Zahlbereiche, Gleichungen und Ungleichungen – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Definition: Zahlbereiche

Die Zahlbereiche bauen aufeinander auf: \(\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C\). In \(\mathbb Z\) ist jede Gleichung \(x+a=b\) lösbar, in \(\mathbb Q\) jede Gleichung \(ax=b\) mit \(a\ne0\), in \(\mathbb R\) zusätzlich \(x^2=a\) für \(a\ge0\) und in \(\mathbb C\) jede Polynomgleichung. Eine reelle Zahl ist rational, wenn sie als Bruch \(\frac pq\) mit \(p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N\) geschrieben werden kann; das sind genau die abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche, zum Beispiel \(0{,}\overline{45}=\frac{45}{99}=\frac5{11}\). Zahlen wie \(\sqrt2\), \(\pi\) und \(e\) sind irrational. Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational, und ebenso das Produkt mit einer rationalen Zahl \(\ne0\).

Definition: Betrag und Dreiecksungleichung

Der Betrag \(|x|\) misst den Abstand von \(x\) zur 0: \(|x|=x\) für \(x\ge0\), \(|x|=-x\) für \(x<0\). Es gelten \(|ab|=|a||b|\) und \(\sqrt{x^2}=|x|\). Wichtig sind die Umformungen \(|a|<c\iff-c<a<c\) und \(|a|>c\iff a<-c\vee a>c\) (für \(c>0\)). Die Dreiecksungleichung lautet \(|a+b|\le|a|+|b|\), die umgekehrte \(\big||a|-|b|\big|\le|a-b|\). Sie ist das wichtigste Werkzeug der Analysis, wenn es um Abschätzungen geht.

Definition: Gleichungen: Wurzeln und Brüche

Wurzelgleichungen löst man, indem man die Wurzel isoliert und quadriert. Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung (aus \(a=b\) folgt \(a^2=b^2\), aber nicht umgekehrt). Deshalb muss man jede erhaltene Lösung durch eine Probe in der Ausgangsgleichung prüfen. Bruchgleichungen: Zuerst die Definitionsmenge bestimmen (Nenner \(\ne0\)), dann mit dem Hauptnenner multiplizieren. Gleichungen mit Beträgen löst man durch Fallunterscheidung: Man teilt die Zahlengerade an den Nullstellen der Beträge in Intervalle, löst in jedem Intervall ohne Betragsstriche und prüft, ob die Lösung im Intervall liegt.

Definition: Ungleichungen

Ungleichungen löst man wie Gleichungen, mit einer Ausnahme: Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl kehrt das Relationszeichen um. Bei Bruchungleichungen wie \(\frac{x+1}{x-2}\ge0\) multipliziert man nicht mit dem Nenner, sondern betrachtet das Vorzeichen von Zähler und Nenner (Vorzeichentabelle) oder unterscheidet die Fälle \(x-2>0\) und \(x-2<0\). Quadratische Ungleichungen löst man über die Nullstellen und den Verlauf der Parabel: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)<0\iff2<x<3\). Das Ergebnis schreibt man als Intervall oder Vereinigung von Intervallen.

Definition: Werkzeugkasten: Intervalle, Wurzelgesetze, quadratische Gleichungen

Lösungsmengen schreibt man mit Intervallen: \([a;b]=\{x\mid a\le x\le b\}\) (abgeschlossen), \((a;b)=\{x\mid a<x<b\}\) (offen), halboffene Intervalle \([a;b)\) und \((a;b]\) sowie unbeschränkte Intervalle wie \([a;\infty)\). Mehrere Lösungsbereiche verbindet man mit \(\cup\). Für Wurzeln gelten \(\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}\) und \(\sqrt{a}/\sqrt{b}=\sqrt{a/b}\) für \(a,b\ge0\), aber \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). Die binomischen Formeln \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\) und \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) sind das Standardwerkzeug beim Umformen. Quadratische Gleichungen \(x^2+px+q=0\) löst man mit der pq-Formel \(x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac{p^2}4-q}\); die Diskriminante \(D=\frac{p^2}4-q\) entscheidet über zwei, eine oder keine reelle Lösung.

Definition: Supremum und Maximum

Eine Zahl \(s\) heißt Supremum der Menge \(M\), wenn \(s\) eine obere Schranke von \(M\) ist und keine kleinere Zahl obere Schranke ist. Gehört das Supremum zur Menge, heißt es Maximum. Beispiel: \(M=\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N\right\}\) hat das Supremum \(1\), aber kein Maximum, denn \(1-\frac1n<1\) für alle \(n\). Das Infimum \(0\) wird bei \(n=1\) angenommen und ist das Minimum.