Vektorräume, Basis und Dimension – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Entscheiden Sie, ob die Teilmenge ein Unterraum des \(\mathbb R^3\) ist. Beweisen Sie Ihre Antwort oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

a) \(U_1=\{(x,y,z):x=2y\}\)
b) \(U_2=\{(x,y,z):z=1\}\)
c) \(U_3=\{(x,y,z):x^2=y\}\)
d) \(U_4=\{(x,y,z):x+y+z=0\text{ und }x=z\}\)

Schreiben Sie \(v=(5,1,4)\) als Linearkombination von \(a=(1,0,1)\), \(b=(1,1,0)\) und \(c=(0,1,1)\).

a) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten auf.
b) Lösen Sie es.
c) Ist die Darstellung eindeutig? Begründen Sie.

Untersuchen Sie die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit. Geben Sie bei Abhängigkeit eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors an.

a) \((1,2,3)\), \((4,5,6)\), \((7,8,9)\)
b) \((1,1,0)\), \((0,1,1)\), \((1,0,1)\)
c) \((1,2)\), \((3,4)\), \((5,6)\)

Gegeben ist \(U=\{x\in\mathbb R^4:x_1+x_2+x_3+x_4=0\}\).

a) Begründen Sie, dass \(U\) ein Unterraum ist, und bestimmen Sie \(\dim U\) mit der Dimensionsformel.
b) Geben Sie eine Basis von \(U\) an.
c) Liegt \((1,2,-3,0)\) in \(U\)? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Koordinaten.

Bestimmen Sie die Koordinaten bezüglich der angegebenen Basis.

a) \(v=(3,1)\) und \(w=(0,4)\) bezüglich \(b_1=(1,1)\), \(b_2=(1,-1)\)
b) \(p(x)=x^2\) bezüglich der Basis \(1,\;x-1,\;(x-1)^2\) von \(P_2\)
c) Warum verwendet man bei Taylorpolynomen die Basis aus Potenzen von \(x-a\)?

Im Raum \(P_2\) der Polynome vom Grad höchstens \(2\) betrachten wir \(p_1=1+x\), \(p_2=1-x\), \(p_3=x^2\).

a) Zeigen Sie, dass \(p_1,p_2,p_3\) linear unabhängig sind.
b) Folgern Sie ohne weitere Rechnung, dass sie eine Basis von \(P_2\) bilden.
c) Bestimmen Sie die Koordinaten von \(q=3+x+2x^2\).

Bildschirmfarben werden als Vektoren \((r,g,b)\) mit Rot-, Grün- und Blauanteil beschrieben. Wir rechnen mit reellen Anteilen. Rot ist \((255,0,0)\), Gelb ist \((255,255,0)\), Magenta ist \((255,0,255)\).

a) Mischen Sie Orange \((255,128,0)\) als Linearkombination von Rot und Gelb.
b) Lässt sich Magenta aus Rot und Gelb mischen? Begründen Sie.
c) Zeigen Sie, dass Rot, Gelb und Magenta eine Basis des \(\mathbb R^3\) bilden.
d) Warum braucht ein Bildschirm genau drei Grundfarben und nicht zwei oder vier?

Ein Getränkehersteller beschreibt jeden Saft durch den Vektor (Vitamin C, Vitamin A, Zucker) in passenden Einheiten pro Liter: Apfel \(A=(2,1,10)\), Birne \(B=(1,3,8)\), Cocktail \(C=(3,4,18)\).

a) Zeigen Sie, dass \(A,B,C\) linear abhängig sind, und deuten Sie das.
b) Lässt sich ein Saft mit dem Vektor \((5,5,28)\) mischen? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Anteile.
c) Lässt sich \((5,5,30)\) mischen?
d) Welche Dimension hat der Raum aller mischbaren Vektoren?

