Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Lösen Sie die Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus. Notieren Sie jede Zeilenumformung und machen Sie die Probe.

a) \(2x+3y=12,\quad x-y=1\)
b) \(x+2y+z=8,\quad 2x+y-z=1,\quad 3x-y+2z=7\)

Bringen Sie die Matrizen auf Zeilenstufenform und bestimmen Sie den Rang.

a) \(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\)
c) \(\begin{pmatrix}2&4\\1&2\\3&6\end{pmatrix}\)

Gegeben sind die Gleichungen \(x+y+z=2\) und \(x+2y+3z=5\) sowie eine dritte Gleichung.

a) Lösen Sie das System mit der dritten Gleichung \(2x+3y+4z=8\).
b) Lösen Sie das System mit der dritten Gleichung \(2x+3y+4z=7\).
c) Deuten Sie beide Ergebnisse geometrisch als Lage von drei Ebenen.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des homogenen Systems \(Ax=0\) mit \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\2&4&1&3\end{pmatrix}\).

a) Bringen Sie \(A\) auf Zeilenstufenform und nennen Sie die freien Variablen.
b) Geben Sie die Lösungsmenge in Parameterform und eine Basis an.
c) Warum muss ein homogenes System mit mehr Unbekannten als Gleichungen immer nichttriviale Lösungen haben?

Gegeben ist das System \(x+y-z=1\), \(2x+y+z=4\).

a) Lösen Sie das System und schreiben Sie die Lösung als \(x_p+t\,v\).
b) Prüfen Sie, dass \(v\) das zugehörige homogene System löst.
c) Ist \((1,1,1)\) eine Lösung? Welcher Wert von \(t\) gehört dazu?

Untersuchen Sie das System \(x+2y+z=3\), \(2x+5y+3z=5\), \(x+3y+az=c\) in Abhängigkeit von \(a,c\in\mathbb R\).

a) Führen Sie den Gauß-Algorithmus durch.
b) Für welche \(a\) ist die Lösung eindeutig? Prüfen Sie mit der Determinante.
c) Bestimmen Sie für \(a=2\) die Werte von \(c\), für die es Lösungen gibt, und geben Sie diese an.

Drei Studierende bezahlen im Café für ihre Bestellungen. Die Preise für Kaffee (K), Brezel (B) und Saft (S) sind gesucht.

a) Stellen Sie das Gleichungssystem auf.
b) Lösen Sie es mit dem Gauß-Algorithmus.
c) Ein Freund bestellt zwei Kaffee, zwei Brezeln und einen Saft und bezahlt mit einem 10-Euro-Schein. Wie viel Wechselgeld bekommt er?

Beim Ausgleichen einer Reaktionsgleichung muss jede Atomsorte links und rechts gleich oft vorkommen. Die unbekannten Faktoren erfüllen ein homogenes lineares Gleichungssystem.

a) Gleichen Sie \(a\,\mathrm{Fe}+b\,\mathrm O_2\to c\,\mathrm{Fe_2O_3}\) aus.
b) Gleichen Sie \(a\,\mathrm{CH_4}+b\,\mathrm O_2\to c\,\mathrm{CO_2}+d\,\mathrm{H_2O}\) aus.
c) Warum ist die Lösungsmenge immer ein Untervektorraum, und warum wählt man die kleinste ganzzahlige Lösung?

Vier Einbahnstraßen umschließen einen Platz im Uhrzeigersinn: \(x_1\) von A nach B, \(x_2\) von B nach C, \(x_3\) von C nach D und \(x_4\) von D nach A (Autos pro Stunde). An den Kreuzungen fahren von außen zu bzw. ab:

a) Stellen Sie für jede Kreuzung die Bilanzgleichung auf.
b) Lösen Sie das System mit \(x_4=t\) als Parameter.
c) Welche Werte von \(t\) sind sinnvoll? Bestimmen Sie den kleinsten möglichen Verkehr in jeder Straße.
d) Wegen einer Baustelle wird die Straße von D nach A gesperrt. Wie viele Autos fahren dann in den anderen Straßen?

