Lineare Abbildungen und Matrizen – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Entscheiden Sie, ob die Abbildung linear ist. Geben Sie bei linearen Abbildungen die Matrix an, bei nichtlinearen ein konkretes Gegenbeispiel.

a) \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\), \(f(x,y)=(2x+y,\,x-3y)\)
b) \(g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\), \(g(x,y)=(x+1,\,y)\)
c) \(h:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\), \(h(x,y)=(xy,\,x)\)
d) \(k:\mathbb R\to\mathbb R^3\), \(k(x)=(x,\,2x,\,-x)\)

Bestimmen Sie die Matrix bezüglich der Standardbasen. Berechnen Sie dazu die Bilder der Einheitsvektoren und schreiben Sie sie als Spalten.

a) \(f(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+z)\)
b) die Spiegelung der Ebene an der \(x\)-Achse
c) die Drehung der Ebene um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn
d) die senkrechte Projektion der Ebene auf die \(x\)-Achse

Gegeben sind \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\) und \(v=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).

a) Berechnen Sie \(AB\) und \(BA\). Was stellen Sie fest?
b) Berechnen Sie \(Av\).
c) Berechnen Sie \(A^2\).
d) Welche der Produkte \(vA\), \(v^TA\), \(Av^T\) sind definiert?

Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Kern und Bild sowie den Rang, und kontrollieren Sie mit der Dimensionsformel.

a) \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\)
b) \(B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}\)
c) Ist die Abbildung \(x\mapsto Bx\) injektiv, surjektiv oder keins von beiden?

Berechnen Sie die Inverse mit der Formel \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\), sofern sie existiert, und machen Sie die Probe.

a) \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\)
b) \(B=\begin{pmatrix}4&2\\6&3\end{pmatrix}\)
c) \(C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

Bestimmen Sie die Inverse mit dem Gauß-Jordan-Verfahren \((A\,|\,E)\to(E\,|\,A^{-1})\). Notieren Sie alle Zeilenumformungen.

a) \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)
b) \(B=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)
c) Welche Inverse hat \(B^T\)? Begründen Sie ohne Rechnung.

Ein Textprogramm erzeugt Kursivschrift, indem es jeden Buchstaben mit der Scherung \(S=\begin{pmatrix}1&\frac12\\0&1\end{pmatrix}\) verzerrt. Ein Buchstabe „I“ wird vereinfacht als Einheitsquadrat mit den Ecken \((0|0)\), \((1|0)\), \((1|1)\), \((0|1)\) beschrieben.

a) Berechnen Sie die Bilder der vier Ecken.
b) Zeigen Sie, dass sich die Fläche nicht ändert.
c) Welche Matrix macht die Kursivstellung rückgängig?
d) Was passiert mit Punkten auf der \(x\)-Achse? Deuten Sie das geometrisch.

Ein Industrieroboter dreht seinen Greifer in der Ebene um das Gelenk im Ursprung. Die Drehung um \(\alpha\) hat die Matrix \(R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\). Der Greifer befindet sich zunächst bei \(P(2|0)\) (Einheit: dm).

a) Wo befindet sich der Greifer nach einer Drehung um \(30^\circ\)?
b) Zeigen Sie durch Matrizenmultiplikation, dass \(R_{30^\circ}R_{60^\circ}=R_{90^\circ}\) gilt.
c) Ein Werkstück liegt bei \(Q(4|2)\). Wohin wird es durch die Drehung um \(30^\circ\) bewegt? Runden Sie auf zwei Dezimalen.
d) Begründen Sie, dass Drehmatrizen beim Hintereinanderausführen vertauschbar sind, obwohl Matrizen im Allgemeinen nicht kommutieren.

In einer Region leben \(600\,000\) Menschen in der Stadt (S) und \(400\,000\) auf dem Land (L). Jedes Jahr ziehen \(10\,\%\) der Stadtbewohner aufs Land und \(20\,\%\) der Landbewohner in die Stadt; alle anderen bleiben. Die Gesamtzahl bleibt konstant. Rechnen Sie in Tausend.

a) Stellen Sie die Übergangsmatrix \(M\) mit \(x_{n+1}=Mx_n\) auf, \(x_n=(S_n,L_n)^T\).
b) Berechnen Sie \(x_1\) und \(x_2\).
c) Bestimmen Sie die Verteilung, die sich von Jahr zu Jahr nicht ändert (\(Mx=x\)).
d) Warum ist jede Spaltensumme von \(M\) gleich \(1\)?

Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen \(R_1,R_2\) die Zwischenprodukte \(Z_1,Z_2\) und daraus die Endprodukte \(E_1,E_2\) her. Die Tabellen geben den Bedarf je Stück an.

a) Schreiben Sie die Bedarfsmatrizen \(A\) (Rohstoffe je Zwischenprodukt) und \(B\) (Zwischenprodukte je Endprodukt) auf.
b) Berechnen Sie die Gesamtbedarfsmatrix \(C=AB\) und deuten Sie den Eintrag \(c_{12}\).
c) Ein Auftrag umfasst \(10\) Stück \(E_1\) und \(20\) Stück \(E_2\). Wie viele Zwischenprodukte und Rohstoffe werden benötigt?
d) Überprüfen Sie den Rohstoffbedarf auf zweitem Weg.

Ein Programm zeichnet räumliche Körper auf den Bildschirm, indem es jeden Punkt \((x,y,z)\) auf \((x-\frac z2,\;y-\frac z2)\) abbildet.

a) Geben Sie die \(2\times3\)-Matrix \(P\) dieser Abbildung an.
b) Berechnen Sie die Bilder der Würfelecken \((1,1,1)\) und \((2,0,2)\).
c) Bestimmen Sie den Kern von \(P\) und deuten Sie ihn.
d) Wenden Sie die Dimensionsformel an.

Bei der Hill-Verschlüsselung ersetzt man Buchstaben durch Zahlen (\(A=0\), \(B=1\), …, \(Z=25\)), fasst je zwei zu einem Vektor zusammen und multipliziert mit dem Schlüssel \(K=\begin{pmatrix}3&3\\2&5\end{pmatrix}\). Alle Ergebnisse werden modulo \(26\) genommen.

a) Verschlüsseln Sie das Wort „HI“ (\(H=7\), \(I=8\)).
b) Verschlüsseln Sie „EA“ (\(E=4\), \(A=0\)).
c) Begründen Sie, dass \(K\) modulo \(26\) invertierbar ist, indem Sie \(\det K\bmod26\) berechnen.
d) Zeigen Sie, dass \(K^{-1}\equiv\begin{pmatrix}15&17\\20&9\end{pmatrix}\pmod{26}\) gilt, und entschlüsseln Sie Ihr Ergebnis aus a).

In einem Kaleidoskop stehen zwei Spiegel im Winkel von \(30^\circ\). In der Ebene ist die Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung mit dem Winkel \(\alpha\) zur \(x\)-Achse gegeben durch \(S_\alpha=\begin{pmatrix}\cos2\alpha&\sin2\alpha\\\sin2\alpha&-\cos2\alpha\end{pmatrix}\).

a) Geben Sie \(S_0\) und \(S_{30^\circ}\) mit exakten Werten an.
b) Berechnen Sie \(S_{30^\circ}S_0\) und zeigen Sie, dass das Ergebnis eine Drehung ist. Um welchen Winkel?
c) Berechnen Sie \(\det S_\alpha\) und \(S_\alpha^2\). Deuten Sie die Ergebnisse.
d) Wie viele Bilder eines Gegenstands sieht man ungefähr, wenn die Drehung um \(60^\circ\) wiederholt wird, bis man wieder am Anfang ist?

Auf dem Raum \(P_3\) der Polynome vom Grad höchstens \(3\) mit der Basis \(1,x,x^2,x^3\) betrachten wir die Ableitung \(D(p)=p'\).

a) Zeigen Sie, dass \(D\) linear ist.
b) Stellen Sie die \(4\times4\)-Matrix von \(D\) auf.
c) Berechnen Sie mit der Matrix die Ableitung von \(p=2-x+3x^2+x^3\) und die zweite Ableitung.
d) Bestimmen Sie Kern und Bild von \(D\) und zeigen Sie \(D^4=0\).

Die Abbildung \(f(x)=Ax\) mit \(A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}\) soll mehrfach hintereinander ausgeführt werden. Statt \(A^5\) direkt zu berechnen, sucht man eine bessere Basis. Gegeben sind \(b_1=(1,0)^T\) und \(b_2=(1,-1)^T\).

a) Berechnen Sie \(Ab_1\) und \(Ab_2\) und drücken Sie die Ergebnisse durch \(b_1\) bzw. \(b_2\) aus.
b) Stellen Sie \(T=(b_1\,b_2)\) auf, berechnen Sie \(T^{-1}\) und \(T^{-1}AT\).
c) Berechnen Sie \(A^5=T\,(T^{-1}AT)^5\,T^{-1}\).
d) Kontrollieren Sie den Eintrag oben rechts mit der Formel \(3^5-2^5\) und erklären Sie, warum diese Formel gilt.

