En qué intervalos es constante \(T\)? Describe la gráfica.
4. ¿Qué teorema falla para esta función en \([0{,}5;\,3]\)? Explica por qué no se aplica Bolzano.

En un laboratorio de la Universidad de Granada se cultivan bacterias en un medio limitado. El número de bacterias (en miles) al cabo de \(t\) horas sigue \(P(t)=\dfrac{1000}{1+9e^{-t/2}}\).

1. Calcula \(P(0)\): la población inicial.
2. Calcula \(\lim_{t\to\infty}P(t)\) e interpreta el resultado (capacidad del medio).
3. ¿En qué instante la población alcanza la mitad de ese límite?
4. ¿Existe algún \(t\) con \(P(t)=1000\)? Razona con el límite.

En una práctica de laboratorio de física se carga un condensador. La carga acumulada (en microculombios) es \(Q(t)=Q_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)\) con \(Q_0=80\) y \(\tau=2\) s.

1. Calcula \(Q(0)\) y \(\lim_{t\to\infty}Q(t)\).
2. Calcula \(\lim_{t\to0}\dfrac{Q(t)}{t}\) con un límite notable e interpreta el resultado como velocidad inicial de carga.
3. ¿Cuánto vale \(Q(2)\)? ¿Qué porcentaje de \(Q_0\) es?

Una comercializadora de electricidad de Sevilla factura el recibo mensual (en euros) según el consumo \(x\) (kWh) con la función \(F(x)=\begin{cases}12+0{,}15x&0\le x\le 100\\ a+0{,}12x&100\lt x\le 300\\ b+0{,}10x&x>300\end{cases}\). La empresa quiere que la factura no dé saltos al cruzar los tramos.

1. Halla \(a\) para que \(F\) sea continua en \(x=100\).
2. Con ese \(a\), halla \(b\) para que \(F\) sea continua en \(x=300\).
3. Calcula la factura de un hogar que consume 80, 250 y 400 kWh.
4. Calcula el precio medio \(F(x)/x\) para 400 kWh y su límite cuando \(x\to\infty\).

La temperatura en una estación meteorológica de Zaragoza durante un día de julio es una función continua \(T(h)\), con \(h\) en horas desde las 0:00. Se ha medido: \(T(0)=19\,^\circ\)C, \(T(6)=17\,^\circ\)C, \(T(15)=36\,^\circ\)C y \(T(24)=21\,^\circ\)C.

1. Demuestra que hubo al menos un instante entre las 6:00 y las 15:00 en que la temperatura fue exactamente 30 °C.
2. Demuestra que la temperatura fue de 25 °C al menos dos veces en el día.
3. ¿Se puede asegurar que a alguna hora la temperatura fue 40 °C? Razona.
4. Explica por qué existen una temperatura máxima y una mínima en el día.

El beneficio diario (en cientos de euros) de una tienda de Bilbao, durante las \(x\) primeras horas de apertura, viene dado por \(B(x)=-x^3+9x^2-15x+10\) con \(0\le x\le 8\).

1. Justifica que \(B\) alcanza máximo y mínimo absolutos en \([0,8]\).
2. Calcula \(B'(x)\) y resuelve \(B'(x)=0\).
3. Evalúa \(B\) en los puntos críticos y en los extremos y determina máximo y mínimo.
4. Interpreta el resultado: ¿cuándo es máximo el beneficio?

El criterio del sándwich dice que si \(h(x)\le f(x)\le g(x)\) cerca de \(a\) y \(h,g\to L\), entonces \(f\to L\).

1. Demuestra que \(\lim_{x\to0}x^2\sin\dfrac1x=0\).
2. Calcula \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{\cos x}{x}\).
3. Calcula \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}\).
4. Explica por qué no se puede usar el sándwich para \(\lim_{x\to\infty}\sin x\).

Una empresa de Murcia fabrica piezas cilíndricas con diámetro \(d=3x-1\) mm, siendo \(x\) un parámetro de ajuste de la máquina. Para \(x=2\) el diámetro nominal es 5 mm. Se exige que el diámetro esté a menos de \(\varepsilon\) mm del nominal.

1. Escribe \(|f(x)-5|\) con \(f(x)=3x-1\) en función de \(|x-2|\).
2. Si \(\varepsilon=0{,}03\) mm, halla el mayor \(\delta\) que garantiza \(|f(x)-5|\lt \varepsilon\) cuando \(0<|x-2|\lt \delta\).
3. Demuestra con la definición que \(\lim_{x\to2}(3x-1)=5\) eligiendo \(\delta=\varepsilon/3\).
4. Interpreta \(\delta\) en el taller: ¿con qué precisión debe ajustarse la máquina?

Estos límites combinan varias técnicas. Justifica cada paso. (Puedes usar los desarrollos \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots\) y \(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots\), que veremos con Taylor.)

1. \(\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\)
2. \(\lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{1/x}-e}{x}\)
3. \(\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\)