Ein \(3\times3\)-Zahlenquadrat heißt magisch, wenn alle Zeilen, Spalten und beide Diagonalen dieselbe Summe haben. Das berühmte Lo-Shu-Quadrat aus China ist \(L=\begin{pmatrix}2&7&6\\9&5&1\\4&3&8\end{pmatrix}\).

a) Prüfen Sie, dass \(L\) magisch mit der Summe \(15\) ist.
b) Zeigen Sie, dass die magischen Quadrate einen Unterraum des Raums der \(3\times3\)-Matrizen bilden.
c) Zeigen Sie \(L=5J-3A-B\) mit \(J\) (alle Einträge \(1\)), \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}\).
d) Man kann zeigen, dass \(J,A,B\) eine Basis dieses Unterraums bilden. Welche Dimension hat er? Was folgt daraus für die Zahl der frei wählbaren Einträge?

Ein Tontechniker überlagert Signale \(f(t)=\alpha\sin t+\beta\cos t\). Die Menge dieser Signale ist der Aufspann von \(\sin\) und \(\cos\) im Raum der Funktionen \(\mathbb R\to\mathbb R\).

a) Zeigen Sie, dass \(\sin\) und \(\cos\) linear unabhängig sind. Setzen Sie dazu \(t=0\) und \(t=\frac\pi2\) ein.
b) Zeigen Sie, dass \(\sin\left(t+\frac\pi4\right)\) in diesem Raum liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten.
c) Zeigen Sie, dass die Funktion \(\sin(2t)\) nicht darin liegt.
d) Welche Dimension hat der Raum, und was bedeutet das für die Beschreibung eines solchen Signals?

Ein winziges Graustufenbild aus vier Pixeln wird als Vektor \(v=(p_1,p_2,p_3,p_4)\in\mathbb R^4\) gespeichert. Statt der Pixel speichert ein Kompressionsverfahren die Koordinaten in der Haar-Basis \(h_1=(1,1,1,1)\), \(h_2=(1,1,-1,-1)\), \(h_3=(1,-1,1,-1)\), \(h_4=(1,-1,-1,1)\).

a) Zeigen Sie, dass die vier Vektoren paarweise senkrecht stehen, und folgern Sie, dass sie eine Basis bilden.
b) Wegen der Orthogonalität gilt für die Koordinaten \(c_i=\frac{v\cdot h_i}4\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(v=(9,7,5,3)\).
c) Deuten Sie \(c_1\) und \(c_2\).
d) Das Verfahren speichert Koordinaten nahe \(0\) nicht. Welches Bild entsteht für \(v=(10,6,6,2)\), wenn man die kleinste Koordinate weglässt?

Ein Motorboot fährt mit dem Motor in Richtung \(u=(3,1)\) (km pro Stunde Motorbetrieb). Eine Strömung trägt das Boot in Richtung \(w=(1,2)\) (km pro Stunde, wenn man sich treiben lässt). Der Kapitän kann Motorzeit und Treibzeit frei kombinieren und will vom Ursprung zum Steg bei \((11,7)\).

a) Zeigen Sie, dass \(u\) und \(w\) eine Basis des \(\mathbb R^2\) bilden.
b) Wie viele Stunden muss er mit Motor fahren und wie viele treiben?
c) Kann er jeden Punkt der Ebene erreichen? Was würde sich ändern, wenn \(w=(6,2)\) wäre?

Untersuchen Sie Summe und Schnitt von Unterräumen des \(\mathbb R^3\).

a) \(U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\), \(W=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}\): Bestimmen Sie \(U\cap W\) und \(U+W\) und prüfen Sie die Dimensionsformel.
b) Bestimmen Sie den Schnitt der Ebenen \(x+y+z=0\) und \(x-y=0\).
c) Ist die Vereinigung \(U\cup W\) aus a) ein Unterraum?

Gegeben sind \(v_1=(1,1,0)\) und \(v_2=(0,1,1)\).

a) Zeigen Sie, dass \(v_1,v_2\) linear unabhängig sind.
b) Ergänzen Sie mit einem Einheitsvektor zu einer Basis des \(\mathbb R^3\). Prüfen Sie mit der Determinante.
c) Welche Vektoren eignen sich nicht zur Ergänzung? Prüfen Sie \(e_2\) und \((1,2,1)\).