Eine \(12\)-Volt-Batterie speist über einen Widerstand \(R_1=2\,\Omega\) zwei parallele Widerstände \(R_2=R_3=4\,\Omega\). Für die Ströme gilt nach Kirchhoff: \(I_1=I_2+I_3\) (Knotenregel), \(2I_1+4I_2=12\) und \(4I_2-4I_3=0\) (Maschenregel).

a) Schreiben Sie das System in Matrixform.
b) Lösen Sie es mit dem Gauß-Algorithmus.
c) Kontrollieren Sie mit dem Ersatzwiderstand \(R=R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\).
d) Wie groß ist die gesamte elektrische Leistung \(P=U\cdot I_1\)?

Ein Start-up mischt \(500\) g Müsli aus Haferflocken (H), Nüssen (N) und Rosinen (R). Die Nährwerte pro \(100\) g sind:

a) Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Mengen \(h,n,r\) (in \(100\) g) auf.
b) Lösen Sie es und begründen Sie, dass die Lösung eindeutig ist.
c) Wie viele Kohlenhydrate enthält die Mischung?
d) Kann man auch \(500\) g mit \(62\) g Eiweiß und \(72\) g Fett ohne Rosinen mischen?

Bei einem Freiwurf wird die Flugbahn des Balls gefilmt. In einem Koordinatensystem (Einheit: m) misst man die Punkte \((0|2)\), \((2|3{,}6)\) und \((4|4)\). Die Bahn soll durch eine Parabel \(y=ax^2+bx+c\) beschrieben werden.

a) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem für \(a,b,c\) auf.
b) Lösen Sie es.
c) Bestimmen Sie die größte Höhe des Balls.
d) Der Korb hängt in \(3{,}05\) m Höhe, horizontal \(6\) m vom Abwurfpunkt entfernt. Trifft der Ball? Beurteilen Sie das Modell.

Eine Aufgabe aus den „Neun Kapiteln der Rechenkunst“ (um 200 v. Chr.), modern formuliert: \(3\) Garben guter Ernte, \(2\) Garben mittlerer und \(1\) Garbe schlechter Ernte ergeben \(39\) Dou Korn. \(2\) gute, \(3\) mittlere und \(1\) schlechte ergeben \(34\) Dou, \(1\) gute, \(2\) mittlere und \(3\) schlechte ergeben \(26\) Dou.

a) Stellen Sie das System für den Ertrag \(g_1,g_2,g_3\) je Garbe auf.
b) Lösen Sie es mit dem Gauß-Algorithmus.
c) Machen Sie die Probe in allen drei Gleichungen.

Eine Werkstatt fertigt die Produkte \(P_1,P_2,P_3\). Die Maschinenzeiten in Stunden je Stück und die verfügbaren Stunden pro Woche sind:

a) Stellen Sie das System auf, wenn alle Maschinen voll ausgelastet werden sollen.
b) Lösen Sie es.
c) Die Kapazität der Fräse steigt auf \(40\) Stunden. Wie ändert sich der Plan? Ist er noch umsetzbar?

Bei einem Versuch werden vier Messpunkte aufgenommen. Gesucht ist eine Gerade \(y=c+mx\), die möglichst gut passt.

a) Stellen Sie \(A\) und \(b\) auf und zeigen Sie mit dem Rangkriterium, dass das System unlösbar ist.
b) Berechnen Sie \(A^TA\) und \(A^Tb\).
c) Lösen Sie die Normalengleichungen \(A^TA\binom cm=A^Tb\).
d) Berechnen Sie die Abweichungen \(r_i=y_i-(c+mx_i)\) und die Summe ihrer Quadrate.
e) Warum ist ein exakt passendes Polynom vom Grad \(3\) für Messdaten meist schlechter geeignet als die Ausgleichsgerade?

