Folgen und Grenzwerte – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Folgen und die Epsilon-Definition

Rechenregeln und wichtige Grenzwerte

Beschränktheit und Monotonie

Epsilon-N-Beweise führen

Die Definition des Grenzwerts verlangt für jedes noch so kleine \(\varepsilon>0\) einen Index \(N\), ab dem alle Folgenglieder höchstens den Abstand \(\varepsilon\) vom Grenzwert haben. Ein Beweis besteht deshalb immer aus zwei Teilen: einer Vorüberlegung auf dem Schmierzettel, in der man die Ungleichung \(|a_n-a|<\varepsilon\) nach \(n\) auflöst, und der eigentlichen Reinschrift, in der man \(N\) angibt und die Behauptung nachrechnet. Wichtig ist, dass \(N\) nur von \(\varepsilon\) abhängt, nicht von \(n\). Dabei darf man abschätzen, solange man die Ungleichung vergrößert: Statt \(|a_n-a|\) selbst zu lösen, sucht man einen einfacheren Term \(b_n\ge|a_n-a|\) mit \(b_n<\varepsilon\) für \(n\ge N\).

Das Sandwich-Lemma und wichtige Grenzwerte

Viele Folgen lassen sich nicht direkt mit den Rechenregeln behandeln, sind aber zwischen zwei Folgen mit gleichem Grenzwert eingeklemmt. Gilt \(a_n\le c_n\le b_n\) für fast alle \(n\) und \(\lim a_n=\lim b_n=a\), so gilt auch \(\lim c_n=a\). Dieses Einschließungskriterium liefert zum Beispiel \(\frac{\sin n}n\to0\), denn \(-\frac1n\le\frac{\sin n}n\le\frac1n\). Zu den wichtigsten Grenzwerten gehören: \(q^n\to0\) für \(|q|<1\); \(\sqrt[n]a\to1\) für \(a>0\); \(\sqrt[n]n\to1\); \(\left(1+\frac xn\right)^n\to e^x\); \(\frac{n^k}{a^n}\to0\) für \(a>1\); \(\frac{a^n}{n!}\to0\) und \(\frac{n!}{n^n}\to0\). Sie bilden die Hierarchie des Wachstums: Potenzen wachsen langsamer als Exponentialfunktionen, diese langsamer als die Fakultät, und die Fakultät langsamer als \(n^n\).

Monotonie, Beschränktheit und rekursive Folgen

Das Monotoniekriterium besagt: Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert, und zwar gegen ihr Supremum; entsprechend konvergiert jede monoton fallende, nach unten beschränkte Folge gegen ihr Infimum. Der Satz folgt aus der Vollständigkeit von \(\mathbb R\) und ist das wichtigste Werkzeug für rekursiv definierte Folgen, deren Grenzwert man nicht explizit kennt. Das Vorgehen ist stets dasselbe: Zuerst zeigt man durch vollständige Induktion Beschränktheit und Monotonie, woraus Konvergenz folgt. Danach nimmt man in der Rekursionsgleichung auf beiden Seiten den Grenzwert und erhält eine Gleichung für \(a=\lim a_n\). Wer die Konvergenz nicht zuvor bewiesen hat, darf diesen Schritt nicht tun, denn für divergente Folgen liefert er Unsinn.

Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen

Eine Teilfolge entsteht, wenn man aus \((a_n)\) unendlich viele Glieder in der ursprünglichen Reihenfolge auswählt. Ein Häufungspunkt ist der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge. Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, den Grenzwert selbst. Hat eine Folge zwei verschiedene Häufungspunkte, divergiert sie; so lässt sich Divergenz von \((-1)^n\) schnell zeigen. Der Satz von Bolzano-Weierstraß garantiert: Jede beschränkte reelle Folge hat mindestens einen Häufungspunkt, also eine konvergente Teilfolge. Der größte Häufungspunkt heißt Limes superior, der kleinste Limes inferior. Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn für jedes \(\varepsilon>0\) ein \(N\) existiert, sodass \(|a_n-a_m|<\varepsilon\) für alle \(n,m\ge N\) gilt. In \(\mathbb R\) ist eine Folge genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Das Kriterium erlaubt es, Konvergenz zu beweisen, ohne den Grenzwert zu kennen.

Uneigentliche Grenzwerte und Vergleich von Wachstum

Eine Folge strebt bestimmt gegen \(+\infty\), wenn sie schließlich jede Schranke überschreitet: Zu jedem \(M\) gibt es ein \(N\) mit \(a_n>M\) für alle \(n\ge N\). Man spricht dann von einem uneigentlichen Grenzwert, die Folge ist aber im Sinne der Definition divergent. Ist \(a_n\to\infty\), so gilt \(\frac1{a_n}\to0\), und umgekehrt folgt aus einer positiven Nullfolge \(b_n\to0\), dass \(\frac1{b_n}\to\infty\). Mit diesen Regeln kann man auch Quotienten behandeln, deren Nenner verschwindet. Um zwei Folgen im Wachstum zu vergleichen, bildet man den Quotienten: Geht \(\frac{a_n}{b_n}\to0\), wächst \(a_n\) langsamer als \(b_n\); geht er gegen eine positive Konstante, wachsen beide gleich schnell. In der Informatik entspricht das der Einteilung von Algorithmen nach ihrer Laufzeit: linear, quadratisch, exponentiell.