Probabilidad – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Despejamos de la fórmula de la unión, \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\): \(P(A\cap B)=0{,}4+0{,}5-0{,}7=0{,}2\). Este valor es menor que \(P(A)\) y que \(P(B)\), como debe ser para una intersección. (1 punto)
   2. Por la definición de probabilidad condicionada: \(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\). Saber que ha ocurrido \(B\) no modifica la probabilidad de \(A\). (1 punto)
   3. Sí son independientes: \(P(A)P(B)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2=P(A\cap B)\). También se ve en que \(P(A|B)=0{,}4=P(A)\). (1 punto)
   4. Por De Morgan, \(\bar A\cap\bar B=\overline{A\cup B}\), así que \(P(\bar A\cap\bar B)=1-P(A\cup B)=1-0{,}7=0{,}3\). Es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos. (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Menores de 25: 135 sí y \(180-135=45\) no. De 25 o más: 72 sí y \(120-72=48\) no. Totales: \(135+72=207\) sí, \(45+48=93\) no, y 300 en total. (1 punto)
   2. Por Laplace: \(P(\text{sí})=\dfrac{207}{300}=0{,}69\). Son 207 casos favorables entre 300 posibles. (1 punto)
   3. Condicionamos a los 207 que quieren volver: \(P(\text{menor de }25|\text{sí})=\dfrac{135}{207}=\dfrac{15}{23}\approx0{,}6522\). (1 punto)
   4. No son independientes: \(P(\text{sí}|\text{menor de }25)=\dfrac{135}{180}=0{,}75\) y \(P(\text{sí}|25\text{ o más})=\dfrac{72}{120}=0{,}6\), ambas distintas de \(P(\text{sí})=0{,}69\). Los jóvenes quieren volver más. (1 punto)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Teorema de la probabilidad total, con las ramas autobús (0,6) y metro (0,4): \(P(P)=0{,}6\cdot0{,}7+0{,}4\cdot0{,}9=0{,}42+0{,}36=0{,}78\). Es decir, el 78 % de los días llega puntual. (1,5 puntos)
   2. Teorema de Bayes: \(P(M|P)=\dfrac{P(M\cap P)}{P(P)}=\dfrac{0{,}36}{0{,}78}=\dfrac6{13}\approx0{,}4615\). El numerador es la rama «metro y puntual»: \(0{,}4\cdot0{,}9=0{,}36\). (1,5 puntos)
   3. Llega tarde con probabilidad \(P(\bar P)=1-0{,}78=0{,}22\). Los días en autobús con retraso son \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). Por Bayes, \(P(A|\bar P)=\dfrac{0{,}18}{0{,}22}=\dfrac9{11}\approx0{,}8182\): la mayoría de los retrasos ocurren en autobús. (1 punto)

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Sin reemplazamiento, la primera de fresa tiene probabilidad \(\dfrac4{10}\) y, quedando 3 de 9, la segunda \(\dfrac39\): \(P(FF)=\dfrac4{10}\cdot\dfrac39=\dfrac{12}{90}=\dfrac2{15}\). Se multiplican las probabilidades a lo largo de las ramas del árbol. (1 punto)
   2. Hay dos caminos con sabores distintos, \(FL\) y \(LF\): \(\dfrac4{10}\cdot\dfrac69+\dfrac6{10}\cdot\dfrac49=\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{48}{90}=\dfrac8{15}\). Error frecuente: contar solo el orden \(FL\) y olvidar \(LF\). (1 punto)
   3. «Al menos uno de limón» es el contrario de «los dos de fresa»: \(1-\dfrac2{15}=\dfrac{13}{15}\approx0{,}867\). Comprobación: \(P(LL)=\frac6{10}\cdot\frac59=\frac5{15}\) y \(\frac2{15}+\frac8{15}+\frac5{15}=1\). (1 punto)

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Primer nivel: mañana \(0{,}45\), tarde \(0{,}35\), noche \(0{,}20\). Segundo nivel: defectuosa \(0{,}02\), \(0{,}03\) y \(0{,}05\). (1 punto)
   2. \(P(D)=0{,}45\cdot0{,}02+0{,}35\cdot0{,}03+0{,}2\cdot0{,}05=0{,}009+0{,}0105+0{,}01=0{,}0295\). (1 punto)
   3. Mañana: \(\dfrac{0{,}009}{0{,}0295}\approx0{,}3051\); tarde: \(\dfrac{0{,}0105}{0{,}0295}\approx0{,}3559\); noche: \(\dfrac{0{,}01}{0{,}0295}\approx0{,}3390\). (1,5 puntos)
   4. \(P(\bar D)=0{,}9705\); \(P(\text{mañana}|\bar D)=\dfrac{0{,}45\cdot0{,}98}{0{,}9705}=\dfrac{0{,}441}{0{,}9705}\approx0{,}4544\). (1 punto)
   5. El de noche: produce solo el 20 % de las piezas pero tiene la tasa de defectos más alta (5 %), y genera casi un tercio de las defectuosas. El de tarde aporta algo más de defectuosas en total, pero porque fabrica más. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos