Representación de funciones – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\mathrm{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{1\}\). Cortes: \((0,-2)\) y \((-2,0)\). Eje Y: \(f(0)=\frac{2}{-1}=-2\). Eje X: el numerador se anula en \(x=-2\). (1 punto)
   2. Vertical \(x=1\) (el numerador vale 3); horizontal \(y=1\) (mismo grado, cociente de coeficientes 1). Límites laterales: \(\lim_{x\to1^-}f=-\infty\) y \(\lim_{x\to1^+}f=+\infty\), porque el numerador vale 3, positivo, cerca de 1. (1,5 puntos)
   3. \(f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\): decreciente en \((-\infty,1)\) y en \((1,+\infty)\); no tiene extremos. El numerador de la derivada es constante y negativo y el denominador siempre positivo; no se dice «decreciente en todo el dominio», porque \(f(0)=-2\lt f(2)=4\). (1,5 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(x^2(x-3)=0\): \((0,0)\) y \((3,0)\). Se saca factor común \(x^2\): la raíz \(x=0\) es doble y la gráfica es tangente al eje X en el origen. (1 punto)
   2. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Crece en \((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\), decrece en \((0,2)\). Máximo \((0,0)\) y mínimo \((2,-4)\). Signo de \(f'\): positivo fuera de \([0,2]\) y negativo dentro. Valores: \(f(0)=0\) y \(f(2)=8-12=-4\). (1,5 puntos)
   3. \(f''(x)=6x-6\): cóncava (\(\cap\)) en \((-\infty,1)\), convexa (\(\cup\)) en \((1,+\infty)\). Inflexión \((1,-2)\). La segunda derivada cambia de signo en \(x=1\) y \(f(1)=1-3=-2\). El punto de inflexión es el punto medio de los dos extremos, como en toda cúbica.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Vertical \(x=0\). Oblicua: \(f(x)=x+\dfrac4x\), luego \(y=x\). Los límites laterales en 0 son \(-\infty\) por la izquierda y \(+\infty\) por la derecha. No hay horizontal porque el grado del numerador supera en uno al del denominador. Como \(f(x)-x=\frac4x\), la curva queda por encima de la oblicua para \(x\gt0\) y por debajo para \(x\lt0\). (1,5 puntos)
   2. \(f'(x)=1-\dfrac4{x^2}=0\) en \(x=\pm2\). Máximo \((-2,-4)\) y mínimo \((2,4)\). Signo de \(f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}\): positivo si \(|x|\gt2\) y negativo si \(0\lt|x|\lt2\). Valores: \(f(2)=\frac82=4\) y \(f(-2)=-4\). El máximo relativo queda por debajo del mínimo relativo porque están en ramas distintas. (1,5 puntos)
   3. Gráfica:
      La función es impar, \(f(-x)=-f(x)\): la gráfica es simétrica respecto del origen y no corta a los ejes. (1 punto)

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0\): \(y=0\) por la derecha. Es una indeterminación \(\frac\infty\infty\): la exponencial crece mucho más deprisa que \(x\) (por L'Hôpital, \(\frac1{e^x}\to0\)). Por la izquierda, \(xe^{-x}\to-\infty\) y no hay asíntota. (1 punto)
   2. \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\): crece en \((-\infty,1)\) y decrece después; máximo \(\left(1,\dfrac1e\right)\). Se deriva con la regla del producto: \(e^{-x}-xe^{-x}\). Como \(e^{-x}\gt0\), el signo depende solo de \(1-x\). El valor máximo es \(f(1)=e^{-1}\approx0{,}368\). (1 punto)
   3. \(f''(x)=e^{-x}(x-2)\): inflexión en \(\left(2,\dfrac2{e^2}\right)\approx(2;\ 0{,}271)\). Al derivar \(f'\): \(-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(x-2)\). Es cóncava en \((-\infty,2)\) y convexa en \((2,+\infty)\). (1 punto)

   Las tres conclusiones encajan: la curva sube hasta \(x=1\), baja después y se aplana hacia \(y=0\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(M(x)=x+16+\dfrac{64}{x}\). Asíntota vertical \(x=0\) y oblicua \(y=x+16\). \(M'(x)=1-\dfrac{64}{x^2}=0\) en \(x=8\): mínimo \(M(8)=8+16+8=32\). Para la oblicua se observa que \(M(x)-(x+16)=\frac{64}x\to0\). El mínimo se confirma porque \(M'\) pasa de negativa a positiva en \(x=8\). (2 puntos)
   2. \(B(x)=40x-x^2-16x-64=-x^2+24x-64\); \(B'(x)=-2x+24=0\) en \(x=12\), \(B(12)=-144+288-64=80\) cientos de euros. La segunda derivada, \(B''(x)=-2\), confirma que se trata de un máximo. (1,5 puntos)
   3. \(-x^2+24x-64=0\) da \(x=12\pm\sqrt{80}\): entre unos 306 y 2 094 ejemplares. (1 punto)
   4. 1 200 ejemplares, que dan el beneficio máximo de 8 000 €, aunque el coste medio mínimo esté en 800. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos