Integrales y aplicaciones – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (6 puntos)

   Criterios. Se valora identificar la técnica (cambio de variable, partes, fracciones simples) y aplicar bien la regla de Barrow.

   1. El numerador es la derivada del denominador: \(\ln(x^2+3x+5)+C\). Es inmediata, del tipo \(\int\frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|\); el valor absoluto sobra porque \(x^2+3x+5\gt 0\) (discriminante negativo).
   2. Por partes: \(\int xe^{-x}=-xe^{-x}-e^{-x}\). Entre 0 y 1: \((-e^{-1}-e^{-1})-(-1)=1-\frac2e\approx0{,}264\). Se toma \(u=x\) y \(dv=e^{-x}dx\).
   3. \(\int\frac{dx}{x^2+4}=\frac12\arctan\frac x2\). Entre 0 y 2: \(\frac12\cdot\frac\pi4=\frac\pi8\). Se usa \(\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa\) con \(a=2\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora hallar los puntos de corte, decidir qué curva está encima y calcular el área sin errores de signo.

   1. \(\sqrt x=x^2\iff x=0\) o \(x=1\). En \((0,1)\), \(\sqrt x\gt x^2\) (por ejemplo, en \(x=\frac14\): \(0{,}5\gt 0{,}0625\)). Elevando al cuadrado, \(x=x^4\), es decir, \(x(x^3-1)=0\).
   2. \(A=\int_0^1(\sqrt x-x^2)\,dx=\left[\frac23x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac23-\frac13=\frac13\). El área es la integral de la curva superior menos la inferior. Comprobación: el área es positiva y menor que 1, el área del cuadrado \([0,1]\times[0,1]\) que contiene la región.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Criterios. Se valora escribir la integral impropia como límite y concluir con claridad si converge o diverge.

   1. \(\int_1^bx^{-3}dx=\frac12\left(1-\frac1{b^2}\right)\to\frac12\). Converge. Se escribe como \(\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-3}dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^b\). En general, \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}\) converge si y solo si \(p\gt 1\); aquí \(p=3\).
   2. Por partes, \(\int_0^bxe^{-x}dx=1-(b+1)e^{-b}\to1\). Converge a 1. Con \(u=x\) y \(dv=e^{-x}dx\): \(\int xe^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}\). El término \((b+1)e^{-b}\) tiende a 0 porque la exponencial crece más deprisa que cualquier polinomio.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   Criterios. Se valora plantear la fórmula de los discos, calcular el límite y comentar la paradoja del resultado.

   1. \(\pi\int_1^\infty x^{-2}dx=\pi\cdot1=\pi\). Por el método de los discos, \(V=\pi\int_1^\infty\left(\frac1x\right)^2dx\), y \(\int_1^b x^{-2}dx=1-\frac1b\to1\).
   2. La integral de \(x^{-2}\) converge, mientras que \(\int\frac{dx}{x}\) diverge; el volumen es finito aunque la longitud de la curva y el área bajo ella no lo son. La paradoja: se podría llenar con \(\pi\) unidades cúbicas de pintura, pero no habría pintura suficiente para cubrir su superficie.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora relacionar caudal y volumen mediante la integral y responder a cada pregunta con unidades.

   1. \(\int_0^{30}0{,}6t\,dt=\left[0{,}3t^2\right]_0^{30}=270\) m³. El volumen que sale es la integral del caudal, que es la tasa de salida.
   2. \(500-270=230\) m³. Queda el 46 % del volumen inicial.
   3. \(0{,}3t^2=125\Rightarrow t^2=416{,}7\Rightarrow t\approx20{,}4\) min. Un cuarto de 500 m³ son 125 m³; se busca \(T\) con \(\int_0^T0{,}6t\,dt=0{,}3T^2=125\) y se toma la raíz positiva.
   4. \(V(t)=500-0{,}3t^2\) y \(V'(t)=-0{,}6t\), luego \(V'(10)=-6\) m³/min. La derivada negativa indica que a los 10 minutos el tanque pierde 6 m³ por minuto, justo el caudal \(q(10)\).

Total : 20 puntos