Eine quadratische Metallplatte wird am oberen Rand auf \(100^\circ\mathrm C\) gehalten, die anderen drei Ränder auf \(0^\circ\mathrm C\). Im Inneren betrachtet man vier Messpunkte: \(T_1\) oben links, \(T_2\) oben rechts, \(T_3\) unten links, \(T_4\) unten rechts. Im Gleichgewicht ist die Temperatur jedes Punktes der Mittelwert seiner vier Nachbarn (Randpunkte oder andere Messpunkte).

a) Stellen Sie die vier Gleichungen auf. Beispiel: \(4T_1=100+0+T_2+T_3\).
b) Begründen Sie mit der Symmetrie, dass \(T_1=T_2\) und \(T_3=T_4\) gelten müsste.
c) Lösen Sie das System.
d) Prüfen Sie, dass die Lösung auch das ursprüngliche \(4\times4\)-System erfüllt.
e) Der Mittelwert der Randtemperaturen ist \(25^\circ\mathrm C\). Vergleichen Sie mit dem Mittelwert der vier Innentemperaturen.

Ein Rechner arbeitet mit drei gültigen Ziffern. Er soll das System \(0{,}0001x+y=1\), \(x+y=2\) lösen. Die exakte Lösung ist \(x=\frac{10000}{9999}\), \(y=\frac{9998}{9999}\).

a) Runden Sie die exakte Lösung auf vier Dezimalen.
b) Lösen Sie ohne Zeilentausch: Ziehen Sie das \(10\,000\)-fache der ersten Zeile von der zweiten ab und runden Sie jedes Zwischenergebnis auf drei gültige Ziffern.
c) Lösen Sie mit Spaltenpivotsuche, also nach Vertauschen der Zeilen.
d) Erklären Sie, warum das kleine Pivotelement den Fehler verursacht.

Untersuchen Sie das System \(x+y+az=1\), \(x+ay+z=1\), \(ax+y+z=c\) in Abhängigkeit von \(a,c\in\mathbb R\).

a) Zeigen Sie \(\det A=-(a-1)^2(a+2)\).
b) Für welche \(a\) gibt es genau eine Lösung?
c) Untersuchen Sie den Fall \(a=1\).
d) Untersuchen Sie den Fall \(a=-2\) und bestimmen Sie für das passende \(c\) die Lösungsmenge.
e) Begründen Sie, warum man bei der Elimination nicht einfach durch \(a-1\) teilen darf.

Ein Schwimmbecken soll gefüllt werden. Die Pumpen A und B schaffen es zusammen in \(4\) Stunden, B und C zusammen in \(6\) Stunden, A und C zusammen in \(5\) Stunden. Jede Pumpe arbeitet mit konstanter Leistung (Anteil des Beckens pro Stunde: \(a,b,c\)).

a) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem für \(a,b,c\) auf.
b) Lösen Sie es geschickt, indem Sie alle drei Gleichungen addieren.
c) Wie lange braucht jede Pumpe allein?
d) Wie lange dauert es, wenn alle drei gleichzeitig pumpen?
e) Warum wäre ein Ansatz mit den Füllzeiten selbst (statt der Leistungen) kein lineares System?

Beweisen Sie die folgenden allgemeinen Aussagen über ein lineares Gleichungssystem \(Ax=b\) mit reellen Koeffizienten.

a) Sind \(x_1\ne x_2\) zwei Lösungen, so ist auch \(x_1+t(x_2-x_1)\) für jedes \(t\in\mathbb R\) eine Lösung. Folgern Sie: Ein reelles lineares System hat \(0\), \(1\) oder unendlich viele Lösungen.
b) Zeigen Sie: Hat \(Ax=b\) für ein quadratisches \(A\) und ein bestimmtes \(b\) genau eine Lösung, so hat \(Ax=c\) für jedes \(c\) genau eine Lösung.
c) Über dem Körper \(\mathbb F_2=\{0,1\}\) (mit \(1+1=0\)) gilt die Aussage aus a) nicht. Lösen Sie \(x+y=1\) über \(\mathbb F_2\) und zählen Sie die Lösungen.
d) Ist das Mittel \(\frac12(x_1+x_2)\) zweier Lösungen wieder eine Lösung? Ist die Summe \(x_1+x_2\) eine Lösung?