Eine Vogelart wird in drei Altersklassen erfasst: Jungvögel (J), einjährige (E) und ältere Vögel (A). Jungvögel bekommen keinen Nachwuchs, einjährige im Mittel \(4\) und ältere \(3\) überlebende Junge pro Jahr. Von den Jungvögeln überleben \(50\,\%\), von den einjährigen \(25\,\%\) bis ins nächste Jahr; ältere Vögel werden höchstens zwei Jahre alt. Zu Beginn zählt man \(40\) Jungvögel, \(20\) einjährige und \(8\) ältere Vögel.

a) Stellen Sie die Leslie-Matrix \(L\) mit \(x_{n+1}=Lx_n\) auf.
b) Berechnen Sie die Bestände nach einem und nach zwei Jahren.
c) Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom \(-(\lambda^3-2\lambda-\frac38)\) lautet und \(\lambda=\frac32\) eine Nullstelle ist.
d) Prüfen Sie, dass \(v=(18,6,1)^T\) die Gleichung \(Lv=\frac32v\) erfüllt, und deuten Sie das Ergebnis für die Entwicklung der Population.

Eine Wetterstation misst um \(0\), \(1\) und \(2\) Uhr (in Stunden nach Mitternacht) Temperaturen und sucht eine Parabel \(p(t)=a+bt+ct^2\) durch die Messwerte. Die Abbildung \(\Phi:P_2\to\mathbb R^3\), \(\Phi(p)=(p(0),p(1),p(2))\) ordnet jedem Polynom seine drei Werte zu.

a) Zeigen Sie, dass \(\Phi\) linear ist, und stellen Sie die Matrix \(V\) bezüglich der Basis \(1,t,t^2\) auf.
b) Berechnen Sie \(\det V\) und folgern Sie, dass \(\Phi\) bijektiv ist.
c) Bestimmen Sie die Parabel zu den Werten \((1,3,7)\).
d) An einem Wintertag misst man \(12\), \(15\) und \(22\) Zehntelgrad. Bestimmen Sie die Parabel und beurteilen Sie, ob sie für eine Vorhersage um \(10\) Uhr taugt.

Die Sonne steht senkrecht über einer geraden Rampe, die in der Ebene in Richtung \(u=(1,2)^T\) durch den Ursprung verläuft. Der Schatten eines Punktes \(x\) ist seine senkrechte Projektion auf die Rampe: \(P(x)=\frac{u\cdot x}{u\cdot u}\,u\).

a) Zeigen Sie, dass \(P\) linear ist, und berechnen Sie die Matrix \(P=\frac15\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\).
b) Berechnen Sie die Schatten der Punkte \((3,1)\) und \((4,3)\).
c) Bestimmen Sie Kern und Bild von \(P\).
d) Zeigen Sie \(P^2=P\) und erklären Sie geometrisch, warum das so sein muss.
e) Ist \(P\) invertierbar? Begründen Sie mit zwei verschiedenen Argumenten.

Gegeben ist \(f:\mathbb R^4\to\mathbb R^3\), \(f(x)=Ax\) mit \(A=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&1&1\\1&3&1&2\end{pmatrix}\).

a) Zeigen Sie ohne Rechnung, dass \(f\) nicht injektiv sein kann.
b) Bestimmen Sie den Rang von \(A\) und eine Basis des Kerns.
c) Entscheiden Sie mit dem Rangkriterium, ob \(Ax=b\) für \(b=(1,1,2)^T\) bzw. \(b=(1,1,1)^T\) lösbar ist.
d) Beschreiben Sie das Bild von \(f\) durch eine Gleichung \(\alpha y_1+\beta y_2+\gamma y_3=0\).

Für endlichdimensionale Räume gilt: Eine lineare Abbildung \(f:V\to V\) ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist. In unendlichdimensionalen Räumen ist das falsch. Untersuchen Sie das genauer.

a) Beweisen Sie die Aussage für \(\dim V=n\) mit der Dimensionsformel.
b) Folgern Sie: Sind \(A,B\) quadratische Matrizen mit \(AB=E\), so gilt auch \(BA=E\).
c) Zeigen Sie, dass auf dem Raum \(\mathbb R[x]\) aller Polynome die Ableitung \(D\) surjektiv, aber nicht injektiv ist.
d) Zeigen Sie, dass die Multiplikation \(M(p)=x\cdot p\) injektiv, aber nicht surjektiv ist, und berechnen Sie \(D\circ M\) und \(M\circ D\) für \(p=1\).