Wir betrachten Teilmengen des Raums \(P_3\) der Polynome vom Grad höchstens \(3\) (\(\dim P_3=4\)).

a) Zeigen Sie, dass \(U=\{p\in P_3:p(1)=0\}\) ein Unterraum ist, und bestimmen Sie \(\dim U\).
b) Zeigen Sie, dass \((x-1),(x-1)^2,(x-1)^3\) eine Basis von \(U\) ist.
c) Ist \(\{p\in P_3:p(1)=1\}\) ein Unterraum?
d) Zeigen Sie, dass \(W=\{p\in P_3:p(0)=p(2)\}\) ein Unterraum mit der Basis \(1,\;x^2-2x,\;x^3-4x\) ist.
e) Bestimmen Sie \(\dim(U\cap W)\) mit der Dimensionsformel, wenn \(U+W=P_3\) gilt.

Im Raum \(V\) der reellen \(2\times2\)-Matrizen (\(\dim V=4\)) betrachten wir die symmetrischen Matrizen \(S\) (\(A^T=A\)) und die schiefsymmetrischen Matrizen \(K\) (\(A^T=-A\)).

a) Bestimmen Sie Basen und Dimensionen von \(S\) und \(K\).
b) Zeigen Sie \(S\cap K=\{0\}\).
c) Zerlegen Sie \(M=\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}\) mit \(\frac12(M+M^T)\) und \(\frac12(M-M^T)\).
d) Folgern Sie \(V=S\oplus K\) und prüfen Sie die Dimensionsformel.

Die Menge \(F\) aller reellen Folgen mit \(a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n\) für alle \(n\ge0\) ist ein Unterraum des Raums aller Folgen.

a) Zeigen Sie, dass \(F\) ein Unterraum ist.
b) Begründen Sie, dass eine Folge in \(F\) durch \(a_0,a_1\) festgelegt ist, und folgern Sie \(\dim F=2\).
c) Zeigen Sie, dass die geometrischen Folgen \((2^n)\) und \(((-1)^n)\) in \(F\) liegen und eine Basis bilden.
d) Bestimmen Sie die Folge mit \(a_0=0\), \(a_1=3\) in dieser Basis und prüfen Sie \(a_2,a_3\).

Gegeben ist \(A=\begin{pmatrix}1&2&0&1&1\\0&1&1&0&1\\1&3&1&1&2\end{pmatrix}\).

a) Bestimmen Sie den Rang von \(A\) und die Dimension von \(\ker A\).
b) Bestimmen Sie eine Basis von \(\ker A\).
c) Bilden \((2,-1,1,0,0)\), \((1,-1,0,0,1)\), \((3,-2,1,0,1)\) eine Basis von \(\ker A\)? Begründen Sie.
d) Ergänzen Sie die ersten beiden Vektoren aus c) zu einer Basis des Kerns.

Digitale Daten werden über dem Körper \(\mathbb F_2=\{0,1\}\) (mit \(1+1=0\)) übertragen. Ein Paritätscode hängt an drei Datenbits \(x_1,x_2,x_3\) ein Prüfbit \(x_4=x_1+x_2+x_3\) an. Die Codewörter bilden eine Teilmenge \(C\subseteq\mathbb F_2^4\).

a) Zeigen Sie, dass \(C\) ein Unterraum von \(\mathbb F_2^4\) ist, und geben Sie eine Basis an.
b) Wie viele Codewörter gibt es? Wie viele Vektoren hat \(\mathbb F_2^4\)?
c) Zeigen Sie: Wird bei der Übertragung genau ein Bit verfälscht, ist das empfangene Wort kein Codewort.
d) Wie viele geordnete Basen hat der Raum \(\mathbb F_2^3\)? Zählen Sie die Wahlmöglichkeiten für den ersten, zweiten und dritten Vektor.

Nicht jeder Vektorraum ist endlichdimensional.

a) Zeigen Sie, dass die Monome \(1,x,x^2,\dots,x^n\) für jedes \(n\) im Raum aller Polynome linear unabhängig sind.
b) Folgern Sie, dass der Raum \(\mathbb R[x]\) aller Polynome keine endliche Basis hat.
c) Zeigen Sie, dass \(e^{x}\), \(e^{2x}\), \(e^{3x}\) linear unabhängig sind. Leiten Sie dazu \(\alpha e^x+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}=0\) zweimal ab und setzen Sie \(x=0\) ein.
d) Begründen Sie, dass auch der Raum der stetigen Funktionen auf \([0,1]\) unendlichdimensional ist.